几种特殊类型行列式及其计算

1、1行列式的定义及性质1.1定义n级行列式a11厲2La21a22LMMan1an2L等于所有取自不同行不同列的个n元素的乘积aina2nManna1 j1 a2 j2 L anjn (1)的代数和,这里 j/L jn 是1,2,L , n的一个排列，每一项（1）都按下列规则带有符号：当j&L jn是偶排列时，（1）带正号，当j1j2L jn是奇排列时,（1）带有负号这一定义可写成a112La21a22LMMan1an2La1 na2nMj1j2L jn.a1j1 a2j2 L anjnjL jn这里表示对所有n级排列求和.jjL jn1.2 性质性质行列互换,行列式的值不变.性质某行（列）的公

2、因子可以提到行列式的符号外.性质如果某行例）的所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两行列 式的和；这两个行列式的这一行（列）的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行例）与原行列 式相同.性质两行（列）对应元素相同，行列式的值为零.性质两行（列）对应元素成比例，行列式的值为零.性质某行例）的倍数加到另一行（列）对应的元素上,行列式的值不变.性质127交换两行（列）的位置,行列式的值变号.2行列式的分类及其计算方法2.1箭形（爪形）行列式这类行列式的特征是除了第1行（列）或第n行（列）及主（次）对角线上元素外的其他元素均为零，对这类行列式可以直接利用行列式性质将其化为上（下）三角形行列式

3、来计算即利用对 角元素或次对角元素将一条边消为零例1 计算n阶行列式1解 将第一列减去第二列的 一倍,a211第三列的一倍L第n列的一倍，得a3ana111L11a20L0Dn10a3L0a2a3L an0LLLLL100Lannaii 2i 2 ai111L1L 1a2an0a20L000a3L0LLLLL000Lan印a12.2两三角型行列式这类行列式的特征是对角线上方的元素都是 c,对角线下方的元素都是b的行列式，初看,这一类型似乎并不具普遍性，但很多行列式均是由这类行列式变换而来，对这类行列式，当b c时可以化为上面列举的爪形来计算，当 b c时则用拆行（列）法来计算.例2计算行列式a

4、1 c c L b a2 c La3 LL LcccLaiDnb a2 b Lb b a3 LL L L Lb b b L将第2行到第行n都减去第1行，则Dn化为以上所述的爪形，即ab a1ba2 bb0LLb0Dnb a10a3bL0LLLLLb a100Lanb用上述特征1的方法，则有aiaii 2 aibb a1b a1a2 b0 a3 b Lb a1000Lan bai b ba1b L a 1 b ai 1 b L当b c时，用拆行（列）法9，则%aaLabx2aLabbx3LaL L L L L bbbLbXnb Dn 1.化简得Dna x2Xn 1xnDn而若一开始将Xn拆为aX

5、n，则得DnXib X2xn 1XnDn由 1Xn bXnX1 baX2aaLLaaDnbbX3LaLLLLLbbbLXnxiaaLa0bX2aLa0bbX3La0LLLL LbbbLb Xnbx1aaL0bx2aL0bbx3L0L L L L Lb b b L 人 bx1 a 0 L L ba x2 a L L L L L Lxn 1a anDnXjj 1有一些行列式虽然不是两三角型的行列式，但是可以通过适当变换转化成两三角型行列式进行计算baa n 2L例3计算行列式d b b L c x a L c a x L L L L L c a a L解将第一行b，第一列a 得a2daaLabeb

6、eaXaLaDn2aaaXLaLLLLLaaaLX即化为上21情形，计算得n 2n 1 ad be x a而对于一些每行（列）上有公共因子但不能像上面一样在保持行列式不变的基础上提出公 共因子的，则用升阶法8来简化.例4计算行列式解将行列式升阶，得将第i行减去第一行的Xi i 2,L ,n1片2nx2LNXX21 %2 LLLLLXnXXnX2 L12Xn1XX2LXn01 xjX1X2LX1Xn0X2X11 x22LX2XnLLLLL0XnX1XnX2L12Xn倍,得1x2 LXnX110 L0X201 L0.LL LLLXn00 L1Dn这就化为了爪形，按上述特征1的方法计算可得Dnn21

7、xiXix?Li 1xn002.3两条线型行列式这类行列式的特征是除了主（次）对角线或与其相邻的一条斜线所组成的任两条线加四个顶点中的某个点外，其他元素都为零，这类行列式可直接展开降阶，对两条线中某一条线元 素全为0的，自然也直接展开降阶计算例5计算行列式a1L3a?L b?LLLLDnLLLLLLLLan 1bn 1bnLLLan解按第一行展开可得a?b?LLLbLLLLLasbsLL.d 1 nbn1a?b?LLLLLLLLLLLLLLLLan 1bn 1LLan 1bn 1LLLLLanLLLan 1bn 1n 1aL an1b|b2L bn.例6计算行列式an 1bntnD2ndidn

8、dn解方法1直接展开可得D2nanan 1bn 100an 1bn 1ONONa1bi6bi1 2nC1 d1bn1Cid1NONOcn 1d n 1Cn 1d n 10dnCn0andnan 1bn 12n 111an 1bn 1ONOOd1NONa1Gb aNa1C1Cn 1dn 1Cn 1dn 1andnbnCnD2 n 1D2nandnbnCnD2 n 1andnbnCnan 1dnbn 1Cn 1D2aidibjCj.i 1方法2 （拉普拉斯定理法3）按第一行和第2n行展开得D2nanbndn1 2n 1 2n1andnbnCn D2 n 1 .an 1ONcn 1bn 1Na1 d

9、G d1Odn 1其余的同法1.2.4 Hesse nberg 型行列式这类行列式的特征是除主（次）对角线及与其相邻的斜线，再加上第1或第n行外，其他元 素均为零，这类行列式都用累加消点法，即通常将第一行 （列）元素化简到只有一个非零元素,以便于这一行或列的展开降阶计算例7计算行列式Dn110LL0212LL0302LL0LLLL Ln 100L2n00L01解将各列加到第一列得Dnn200LL012LL002LL0LLL Ln 2L00L200L01 n按第一列展开得Dnn n 1 L L2L L10L022L0LLn 2 2 n00L00 L 0 n 11 n2.5三对角型行列式形如Dna

10、 b cabc O OO Oc的行列式，这类行列式的特征是除这三条斜线上元素外，其ba他元素均为零，这是一递推结构的行列式，所有主子式都有同样的结构，从而以最后一列展开，将所得的n 1阶行列式再展开即得递推公式.对这类行列式用递推法例8计算行列式Dn解按第一列展开有DnaDn 1bcDn 2解特征方程x2 ax bc 0得X1a 、a2 4bc2a,X2-a2 4bc2Dnn 1X1n 1X2,X1X2.x1x2例9计算行列式Dn9549 00 0 0095解按第一行展开得Dn 9Dn 120 0.解特征方程得x-i 4, x25.则Dn a4n 1 b5n 1 . 分别使n 1,2得a 16

11、,b 25,贝Un 1,n 1Dn54 .2.6各行（列）元素和相等的行列式这类行列式的特征是其所有行（列）对应元素相加后相等，对这类行列式，将其所有行1 a1 L a2 L加到第一行（列）或第n行（列），提取公因式后，再把每一行都减去第一行（列），即可使行列式 中出现大量的零元素例10计算行列式1 a1 a1Laa21 a2 La2L LLLanan L 1 an解将第2行到第n行都加到第1行，得an1a1 LanL1 a2L1a1 Lana2L1 anLL1a, Lana2L1 a2 LL L1 11a2L1 an1 a1 Lan10L11 a1 Lan2.7相邻两行（列）对应元素相差1的

12、行列式这类行列式的特征是大部分以数字为元素且相邻两行（列）元素相差1的行列式，对这类行列式，自第一行（列）开始，前行（列）减去后行（列），或自第行n （列）开始，后行（列）减去前行（列），即可出现大量元素为1或1的行列式，再进一步化简即出现大量的零元素若相邻两行 例）元素相差倍数k，则前（后）行例）减去后（前）行例）的k倍,可使行列式出 现大量的零元素.例11计算行列式1Ln3n20Ln4n3MMM解依次用前行减去后行，可得1 11 1111 L 11现将第1列加到第2列至第n列，得Dn100L120L122LMMM122Ln 1 2n 3 2n 4 L000000MM20n n 12n例11计算阶n行列式1aa2Lan 11aLa a 1 LMMMaa a La a a La倍的方法化简得解 这是相邻两行（列）相差倍数a，可采用前行减去后行的1 an 00 L 0001 an 0 L0M0a01 an L 00M MM M00 L 1 an 0aa L a12.8德蒙德型行列式这类行列式的特征是有逐行（列）元素按方幕递增或递