A全等三角形之手拉手模型倍长中线-截长补短法精编版

1、最新资料推荐I)1要点一：手拉手模型 特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点例 1.如图在直线ABC的同一侧作两个等边三角形：ABD与BCE，连结AE与CD，证明(1)：ABE二：DBCAE二DC八AE与DC之间的夹角为60/(4)=AGB三DFBkEGB二CFBf,(6)BH平分AHC(7)GF / AC4 - - -B手拉手模型结论：(ABD AEC(3) 0A 平分/ BOC变形：B(2)/ a+/BOC=180u最新资料推荐2变式精练 1:如图两个等边三角形ABD与BCE,连结AE与证明(1).VABE二.DBC(2)AE二DC(3)AE与DC之间的夹角为60(

2、4)AE与DC的交点设为H,BH平分.AHC变式精练 2:如图两个等边三角形 丄ABD与.BCE，连结AE与CD， 证明(1)AABE三DBC(2)AE二DC(3)AE与DC之间的夹角为60(4)AE与DC的交点设为H,BH平分.AHCCD,最新资料推荐3例 2：如图，两个正方形ABCD与DEFG，连结AG,CE,二者相交于点H最新资料推荐4问：（1）.lADG =.：CDE是否成立?（2）AG是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分.AHE？例 3：如图两个等腰直角三角形ADC与EDG，连结AG,CE,二者相交于点H问：（1）AADG三ACDE是否成立?（2）A

3、G是否与CE相等？（3）AG与CE之间的夹角为多少度？（4）HD是否平分.AHE？最新资料推荐5例 4：两个等腰三角形ABD与BCE，其中AB二BD,CB二EB, ABD CBE =，连结AE与CD，最新资料推荐6问：(1).VABE二.DBC是否成立?(2)AE是否与CD相等？(3)AE与CD之间的夹角为多少度？(4)HB是否平分.AHC？例5:如图，点 A. B. C 在同一条直线上，分别以 AB、BC 为边在直线 AC 的同侧作等边三角形 ABD、 BCE. 连接AE、DC，AE 与 DC 所在直线相交于 F,连接 FB.判断线段 FB、FE 与 FC 之间的数量关系，并证明你 的结论。

4、【练 1】如图，三角形 ABC 和三角形 CDE 都是等边三角形，点 A,E,D,同在一条直线上，且角 EBD=62求角 AEB 的度数倍长与中点有关的线段.1if最新资料推荐7倍长中线类最新资料推荐8?考点说明：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的是可以旋转等长度 的线段，从而达到将条件进行转化的目的：将题中已知和未知条件集中在一对三角形中、构造全等三角形、 平移线段。1【例1】 已知： ABC 中，AM 是中线.求证：AM：t（AB AC）.【练1】在厶ABC中，AB =5, AC =9，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么?【练 2】如图所示，在 ABC

5、的 AB 边上取两点 E、F ,使AE = BF,连接 CE、CF ,求证: AC BC EC FC.【方法精讲】常用辅助线添加方法一一倍长中线EN延长 AD 到 E，使 DE=AD， 连接 BE延长 MD 到 N,使 DN=MD 连接 CD最新资料推荐9【练2】如图，在 ABC 中，ABAC , E 为 BC 边的中点，AD 为/ BAC 的平分线，过 E 作 AD 的平行线,交 AB 于 F,交 CA 的延长线于 G.求证：BF=CG.【练3】如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC , D 是 AB 上一点,连结 DF 交 BC 于 E.求证：DE=EF（倍长中线、截长补短）【例2】

6、如图，已知在 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线, 求证：AC =BE .【练1】如图，已知在. ABC 中，AD 是 BC 边上的中线,F，求证：AF =EFF 是 AC 延长线上的一点，且 BD=CF ,E 是 AD 上一点，延长 BE 交 AC 于 F ,AF二EF,E 是 AD 上一点，且 BE =AC，延长 BE 交 AC 于最新资料推荐10【练 3】如图，在 ABC 中，AD 交 BC 于点 D，点 E 是 BC 中点，EFIIAD交 CA 的延长线于点 F，交 AB 于点G，若 BG =CF，求证：AD 为.：ABC 的角平分线.BE =4，则线段 DE 的长度为 _【练4】

7、如图所示，已知 JABC 中，AD 平分.BAC , E、 求证：EFIIABF 分别在 BD、AD 上. DE 二 CD , EF 二 AC .【例 3】已知 AM 为 ABC 的中线, BECF EF .ZAMB , ZAMC 的平分线分别交AB 于 E、交 AC 于 F 求证:【练1】在 Rt ABC 中，F 是斜边 AB 的中点，D、E 分别在边 CA、CB 上，满足乙 DFE =90最新资料推荐11【练2】如图， ABC 中，AB=2AC , AD 平分 BC 且 AD 丄 AC，则/ BAC=_【练3】在 ABC 中，点 D 为 BC 的中点，点 M、N 分别为 AB、AC 上的点

8、，且 MD _ ND .(1)若 ZA=90，以线段 BM、MN、CN 为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角 形、直角三角形或钝角三角形？(2)如果 BM2CN2=DM2DN2，求证 AD2二丄 AB2AC2.4D【例4】如图，等腰直角ABC与等腰直角BDE,P为CE中点，连接PA、PD. 探究PA、PD的关系(证角相等方法)【练1】如图，两个正方形 ABDE 和 ACGF，点 P 为 BC 的中点，连接 PA 交 EF 于点Q.探究 AP 与 EF 的数量关系和位置关系.(证角相等方法)最新资料推荐-I12【练2】如图，在 ABC 中，CD二AB,. BAD=/BDA,AE是BD

9、边的中线.求证：AC = 2AE【例 5】如图所示，在 ABC 中，AB =AC，延长 AB 到 D，使BD二AB, E 为 AB 的中点，连接 CE、CD , 求证 CD 2EC .【练2】如图,CB、CD 分别是钝角 AEC 和锐角 ABC 中线 且 AC=AB, / ACB= / ABC.求证 CE=2CD.【练1】已知.ABC 中，AB =AC， BD 为 AB 的延长线，且 求证：CD =2CEBD=AB，CE 为.：ABC 的 AB 边上的中线.最新资料推荐13【例16】如图，两个正方形ABDE和ACGF，点P为BC的中点，连接PA交EF于点Q.探究AP与EF的数量关系和位置关系（

10、倍长中线与手拉手模型综合应用）【练1】已知：如图，正方形ABCD和正方形EBGF，点M是线段DF的中点试说明线段ME与MC数量关系和关系.如图，若将上题中正方形EBGF绕点B顺时针旋转:度数（：90），其他条件不变，上述结最新资料推荐14论还正确吗？若正确，请你证明；若不正确，请说明理由最新资料推荐15全等之截长补短：人教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在 许多问题里都有着广泛的应用 而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法（把长边截成两个短边最新资料推荐16或把两个短边放到一起； 出现角平分线进行翻折；有具体角的度数说明要求角的度数，进而得到角相等，

11、厶最新资料推荐17全等）【例 10】如图所示，ABC中，.C=9O0,. B=45 , AD 平分.BAC交 BC 于 D。求证：AB=AC+CD。【练 2】如图，在四边形 ABCD 中,AD / BC,AB=AD+BC.【练 1】如图所示，在AABC中，.B =60,. ABC的角平分线 AD、CE 相交于点0。求证：AE+CD=AC。【练 2】已知BE、CD、ABC中，.A=60BD、CE分别平分ABC和.ACB，BD、CE交于点O，试判断BC的数量关系，并加以证明.求证:最新资料推荐18【练 3】已知：如图，在 ABC 中，/A=90 , AB=AC , BD 是/ ABC 的平分线。求

12、证： BC=AB+AD.最新资料推荐19【练 4】 点 M , N 在等边三角形 ABC 的 AB 边上运动， BD=DC， / BDC=120 ， / MDN=60 ，求证 MN=MB+NC .【例 11】已知如图所示，在厶 ABC 中,AD 是角平分线，且 AC=AB+BD,试说明/ B=2 / C （不只是边，倍角也 适用）【练 1】如图，在 ABC 中，AB = AC , BD 丄 AC 交 AC 于点 D .求证:1/DBC= - ZBAC.2【例 12】如图所示，已知BAPBCP =180。 1二/2, P 为 BN 上一点，且PD _ BC于 D , AB+BC=2BD，求证:最

13、新资料推荐20C= 90,AD为BAC的平分线，C=30,BE AD于 E 点, 求证：AC-AB=2BE。【练1】如图，在四边形 ABCD 中, BO BA, AD = CD, BD 平分.ABC,求证：.A . C =180【例13】如图所示，在Rt ABC中，AB=AC ,. BAC =90,. ABD二/CBD, CE 垂直于 BD 的延长线于 E。求证：BD=2CE。【练 1】已知：如图示，在 是/ ABC 的平分线求证:Rt ABC 中，/ A=90CD=2AD ，/ ABC=2 / C, BD【练2】如图所示，在ABC中， ABCC最新资料推荐【练3】正方形 ABCD,E 是 B

14、C 上一点，AE _ EF 交/ DCH 的平分线于点 F，求证 AE=EF【练 4】已知在 ABC 中，AB=AC，D 在 AB 上，E 在 AC 的延长线上，DE 交 BC 于 F,且 DF=EF，求证: BD=CE【例14】如图所示，已知AB/CD，- ABC,. BCD的平分线恰好交于 AD 上一点 E,求证:15BC=AB+CD 。AB最新资料推荐22【练1】如图，已知 AD / BC,/ PAB 的平分线与/ CBA 的平分线相交于 E, CE 的连线交 AP 于 D .求证:AD+BC=AB【练2】如图，在正方形 ABCD 中，F 是 CD 的中点，E 是 BC 边上的一点，且

15、AF 平分/ DAE，求证：AE=EC+CD .【练3】在厶 ABC 中，AD 是 BC 边上的高，/ B=2 / C.求证:【练4】如图所示,在三角形 ABC 中，/ ACB=90 ,AC=BC,D 为三角形 ABC 外一点，且 AD = BD,DE 丄 AC 交【练 5】在四边形 ABCD 中，AB / DC E 为 BC 边的中点，/ BAE= /AF 与 DC 的延长线相交于点 F。试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论AC 的延长线于点 E.试探求 ED、AE 和 BC 之间有何数量关系EAF ,F最新资料推荐23为 C、D。求证：(1) OC=OD ;(2

16、) DF=CF。构造等边三角形1、如图,已知ABC中,AB=AC,D是CB延长线上一点,/ADB=60,E是AD上一点，且有DE=DB.求证：AE=BE+BC.【例15】如图在 ABC 中，ABAC, / 1 =Z2, P 为 AD 上任意一点，求证：AB-AO PB-PCA12PBC【练1】已知 AM 为 ABC 的中线, 求证：BE CF . EF .AMB , . AMC 的平分线分别交 AB 于 E、交 AC 于 F .如图，E 是.AOB的平分线上一点,EC _ 0A,ED _ OB，垂足ADB最新资料推荐242、在等腰ABC 中，AB 二 AC，顶角.A = 20，在边 AB 上取

17、点 D，使 AD = BC，求.BDC .练习 1、如图，在 ABC 中，/ ACB=90 ,BE 平分/ ABC,DE 丄 AB 于 D,如果 AC=3cm,那么 AE+DE 等于最新资料推荐25A、2 cmB、3cmC、4cmD、5cm最新资料推荐26练习 2、在厶 ABC 和厶 ABC中,AB=AB,AC=AC,点 D,D分别是 BC,BC 的中点，且 AD=AD,证明:ABC三ABC.(倍长中线)练习 3、如图，在 ABC 中，BE 是/ ABC 的角平分线，AD 丄 BE,垂足为 D，求证:练习 4、如图(1)，已知 ABC 中，/ BAC=90 , AB=AC , AE 是过 A

18、的一条直线，且 B、C 在 A、E 的异侧，BD丄 AE 于 D, CE 丄 AE 于 E(1 )试说明：BD=DE+CE .(2) 若直线 AE 绕 A 点旋转到图(2)位置时(BDVCE),其余条件不变，问 BD 与 DE、CE 的关系如何？ 请直接写出结果；(3) 若直线 AE 绕 A 点旋转到图(3)位置时(BD CE),其余条件不变，问 BD 与 DE、CE 的关系如何？最新资料推荐27请直接写出结果，不需说明理由.如图所示，在 Rt ABC 中，AB = AC，/ BAC = 90 ，有过 A 的任一条直线AN，BD 丄 AN 于 D, CE 丄 AN，且/ ABD=60 ,BD+DC=AB.求证：/ ACD=60（截长补短）1、如图，等腰直角探究PA、ABC与等腰直角BDE,P为CE中点，连接PA、PD.PD的关系（辅助线的连法都一样）（思路： 截长补短法）最新资料推荐283、已知AM为 ABC 的中线，ZAMB，- AMC 的平分线分别交 AB 于 E、交 AC 于 F . 求证：BE+CFAEF.（辅助线的连法都一样）【阅读理解】 已知：如图1,等腰直角三角形ABC中，ZB=