第四章,4.5.2,用二分法求方程近似解

1、本文格式为word版，下载可任意编辑第四章,4.5.2,用二分法求方程近似解 4 5.2 用二分法求方程的近似解 学习目标 1.了解二分法的原理及其适用条件.2.把握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步靠近与程序化思想 学问点一 二分法 对于在区间a，b上图象连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法 思索 1 若函数 yf(x)在定义域内有零点，该零点是否肯定能用二分法求解？ 答案 二分法只适用于函数的变号零点(即函数值在零点两侧符号相反)，因此函数值在零点两侧同号的零

2、点不能用二分法求解，如 f(x)(x1) 2 的零点就不能用二分法求解 思索 2 二分法的解题原理是什么？ 答案 函数零点存在定理 学问点二 用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤 1确定零点 x 0 的初始区间a，b，验证 f(a)f(b)0. 2求区间(a，b)的中点 c. 3计算 f(c)，并进一步确定零点所在的区间 (1)若 f(c)0(此时 x 0 c)，则 c 就是函数的零点 (2)若 f(a)f(c)0(此时 x 0 (a，c)，则令 bc. (3)若 f(c)f(b)0(此时 x 0 (c，b)，则令 ac. 4推断是否达到精确度 ：若|ab|，则得到零点近似值 a(或 b)

3、；否则重复步骤 24. 以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来推断 1假如函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值( ) 2要用二分法，必需先确定零点所在区间( ) 3用二分法最终肯定能求出函数零点( ) 4达到精确度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值( ) 一、二分法概念的理解 例 1 (1)(多选)下列函数图象与 x 轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是( ) 答案 abc 解析 依据二分法的基本方法，函数 f(x)在区间a，b上的图象连续不断，且 f(a)f(b)0，即函数的零点是变号零点，才能

4、将区间a，b一分为二，逐步得到零点的近似值对各图象分析可知，选项 a，b，c 都符合条件，而选项 d 不符合，由于零点左右两侧的函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点的近似值 (2)用二分法求方程 2 x 3x70 在区间(1,3)内的近似解，取区间的中点为 x 0 2，那么下一个有根的区间是_ 答案 (1,2) 解析 设 f(x)2 x 3x7，f(1)2370， f(3)100，f(2)30， f(x)零点所在的区间为(1,2)， 方程 2 x 3x70 下一个有根的区间是(1,2) 反思感悟 运用二分法求函数的零点应具备的条件 (1)函数图象在零点四周连续不断 (2)在该零点左右函数值

5、异号 只有满意上述两个条件，才可用二分法求函数零点 跟踪训练 1 已知函数 f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( ) a4,4 b3,4 c5,4 d4,3 答案 d 解析 图象与 x 轴有 4 个交点，所以零点的个数为 4；左右函数值异号的零点有 3 个，所以可以用二分法求解的个数为 3. 二、用二分法求方程的近似解 例 2 用二分法求方程 2x 3 3x30 的一个正实数近似解(精确度是 0.1) 解 令 f(x)2x 3 3x3，经计算， f(0)30，f(1)20，f(0)f(1)0， 所以函数 f(x)在(0,1)内存在零点， 即方程 2x 3 3x30

6、 在(0,1)内有解 取(0,1)的中点 0.5，经计算 f(0.5)0， 又 f(1)0，所以方程 2x 3 3x30 在(0.5,1)内有解 如此连续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表： (a，b) 中点 c f(a) f(b) f èæøöab2 (0,1) 0.5 f(0)0 f(1)0 f(0.5)0 (0.5,1) 0.75 f(0.5)0 f(1)0 f(0.75)0 (0.5,0.75) 0.625 f(0.5)0 f(0.75)0 f(0.625)0 (0.625,0.75) 0.687 5 f(0.625)0 f(0.75)0

7、 f(0.687 5)0 由于|0.687 50.75|0.062 50.1， 所以方程 2x 3 3x30 的一个精确度为 0.1 的正实数近似解可取为 0.687 5. 反思感悟 利用二分法求方程的近似解的步骤 (1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n1)，nz. (2)利用二分法求出满意精确度的方程的解所在的区间 m. (3)区间 m 内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间 m 的一个端点 跟踪训练 2 求函数 f(x)x 3 3x 2 9x1 的一个负零点(精确度 0.01) 解 确定一个包含负数零点的区间(m，n)， 且 f(m)f(n)0. 由于 f

8、(1)0，f(2)0， 所以可以取区间(2，1)作为计算的初始区间，当然选取较大的区间也可以用二分法逐步计算，列表如下： 端点(中点) 端点或中点的函数值 取值区间 f(1)0， f(2)0 (2，1) x 0 1221.5 f(x 0 )4.3750 (2，1.5) x 1 1.5221.75 f(x 1 )2.2030 (2，1.75) x 2 1.75221.875 f(x 2 )0.7360 (2，1.875) x 3 1.875221.937 5 f(x 3 )0.097 40 (1.937 5，1.875) x 4 1.8751.937 521.906 25 f(x 4 )0.32

9、8 00 (1.937 5，1.906 25) x 5 1.937 51.906 2521.921 875 f(x 5 )0.117 40 (1.937 5，1.921 875) x 6 1.937 51.921 87521.929 687 5 f(x 6 )0.010 50 (1.937 5，1.929 687 5) 由于|1.929 687 51.937 5|0.007 812 50.01， 所以函数的一个负零点近似值可取为1.929 687 5. 1观看下列函数的图象，推断能用二分法求其零点的是( ) 答案 a 2下列函数中，必需用二分法求其零点的是( ) ayx7 by5 x 1 cy

10、log 3 x dy èæøö12x x 答案 d 解析 a，b，c 项均可用解方程求其根，d 项不能用解方程求其根，只能用二分法求零点 3用二分法求函数 f(x)x 3 5 的零点可以取的初始区间是( ) a(2，1) b(1,0) c(0,1) d(1,2) 答案 a 解析 f(2)f(1)120，所以可以取的初始区间是(2，1) 4用二分法讨论函数 f(x)x 3 3x1 的零点时，第一次计算，得 f(0)0，f(0.5)0，其次次应计算 f(x 1 )，则 x 1 等于( ) a1 b1 c0.25 d0.75 答案 c 解析 x 1 00.52

11、0.25. 5已知函数 f(x)x 3 2x2，f(1)f(2)0，用二分法逐次计算时，若 x 0 是1,2的中点，则 f(x 0 )_. 答案 1.625 解析 由题意，x 0 1.5，f(x 0 )f(1.5)1.625. 1学问清单： (1)二分法的定义 (2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解 2方法归纳：化归、靠近 3常见误区： 二分法并不适用于全部零点，只能求函数的变号零点 1用二分法求如图所示的函数 f(x)的零点时，不行能求出的零点是( ) ax 1 bx 2 cx 3 dx 4 答案 c 解析 能用二分法求零点的函数必需满意在区间a，b上连续不断，且 f(a)f(b)0.而

12、 x 3 两边的函数值都小于零，不满意区间端点处函数值符号相异的条件 2设 f(x)lg xx3，用二分法求方程 lg xx30 在(2,3)内近似解的过程中得 f(2.25)0，f(2.75)0，f(2.5)0，f(3)0，则方程的根落在区间( ) a(2,2.25) b(2.25,2.5) c(2.5,2.75) d(2.75,3) 答案 c 解析 由于 f(2.5)0，f(2.75)0，由函数零点存在定理知，方程的根在区间(2.5,2.75) 3用二分法求函数 f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为 0.001，则结束计算的条件是( ) a|ab|0.1 b|ab|0.001 c|

13、ab|0.001 d|ab|0.001 答案 b 解析 据二分法的步骤知当|ba|小于精确度 时，便可结束计算 4(多选)在用二分法求函数 f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)0，f(0.72)0，f(0.68)0，则函数的一个精确度为 0.05 的正实数零点的近似值可以为( ) a0.68 b0.72 c0.7 d0.6 答案 abc 解析 已知 f(0.64)0，f(0.72)0，则函数 f(x)的零点的初始区间为(0.64,0.72)，又由于 0.68 12(0.640.72)，且 f(0.68)0，所以零点在区间(0.68,0.72)上，|0.720.68|0.040.0

14、5，所以0.68,0.7,0.72 都符合 5若函数 f(x)x 3 x 2 2x2 的一个正数零点四周的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： f(1)2 f(1.5)0.625 f(1.25)0.984 f(1.375)0.260 f(1.438)0.165 f(1.406 5)0.052 那么方程 x 3 x 2 2x20 的一个近似根(精确度 0.05)为( ) a1.5 b1.375 c1.438 d1.25 答案 c 解析 f(1.406 5)0，f(1.438)0， f(1.406 5)f(1.438)0， 该方程的根在区间(1.406 5,1.438)内， 又|1.406 5

15、1.438|0.031 50.05， 方程的近似根可以是 1.438. 6用二分法求函数 f(x)在区间a，b内的零点时，需要的条件是_(填序号) f(x)在a，b上连续不断；f(a)f(b)0； f(a)f(b)0；f(a)f(b)0. 答案 解析 由二分法适用条件直接可得 7用二分法求方程 x 3 2x50 在区间(2,4)上的实数根时，取中点 x 1 3，则下一个有根区间是_ 答案 (2,3) 解析 设函数 f(x)x 3 2x5， f(2)10，f(3)160，f(4)510， 下一个有根区间是(2,3) 8用二分法求函数 f(x)ln x2x6 在区间(2,3)内的零点近似值，至少经

16、过_次二分后精确度达到 0.1. 答案 4 解析 开区间(2,3)的长度等于 1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过 n 次操作后，区间长度变为12 n ，故有12 n 0.1，即 2n 10，则 n4，所以至少需要操作 4 次 9推断函数 f(x)2x 3 1 的零点个数，并用二分法求零点的近似值(精确度 0.1) 解 f(0)10，f(1)10， 即 f(0)f(1)0，f(x)在(0,1)内有零点， 又 f(x)在(，)上是增函数， f(x)只有一个零点 x 0 (0,1) 取区间(0,1)的中点 x 1 0.5，f(0.5)0.750， f(0.5)f(1)0，即 x 0 (

17、0.5,1) 取区间(0.5,1)的中点 x 2 0.75， f(0.75)0.156 250， f(0.75)f(1)0，即 x 0 (0.75,1) 取区间(0.75,1)的中点 x 3 0.875，f(0.875)0.340. f(0.75)f(0.875)0，即 x 0 (0.75,0.875) 取区间(0.75,0.875)的中点 x 4 0.812 5， f(0.812 5)0.0730. f(0.75)f(0.812 5)0，即 x 0 (0.75,0.812 5)， 而|0.812 50.75|0.1. f(x)的零点的近似值可取为 0.75. 10已知函数 f(x)3 x x

18、2x1 在(1，)上单调递增，用二分法求方程 f(x)0 的正根(精确度 0.01) 解 由于函数 f(x)3 x x2x1 在(1，)上单调递增，故在(0，)上也单调递增， 因此 f(x)0 的正根最多有一个 由于 f(0)10，f(1) 52 0， 所以方程的正根在(0,1)内，取(0,1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表： 区间 中点值 中点函数近似值 (0,1) 0.5 0.732 (0,0.5) 0.25 0.084 (0.25,0.5) 0.375 0.328 (0.25,0.375) 0.312 5 0.124 (0.25,0.312 5) 0.281 25 0.021 (

19、0.25,0.281 25) 0.265 625 0.032 (0.265 625,0.281 25) 0.273 437 5 0.005 43 (0.273 437 5,0.281 25) 由于|0.273 437 50.281 25|0.007 812 50.01，所以方程的根的近似值为 0.273 437 5，即 f(x)0 的正根约为 0.273 437 5. 11若函数 f(x)在a，b上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满意 f(a)f(b)0，f(a)f èæøöab20，则( ) af(x)在 ëéû

20、9;a， ab2上有零点 bf(x)在 ëéûùab2，b 上有零点 cf(x)在 ëéûùa， ab2上无零点 df(x)在 ëéûùab2，b 上无零点 答案 b 解析 由 f(a)f(b)0，f(a)f èæøöab20 可知 f èæøöab2f(b)0，依据函数零点存在定理可知 f(x)在 ëéûùab2，b 上有零点 12用二分法求函数的零点，经

21、过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|ab|( 为精确度)时，函数零点的近似值 x 0 ab2与真实零点的误差的取值范围为( ) a. ëéøö0， 4 b. ëéøö0， 2 c0，) d0,2) 答案 b 解析 真实零点离近似值 x 0 最远即靠近 a 或 b， 而 b ab2 ab2a ba2 2 ， 所以误差的取值范围为 ëéøö0， 2. 13函数 f(x)x 2 axb 有零点，但不能用二分法求出，则 a，b 的关系是_ 答案 a 2 4b 解析 函数

22、f(x)x 2 axb 有零点，但不能用二分法求出， 函数 f(x)x 2 axb 的图象的顶点在 x 轴上， a 2 4b0，a 2 4b. 14某同学在借助计算器求"方程 lg x2x 的近似解(精确度 0.1)'时，设 f(x)lg xx2，算得 f(1)0，f(2)0；在以下过程中，他用"二分法'又取了 4 个 x 的值，计算了其函数值的正负，并得出推断：方程的近似解是 x1.8.那么他再取的 x 的 4 个值依次是_ 答案 1.5,1.75,1.875,1.812 5 解析 第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，其次次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.8