现代控制理论第三章

1、第三章 线性控制系统的能控性和能观性第三章第三章 线性控制系统的能控性和能观性线性控制系统的能控性和能观性n3.1 能控性的定义n3.2 线性定常系统的能控性判别n3.3 线性连续定常系统的能观性n3.4 离散时间系统的能控性与能观性n3.5 时变系统的能控性与能观性n3.6 能控性与能观性的对偶关系n3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型n3.8 线性系统的结构分解n3.9 传递函数阵的实现问题n3.10 传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系3.1 能控性的定义能控性的定义 系统在输入控制u(t)的控制下，状态矢量x(t)的转移情况n1线性连续定常系统的能控性定义n2线

2、性连续时变系统的能控性定义n3线性离散时间系统的能控性定义1线性连续定常系统的能控性定义线性连续定常系统的能控性定义n线性连续定常系统n状态是能控的：存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限时间区间t0,tf，使系统由某一初始状态x(t0)，转移到指定的任一终端状态x(tf)。n系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的：系统的所有状态都是能控的。xAxBu1线性连续定常系统的能控性定义线性连续定常系统的能控性定义n1)假定初始时刻t0=0，在有限时间区间t0,tf，使系统由任 一初始状态x(0)，转移到终端状态零状态。n2)假定x(t0)=0，在有限时间区间t0,tf，使系统达到任意终端状态。

3、q状态的能达性。在线性定常系统中，能控性与能达性是可以互逆。n 3) 控制作用从理论上说是无约束的，其取值并非唯一的。2线性连续时变系统的能控性定义线性连续时变系统的能控性定义n线性连续时变系统n强调在t0时刻系统是能控的。 qA(t)、B(t)是时变矩阵而非常系数矩阵q其状态矢量x(t)的转移，与初始时刻t0的选取有关， t0时刻系统是能控的。 xA t xB t u3线性离散时间系统的能控性定义线性离散时间系统的能控性定义n线性离散时间系统n状态是能控的：存在控制作用序列u(k)，u(k+1), ，u(l-1)能将第k步的某个状态x(k)在第l步上到达零状态，即x(l)=0，其中l是大于k

4、的有限数。n系统是状态完全能控的，或简称系统是能控的：系统在第k步上的所有状态x(k)都是能控的。 1x kGx kHu k3.2 线性连续定常系统的能控性判别线性连续定常系统的能控性判别n3.2.1 根据约旦标准型的能控性判别n3.2.2 根据系统矩阵A和控制矩阵B的能控性判别n3.2.3 根据传递函数阵的能控性判别3.2.1 根据约旦标准型的能控性判别根据约旦标准型的能控性判别n具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统n具有一般系统矩阵的多输入系统具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统12312300nnxxbuxJxbun ，即 个互异根。111112110000

5、110001000001mmm lnmTnJmlbbbb 个 重根， 个重根，其余为互异根。具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统11222112121112100,010,01,00 xxuyc cxbxxuyc cxbbxxuyc cx具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统1122200,0 xxuyc cxb具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统1121210,0 xxuyc cxb具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统111211,00bxxuyc cx具有约旦标准型

6、系统矩阵的单输入系统具有约旦标准型系统矩阵的单输入系统n1)系统的能控性，取决于状态方程中的系统矩阵A和控制矩阵B：系统的结构、参数，以及控制作用的施加点。n2)在A为对角线型矩阵的情况下，B的元素全不为0，系统是完全能控的。n3)在A为约旦标准矩阵的情况下，当B相应于约旦块的最后一行的元素不为零，同时其他相应于互异根的元素不为零时，系统是完全能控的。具有一般系统矩阵的多输入系统具有一般系统矩阵的多输入系统n系统的状态方程为：系统的状态方程为：n 令令x=Tz可变换为约旦标准型：可变换为约旦标准型：n系统线性变换不改变系统的能控性。系统线性变换不改变系统的能控性。q若系统矩阵若系统矩阵A的特征

7、值互异，控制矩阵的特征值互异，控制矩阵T-1B的各行元素没有全的各行元素没有全为为0的。的。q若系统矩阵若系统矩阵A的特征值有相同的，的特征值有相同的，nT-1B中对应于相同特征值的部分，它与每个约旦块最后一中对应于相同特征值的部分，它与每个约旦块最后一行相对应的一行的元素没有全为行相对应的一行的元素没有全为0的。的。n T-1B中对于互异特征值部分，各行元素没有全为中对于互异特征值部分，各行元素没有全为0的。的。11 zzT BuzJzT Bu 或xAxBu3.2.1 根据约旦标准型的能控性判别根据约旦标准型的能控性判别n例3-11112122333310 xxxxbuxxb11111121

8、2122333313210 0 xxbbuxxuxxbb111221133124444551011003010012xxxxuxxuxxxx1111221213313244444551110 xxbxxbuxxbubxxxx3.2.1 根据约旦标准型的能控性判别根据约旦标准型的能控性判别n例3-2n例3-3455101xxu012010000101xxuaaa 具有一般系统矩阵的多输入系统具有一般系统矩阵的多输入系统n系统的状态方程为：系统的状态方程为：n 令令x=Tz可变换为约旦标准型：可变换为约旦标准型：n系统线性变换不改变系统的能控性。系统线性变换不改变系统的能控性。q若系统矩阵若系统矩

9、阵A的特征值互异，控制矩阵的特征值互异，控制矩阵T-1B的各行元素没有全的各行元素没有全为为0的。的。q若系统矩阵若系统矩阵A的特征值有相同的，的特征值有相同的，nT-1B中对应于相同特征值的部分，它与每个约旦块最后一中对应于相同特征值的部分，它与每个约旦块最后一行相对应的一行的元素没有全为行相对应的一行的元素没有全为0的。的。n T-1B中对于互异特征值部分，各行元素没有全为中对于互异特征值部分，各行元素没有全为0的。的。11 zzT BuzJzT Bu 或xAxBu3.2.2 根据系统矩阵根据系统矩阵A和控制矩阵和控制矩阵B的能控性判别的能控性判别n单输入系统单输入系统q状态方程为状态方程

10、为q其能控的充分必要条件是矩阵其能控的充分必要条件是矩阵M满秩。满秩。n多输入系统多输入系统q状态方程为状态方程为q其能控的充分必要条件是矩阵其能控的充分必要条件是矩阵M秩为秩为n。xAxBu21,nMb Ab A bAbxAxBu21,nMBABA BAB证明证明 0000,ttx tttx ttbudtt 000ftfftttx ttbud 000fttx ttbud 10nkjjkjAAk对任何的 01!Atk kkteA tk 11100000!kknnnjjjjkjkjkjjkjttta AAt Akk 011000001211fnntjjjjtjjnnx tA btudA bbAb

11、A bAb 3.2.2 根据系统矩阵根据系统矩阵A和控制矩阵和控制矩阵B的能控性判别的能控性判别455101xxu012010000101xxuaaa 12121100100110300uxxu3.2.3 根据传递函数阵的能控性判别根据传递函数阵的能控性判别n系统的系统的X-U传递函数阵没有零极点对消现象传递函数阵没有零极点对消现象n单输入系统单输入系统qX-U传递函数阵传递函数阵n多输入系统多输入系统qX-U传递函数阵传递函数阵1( )()usWssIAb1( )()usWssIAB3.2.3 根据传递函数阵的能控性判别根据传递函数阵的能控性判别455101xxu012010000101xx

12、uaaa 3.3 线性连续定常系统的能观性线性连续定常系统的能观性n系统的能观测问题：通过对输出的测量获得状态系统的能观测问题：通过对输出的测量获得状态变量的信息。变量的信息。3.3 线性定常连续系统的能观性线性定常连续系统的能观性n3.3.1 能观性定义能观性定义n3.3.2 定常系统能观性的判别定常系统能观性的判别q转换成约旦标准型判别转换成约旦标准型判别q根据根据A、C阵判别阵判别3.3.1 能观性定义能观性定义n状态状态x(t0)是能观测的：是能观测的：对任意给定的输入对任意给定的输入u，在有限观测时间在有限观测时间tft0，根据，根据t0,tf期间的输出期间的输出y，能唯一地确定系统

13、在初始时刻的状态能唯一地确定系统在初始时刻的状态x(t0)。n系统是状态完全能观测的、系统是状态完全能观测的、能观的能观的：系统的每：系统的每一个状态都是能观测的。一个状态都是能观测的。3.3.1 能观性定义能观性定义n n根据根据y求求x：qm=n，且，且C是非奇异的阵时：是非奇异的阵时：qm0，使得：，使得：则该系统在则该系统在0,tf上是状态完全能控的。上是状态完全能控的。 xA t xB t u 11112,2,3,iiicnB tB tB tA t BtBtinQtB tBtBt cfrankQtn3.5.1 线性时变连续系统能控性判别线性时变连续系统能控性判别n例例3-9q计算状态

14、转移矩阵计算状态转移矩阵(t,t0) q计算能控性判别矩阵计算能控性判别矩阵Wc(t0,tf)q判断判断112200001xxtuxx cfrankQtnq计算计算Bi(t) q计算计算Qc(t)q判断判断rankQc(tf)=n3.5.2 线性时变连续系统能观性几点说明线性时变连续系统能观性几点说明n1)时间区间时间区间t0,tf是识别初始状态是识别初始状态x(t0)所带要的观测时间，该区间所带要的观测时间，该区间的大小和初始时刻的大小和初始时刻t0的选择有关。的选择有关。n2)不能观测状态的数学表达式：不能观测状态的数学表达式：n3)对系统作线性非奇异变换，不改变其能观测性。对系统作线性非

15、奇异变换，不改变其能观测性。n4)如果如果x(t0)是不能观测的，则是不能观测的，则x(t0)也是不能观测的也是不能观测的，为任意非为任意非零实数。零实数。n5)如果如果x01 和和x02都是不能观的，则都是不能观的，则x01+ x02也是不能观的。也是不能观的。n6) 系统的不能观测状态构成状态空间的一个子空间，称为不能观系统的不能观测状态构成状态空间的一个子空间，称为不能观子空间，记为子空间，记为XO。 000,0, ,fC tt tx ttt t3.5.2 线性时变连续系统能观性判别线性时变连续系统能观性判别n线性时变连续系统线性时变连续系统系统在系统在t0,tf上状态完全能观的充分必要

16、条件为上状态完全能观的充分必要条件为格拉姆矩阵格拉姆矩阵WO(t0,tf)为非奇异的。为非奇异的。 xA t xB t uyC t x 00000,ftTTftWt tt tCt C tt tdt 0000,x tt tx ty tC tt tx t 0000,TTTTt tCt y tt tCt C tt tx t 000000000,fftTTttTTtft tCt y t dtt tCt C tt tx tdtWt tx t3.5.2 线性时变连续系统能观性判别线性时变连续系统能观性判别n线性时变连续系统能控的充分条件线性时变连续系统能控的充分条件A(t)，C(t)的元对时间分别是的元对

17、时间分别是(n2)和和(n1)次连续可微次连续可微的，设的，设存在某个时刻存在某个时刻tf0，使得：，使得：则该系统在则该系统在0,tf上是状态完全能控的。上是状态完全能控的。 frankR tn 111,2,3,iiiC tC tC tCA tCtin 12nC tCtR tCt3.5.2 线性时变连续系统能观性判别线性时变连续系统能观性判别n例例3-11210( )0000tA ttt( )101C t 3.5.3 时变连续系统可控性和可观性判别时变连续系统可控性和可观性判别法则和定常连续系统的判别法之间法则和定常连续系统的判别法之间n时变系统与定常系统的能控性和能观性判据是形时变系统与定

18、常系统的能控性和能观性判据是形异而实同异而实同010200,nH t th tthtthtt ，000,ftTtGHt t H t t dt 0000000,fftTTcfttTTTTTtWt tt t B t Btt t dtBtt tBtt tdt 0,TTBtt t非奇异 0,t t B t非奇异00111001,nA ttjnjjneBtt A BBABAB3.5.3 时变连续系统可控性和可观性判别时变连续系统可控性和可观性判别法则和定常连续系统的判别法之间法则和定常连续系统的判别法之间n时变系统与定常系统的能控性和能观性判据是形时变系统与定常系统的能控性和能观性判据是形异而实同异而实

19、同 00000000,fftTTfttTtWt tt tCt C tt tdtC tt tC tt tdt 00A t tCttCe0100101,nA t tjjnjnCCACettCACA3.6 能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性的对偶关系n3.6.1 对偶系统对偶系统q对偶系统对偶系统q对偶系统的关系对偶系统的关系n3.6.2 线性定常系统的对偶原理线性定常系统的对偶原理n3.6.3 线性时变系统的对偶原理线性时变系统的对偶原理3.6.1 对偶系统对偶系统对偶系统对偶系统n系统系统1系统系统2当满足以下条件时当满足以下条件时称称系统系统1和和 2互为对偶系统。互为对偶系统。11 11

20、 111 1xAxBuyC x22222222xA xB uyC x212121 TTTAABCCB3.6.1 对偶系统对偶系统对偶系统的关系对偶系统的关系n输入端与输出输入端与输出端互换端互换n信号传递方向信号传递方向相反相反n信号引出点和信号引出点和综合点互换综合点互换n对应矩阵转置对应矩阵转置3.6.1 对偶系统对偶系统对偶系统的关系对偶系统的关系n传递函数矩阵互为转置传递函数矩阵互为转置n特征方程式相同特征方程式相同 11111W sCsIAB 12222WsCsIAB1111TTTBsIAC1111TTTBsIAC 11111TTCsIABW s211=TsIAsIAsIA3.6.2

21、 线性定常系统的对偶原理线性定常系统的对偶原理n系统系统1(A1,B1,C1)和系统和系统2 (A2,B2,C2)互为对偶互为对偶系统系统q则1的能控性等价于2的能观性，1的能观性等价于2的能控性；q若1是状态完全能控的(完全能观的)，则2是状态完全能观的(完全能控的)。1222222,nMBA BAB1111111,nTTTTTTCA CACN1222222,nTTTTTTNCA CAC1111111,nBABABM3.6.3 线性时变系统的对偶原理线性时变系统的对偶原理n系统系统1(A1(t),B1(t),C1(t)和系统和系统2 (A2(t),B2(t),C2(t)满足以下条件时满足以下

22、条件时,互为对偶系互为对偶系统统n互为对偶的两时变系统的状态转移矩阵互为转互为对偶的两时变系统的状态转移矩阵互为转置逆置逆 212121TTTA tAtBtCtCtBt 2010,Tt tt t 3.6.3 线性时变系统的对偶原理线性时变系统的对偶原理n1的能观性等价于2的能控性n1的能控性等价于2的能观性 020202220,ftTTcftWt tt t Bt Btt t dt 0101110,ftTTtt tCt C tt tdt010,fWt t 020202220,ftTToftWt tt tCt Ctt tdt 0101110,ftTTtt t B t Btt t dt10,cfWt

23、 tn3.5.1 线性时变连续系统能控性判别线性时变连续系统能控性判别q有关能控性的几点说明有关能控性的几点说明q线性时变连续系统能控性判别线性时变连续系统能控性判别n充分必要条件充分必要条件n充分条件充分条件n3.5.2 线性时变连续系统能观性判别线性时变连续系统能观性判别q有关能观性的几点说明有关能观性的几点说明q线性时变连续系统能观性判别线性时变连续系统能观性判别n3.5.3 时变连续系统可控性和可观性判别法则和定常连续系统的判别法时变连续系统可控性和可观性判别法则和定常连续系统的判别法 0000,ftTTcftWt tt t B t Btt t dt 000,fttxtBud 1111

24、2,2,3,iiicnB tB tB tA t BtBtinQtB tBtBt cfrankQtn 000,0, ,fC tt tx ttt t 00000,ftTTftWt tt tCt C tt tdt frankR tn 111,2,3,iiiC tC tC tCA tCtin 12nC tCtR tCtn3.6 能控性与能观性的对偶关系能控性与能观性的对偶关系q3.6.1 对偶系统对偶系统n对偶系统对偶系统n对偶系统的关系对偶系统的关系q3.6.2 线性定常系统的对偶原理线性定常系统的对偶原理q3.6.3 线性时变系统的对偶原理线性时变系统的对偶原理11 11 111 1xAxBuyC

25、 x22222222xA xB uyC x212121 TTTAABCCB 11111W sCsIAB1的能控性等价于2的能观性，1的能观性等价于2的能控性。 212121TTTA tAtBtCtCtBt 2010,Tt tt t 3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型状态空间表达式的能控标准型与能观标准型n3.7.1 单输入系统的能控标准型单输入系统的能控标准型q1能控标准能控标准型型q2能控标准能控标准型型n3.7.2 单输出系统的能观标准型单输出系统的能观标准型q1能观标准能观标准型型q2能观标准能观标准型型112123121110,11nnncnaTAbAbAbbaaaaa1能

26、控标准型xAxbuycx1cxT x xAxbuyc x1110121010000000001ccnnATATaaaa110001cbT b 1011,cnccT1110nnnIAaaa12011211nnnnnnc AbabAbabc Ababcbn能控标准I型的系统传递函数 11212101110nnnnnnnW sc sIAbssssasa sa2能控标准型xAxbuycx12,ncxT xbAbAb xxAxbuyc x0112221000100010001ccnaaATATaa 121000cbT b 2011,cnccT1110nnnIAaaa0111nncbcAbcAb能控标准型

27、n例3-12q先根据M判别系统的能控性q计算系统的特征多项式(系数)q写出q计算120231110201001xxuyx AbC1能观标准型xAxbuycx01xT xxAxbuycx101010121010000100001nATATaaaa 011011nbT b011,0,0,0ccT1011nccATNcAn系统系统*(A*,B*,C*)为系统为系统(A,B,C)的对偶系统的对偶系统n对偶系统对偶系统*(A*,B*,C*)的能控标准的能控标准型型n系统系统(A,B,C)的能观性等价于其对偶系统的能观性等价于其对偶系统*(A*,B*,C*)的能控性的能控性 TTTAAbccb012101

28、0000100001TnAAaaaa 011Tnbc1,0,0,0TCbTAA（ ） Tbc Tcb2能观标准型02xT x112123210211010010001nnnnaaacAaacATacAc 011020221000100010001naaATATaa011021nbT b020,0,0,1CCT能观标准型n例3-14q先根据N判别系统的能观性q计算系统的特征多项式(系数)q写出q计算120231110201001xxuyx AbC3.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解n3.8.1 按能控性分解按能控性分解n3.8.2 按能观性分解按能观性分解n3.8.3 按能控性和能观性进

29、行分解按能控性和能观性进行分解3.8.1 按能控性分解按能控性分解其能控矩阵其能控矩阵 的秩的秩存在非奇异变换存在非奇异变换 将状态空间表达式变换为将状态空间表达式变换为其中其中前前n1个列矢量个列矢量R1,R2,Rn1是能控矩阵是能控矩阵M中的中的n1个线形无个线形无关的列，另外关的列，另外(n-n1)个列为确保个列为确保Rc非奇异的任意列向量非奇异的任意列向量xAxBuyCx1,nMBABAB1rankMnncxR x121,cnnRRRRRxAxBuyCx系统系统 不完全能控不完全能控其中其中n1维系统子空间维系统子空间 是能控的是能控的 (n-n1)维系统子空间维系统子空间 是不能控的

30、是不能控的xAxBuyCx1121xnxxnn11211111220ccnn nAAnAR ARnnA11110cBnBR Bnn112cnn nCCRCC111 11122xA xBuA x2222xA x系统系统 中中111 11122xA xBuA x2222xA x例例001110310130012xxuyx 2101113012MbAbA b23rankM 100110011CR11cccxR AR xR bu11100001100100111010311011010110130110110 xu 011112200010 xu 112cyCR xxn判断能控性判断能控性n构造非奇异

31、变换构造非奇异变换RCn变换为变换为xAxBuyCx3.8.2 按能观性分解按能观性分解其能观矩阵 的秩存在非奇异变换 将状态空间表达式变换为其中前n1个行向量 , , 是能观矩阵N中的n1个线形无关的行，另外(n-n1)个列为确保Ro非奇异的任意行向量xAxBuyCx1,nTTTTTTNCA CAC1rankNnnoxR x1121TTTTonnRRRRRxAxBuyCx系统 不完全能观2TR1TnR1TR (n-n1)维系统子空间维系统子空间 是不能观的是不能观的其中其中n1维系统子空间维系统子空间 是能观的是能观的xAxBuyCx1121xnxxnn11111100222110n nnA

32、nAR ARAAnn111021BnBR BBnn 11010n nnCCRC111 111 1xA xBuyC x221 12222xA xA xB u系统系统 中中111 111 1xA xBuyC x221 12222xA xA xB u3.8.3 按能控性和能观性进行分解按能控性和能观性进行分解n线性系统是不完全能控和不完全能观的，若对线性系统是不完全能控和不完全能观的，若对该系统同时按能控性和能观性进行分解，则可该系统同时按能控性和能观性进行分解，则可以把系统分解成能控且能观、能控不能观、不以把系统分解成能控且能观、能控不能观、不能控能观、不能控不能观四部分。能控能观、不能控不能观四

33、部分。n分解方法：分解方法：q逐步分解逐步分解q化为标准型分解化为标准型分解3.8.3 按能控性和能观性进行分解按能控性和能观性进行分解xAxBuyCxxRxxAxBuyCx11132122232413343440000000AAAAAAAR ARAAA12100BBBR B13,0,0CCRCC3.8.3 按能控性和能观性进行分解按能控性和能观性进行分解11131212223242334344000000000cocococococococoxAAxBxAAAAxBuxAxxAAx 13,0,0cocococoxxyCCxxn能控能观子系统能控能观子系统n能控不能观子系统能控不能观子系统n不

34、能控能观子系统不能控能观子系统n不能控不能观子系统不能控不能观子系统1111(,)AB C222(,0)AB333(,0,)AC44(,0,0)A 111111W sC sIABCsIABn最小实现最小实现：给定传递函数阵对应的无穷多个实现（状：给定传递函数阵对应的无穷多个实现（状态空间表达式）中维数最小的实现。态空间表达式）中维数最小的实现。逐步分解逐步分解将系统将系统(A,B,C)按能控性分解按能控性分解cccxxRx1112400cccccccccxxxAABR ARR BuuxxxA12,cccccxxyCRCCxx将不能控的子系统将不能控的子系统 按能观性分解按能观性分解42(,0,

35、)CAC 02coccoxxRx3310240243440cocococococoxxAxR A RxxAAx2023,0cocococoxxyC RCxx将能控子系统将能控子系统 按能观性分解按能观性分解11(, ,)CA B C 01coccoxxRx12cccxAxA xBu01101202cocococococoxxxRARA RBuxxx111011010120201cocococococoxxxR ARR A RR Buxxx1311123242122200cocococoxAxABuxAAxAAB1011,0cocococoxxyC RCxx02coccoxxRx11131212

36、223242334344000000000cocococococococoxAAxBxAAAAxBuxAxxAAx13,0,0cocococoxxyCCxx按能控性和能观性进行分解按能控性和能观性进行分解化为标准型分解化为标准型分解11223314425566410013045731043003001116000100 xxxxxxuxxuxxxx12314256310500140200 xxxyxyxx11223315524466410000130400005700301043000101160000300000000100cocococoxxxxxxxxuxxxuxxxxxn能控且能观变量

37、：能控且能观变量：n能控但不能观变量：能控但不能观变量：12315246310050140020 xxxyxyxxn不能控但能观变量：不能控但能观变量：n不能控不能观变量：不能控不能观变量：x1，x2x3x4x6，x5112123121110,11nnncnaTAbAbAbbaaaaa3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型状态空间表达式的能控标准型与能观标准型n3.7.1 单输入系统的能控标准型单输入系统的能控标准型q1能控标准能控标准型型q2能控标准能控标准型型n3.7.2 单输出系统的能观标准型单输出系统的能观标准型q1能观标准能观标准型型q2能观标准能观标准型型111012101

38、0000000001ccnnATATaaaa110001cbT b 1011,cnccTxAxbuycx1cxT x212,cncxT xTbAbAb x0112221000100010001ccnaaATATaa 121000cbT b 2011,cnccT3.7 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型状态空间表达式的能控标准型与能观标准型n3.7.1 单输入系统的能控标准型单输入系统的能控标准型q1能控标准能控标准型型q2能控标准能控标准型型n3.7.2 单输出系统的能观标准型单输出系统的能观标准型q1能观标准能观标准型型q2能观标准能观标准型型xAxbuycx01xT x10101012

39、1010000100001nATATaaaa 011011nbT b011,0,0,0ccT1011nccATNcA02xT x112123210211010010001nnnnaaacAaacATacAc 011020221000100010001naaATATaa011021nbT b020,0,0,1CCT3.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解n3.8.1 按能控性分解按能控性分解n3.8.2 按能观性分解按能观性分解n3.8.3 按能控性和能观性进行分解按能控性和能观性进行分解xAxBuyCx1121xnxxnn11211111220ccnn nAAnAR ARnnA11110c

40、BnBR Bnn112cnn nCCRCC1121xnxxnn11111100222110n nnAnAR ARAAnn 111021BnBR BBnn11010n nnCCRCxAxBuyCx3.8 线性系统的结构分解线性系统的结构分解n3.8.1 按能控性分解按能控性分解n3.8.2 按能观性分解按能观性分解n3.8.3 按能控性和能观性进行分解按能控性和能观性进行分解xAxBuyCxxRxxAxBuyCx11132122232413343440000000AAAAAAAR ARAAA12100BBBR B13,0,0CCRCC3.9 传递函数阵的实现问题传递函数阵的实现问题n3.9.1

41、实现问题的基本概念实现问题的基本概念n3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现能控标准型实现和能观标准型实现n3.9.3 最小实现最小实现q1最小实现的定义最小实现的定义q2寻求最小实现的步骤寻求最小实现的步骤3.9.1 实现问题的基本概念实现问题的基本概念n给定传递函数阵给定传递函数阵W(s)，若有一状态空间表达式，若有一状态空间表达式n满足满足n则称该状态空间表达式则称该状态空间表达式为传递函数阵为传递函数阵W(s)的一个实的一个实现。现。q1)传递函数阵传递函数阵W(s)中的每一个元中的每一个元Wik(s)(i=1,2,m;k=1,2,r)的分子分母多项式的系数均为实常数。的分子分母多

42、项式的系数均为实常数。q2)W(s)的元的元Wik(s)是是s的真有理分式函数的真有理分式函数xAxBuyCxDu 1C sIABDW s 1C sIAB W sD limsDW s3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现能控标准型实现和能观标准型实现n求多输人多输出系统的求多输人多输出系统的mr维传递函数阵的实现：维传递函数阵的实现：qn-1,n-2,1,0为为mr维常数阵维常数阵q分母多项式为该传递函数阵的特征多项式分母多项式为该传递函数阵的特征多项式n能控标准型实现能控标准型实现n能观标准型实现能观标准型实现 1212101110nnnnnnnsssW ssasa sa3.9.2 能控

43、标准型实现和能观标准型实现能控标准型实现和能观标准型实现能控标准型实现能控标准型实现n实现的维数是实现的维数是nr维维0121000000000rrrrrrrrcrrrrrrrnrIIAIa Ia Ia IaI000rrcrrBI011,cnC3.9.2 能控标准型实现和能观标准型实现能控标准型实现和能观标准型实现能观标准型实现能观标准型实现n实现的维数是实现的维数是nm维维01021000000000mmmmmmmmmmmmmmmnma IIa IAIa IIaI01021nB00 ,0 ,0 ,mmmmCI例例 3-182113W( )112ssssssss-1111013W(s)=C(s

44、I-A) BD=111112ssss223222115632113116116564312sssssssssssssss23211536211154636116sssss例例 3-180120126,11,6625311,635411aaa012001000000100000000100000000160110600601106rrrrrrrrrIIa Ia Ia IcA00000000001001rrrBIc012625311,635411Cc1011D例例 3-180012000060000006001000110A001000110001060060106mmmmmmmmma IIa I

45、Ia I012626353541111B00000100 ,0 ,000001mmmCI01011D3.9.3 最小实现最小实现1最小实现的定义最小实现的定义传递函数传递函数W(s)的一个实现：的一个实现：如果如果W(s)不存在其它实现：不存在其它实现：使使 的维数小于的维数小于x的维数，则称的维数，则称 x的实现为最小实现。的实现为最小实现。n某一实现为最小实现的充分必要条件为该实现为能某一实现为最小实现的充分必要条件为该实现为能控又能观的。控又能观的。xAxBuyCxxAxBuyCxx 3.9.3 最小实现最小实现2寻求最小实现的步骤寻求最小实现的步骤n1)对给定传递函数阵对给定传递函数阵

46、W(s)，取其能控标准型实现，取其能控标准型实现C或能观标准型实现或能观标准型实现o。n2)对初选的实现对初选的实现(A，B，C)，找出其完全能控且，找出其完全能控且完全能观部分，得到完全能观部分，得到W(s)的最小实现。的最小实现。例例3-1911( )(,)(1)(2) (2)(3)W sssss(3)(1)(,)(1)(2)(3) (1)(2)(3)ssssssss1(3),(1)(1)(2)(3)sssss321(1,1)(3,1)6116ssss0120126,11,6(3,1),(1,1),(0,0)aaa001200006A010110016mmmmmmmmma IIa IIa

47、I012311100B00 ,0 ,(0,0,1)mmmCI0200000(,)31006611311111001135MB A B A B3rankMn000(,)A B C能控且能观，为最小实现。3.9.3 最小实现最小实现2寻求最小实现的步骤寻求最小实现的步骤n1) 对给定传递函数阵对给定传递函数阵W(s)，取其能控标准型实现取其能控标准型实现C。n2) 判断判断C的能观性。的能观性。n3) 若完全能观若完全能观, C即为即为W(s)的的最小实现。最小实现。n4) 若不完全能观，将系统按能若不完全能观，将系统按能观性分解，得到完全能控能观观性分解，得到完全能控能观部分，即部分，即W(s)

48、的最小实现。的最小实现。n1) 对给定传递函数阵对给定传递函数阵W(s)，取其能观标准型实现取其能观标准型实现O。n2) 判断判断O的能控性。的能控性。n3) 若完全能控若完全能控, O即为即为W(s)的的最小实现。最小实现。n4) 若不完全能控，将系统按能若不完全能控，将系统按能控性分解，得到完全能控能观控性分解，得到完全能控能观部分，即部分，即W(s)的最小实现。的最小实现。例例3-202113W( )112ssssssss001000000100000010=00000160110600601106cA000000001001Bc625311635411Cc1011D2625316354

49、116659136658126185271961251614CNCACA162531635411665913100000010000001000OR111212200100031200022030400000000111001031060522OOAAR ARAA 11111113000000cBBR B11000000010000cCCRC1100131222304mAA 1111113mBB 1100010mCC1011D0012000060000006001000110A001000110001060060106mmmmmmmmma IIa IIa I012626353541111B00

50、000100 ,0 ,000001mmmCI01011D626100636010539001548000113000112000cR1111222100010006012015001000042000030000123ccAAAR ARA111001000000000cBBR B11130000112000cCCRC3.9.3 最小实现最小实现n传递函数阵的实现不唯一传递函数阵的实现不唯一n最小实现也不唯一最小实现也不唯一n最小实现的级数唯一最小实现的级数唯一n如果如果(A，B，C)和和(A，B，C)是同一传递函是同一传递函数阵数阵W(s)的两个最小实现，其之间必存在一状态的两个最小实现，其之

51、间必存在一状态变换变换x=Px使得：使得： A=P-1AP B=P-1B C=CP 同一传递函数阵的最小实现是代数等价的。同一传递函数阵的最小实现是代数等价的。3.10 传递函数中零极点对消传递函数中零极点对消与状态能控性和能观性之间的关系与状态能控性和能观性之间的关系n单输入单输出系统单输入单输出系统(A，B，C) 为最小实现为最小实现(能控并能观能控并能观)的充分必要条件是其传递函数的充分必要条件是其传递函数 的分子分母间没有零极点对消。的分子分母间没有零极点对消。q充分性：其传递函数的分子分母间没有零极点对消，则系统为充分性：其传递函数的分子分母间没有零极点对消，则系统为最小实现最小实现(能控并能观的能控并能