数学建模减肥模型

1、有一人体重110kg,身高180cm,制定减肥计划使其 BMI 降到 25 以下目前人们公认的评测体重的标准是联合国世界卫生组织颁布的体重指数BMI，定义为BMI=h/LA2其中h是体重（单位是kg）, L是身高（单位是 m）。模型分析：在正常情况下，人体通过食物摄入的热量与代谢和运动消耗的热量会影响体重的变化，摄入的热量大于消耗的热量会使人增肥，反之会使人体重降低，因此需要从人体对热量的吸收与消耗两方面进行分析，在适当的假设下建立模型，减肥计划应以不伤害人体健康为目标，所以吸收热量不应过少减重体重不要过快来限制，同时增大运动量也是减肥的关键，也应加以考虑，通常，制定减肥计划以周为时间单位比较

2、方便，所以这里用离散时间模型差分方程来讨论。模型假设：根据上述分析，参考有关生理数据，做出以下假设：1、体重增加正比于吸收的热量，平均每8000kcal 增加体重1kg。 （ kcal 是非国际单位制单位，1kcal=4.5kJ） ；2、身体正常代谢引起的体重减少正比于体重，每周每千克体重消耗热量一般在 200kcal 至 320kcal 之间， 且因人而异，这相当于体重110kg 的人每天消耗约3413kcal 至 5029kcal之间；3、运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式和运动时间有关；4、为了健康考虑，每周吸收热量不能少于10 000kcal， 且每周减少量不能超过1 000k

3、cal每周体重减少不能超过1kg；5、假设此人身体健康，没有肠胃方面的毛病;通过调查资料得知各种食物的每百克所含的大卡热量供参考（假设食物重量如 表中一样重），如下表食物所含热量(kcal/100g)米饭120馒头（一个约50g）110豆腐100鸡蛋（一个约50g）150猪瘦肉271苹果（一个约200g）52番茄（一个约300g）18牛肉288鸡胸肉133西兰花34小米粥48运动步行(4km/h)跑步跳舞乒乓自行车（中速）游泳(50m/min)热量消耗（kcal/（h*kg）3.17.03.04.42.57.9基本模型:记第k周（初）体重为w（k）（kg）,第k周吸收热量为c（k ）（kcal

4、）, k=1,2,。设热量转换（体重的）系数为 %身体代谢消耗系数为B,根据模型假设，正常情况下(不考虑运动)体重变化的基本方程为 w(k 1) =w(k)c(k) - Pw(k), k =1,2,由假设1, a=1/8000kg/kcal ,当确定了个人的代谢消耗系数B后，就可按照(1)式由每周吸收的热量c(k)推导出他的体重w(k)的变化。增加运动时，只需将B 改为p+p1, 01由运动的形式和时间决定。减肥计划的提出：有一人体重110kg,身高180cm, BMI达到33.95。假设此人目前每周吸收30 000kcal热量，体重长期不变，现在制定减肥计划使其BMI降到25既是体重 减至8

5、1kg并维持下去：1、在正常代谢情况下安排一个两阶段计划，第一阶段：吸收热量由 20 000kcal 每周减少500kcal,直至达到安全下限(每周 10 000kcal);第二阶段：每周吸 收热量保持下限，直至达到减肥目标。2、为加快进程而增加运动，重新安排两阶段计划。3、给出达到目标后维持体重不变的方案。减肥计划的制定：首先我们应先将此人的热量吸收降至安全下限， 制定的此人的第一周的食谱 如下：周一周二周三周四周五周六周日上午两个鸡两个鸡两个鸡两个鸡两个鸡两个鸡两个鸡蛋，四个蛋，四个蛋，四个蛋，四个蛋，四个蛋，四个蛋，四个馒头，馒头，馒头，馒头，馒头，馒头，馒头，200g 小200g 小2

6、00g 小200g 小200g 小200g 小200g 小米粥米粥米粥米粥米粥米粥米粥中午100g 西100g 西100g 西100g 西100g 西100g 西100g 西兰花，兰花，兰花，兰花，兰花，兰花，兰花，100g 豆100g 豆100g 豆100g 豆100g 豆100g 豆100g 豆腐 ，180g 鸡胸肉，100g 猪瘦肉，275g 米饭腐 ，180g 鸡胸肉，100g 猪瘦肉，275g 米饭腐 ，180g 鸡胸肉，100g 猪瘦肉，275g 米饭腐 ，180g 鸡胸肉，100g 猪瘦肉，275g 米饭腐 ，180g 鸡胸肉，100g 猪瘦肉，275g 米饭腐 ，180g 鸡胸

7、肉，100g 猪瘦肉，275g 米饭腐 ，180g 鸡胸肉，100g 猪瘦肉，275g 米饭下午180g 牛180g 牛180g 牛180g 牛180g 牛180g 牛180g 牛肉，1个肉，1个肉，1个肉，1个肉，1个肉，1个肉，1个番茄，一番茄，一番茄，一番茄，一番茄，一番茄，一番茄，一个苹果，个苹果，个苹果，个苹果，个苹果，个苹果，个苹果，100g 猪100g 猪100g 猪100g 猪100g 猪100g 猪100g 猪瘦肉，瘦肉，瘦肉，瘦肉，瘦肉，瘦肉，瘦肉，275g 米275g 米275g 米275g 米275g 米275g 米275g 米饭饭饭饭饭饭饭此后只需要每周每天中午的米饭

8、减少 25g,鸡胸肉减少20g,下午的米饭减 少25g，牛肉减少20g，坚持10周就可以达到每周吸收热量安全下限 10 000kcal 了，十周之后食谱如下不再改变：周一周二周三周四周五周六周日上午两个鸡两个鸡两个鸡两个鸡两个鸡两个鸡两个鸡蛋，四个蛋，四个蛋，四个蛋，四个蛋，四个蛋，四个蛋，四个馒头，馒头，馒头，馒头，馒头，馒头，馒头，200g 小200g 小200g 小200g 小200g 小200g 小200g 小米粥米粥米粥米粥米粥米粥米粥中午100g 西100g 西100g 西100g 西100g 西100g 西100g 西兰花，兰花，兰花，兰花，兰花，兰花，兰花，100g 豆100g

9、 豆100g 豆100g 豆100g 豆100g 豆100g 豆腐 ，腐 ，腐 ，腐 ，腐 ，腐 ，腐 ，100g 猪100g 猪100g 猪100g 猪100g 猪100g 猪100g 猪瘦肉，50g米饭瘦肉，50g米饭瘦肉，50g米饭瘦肉，50g米饭瘦肉，50g 米饭瘦肉，50g 米饭瘦肉，50g米饭下午1个番 茄,一个 苹果， 100g 猪 瘦肉， 50g米 饭1个番 茄,一个 苹果， 100g 猪 瘦肉， 50g米 饭1个番 茄,一个 苹果， 100g 猪 瘦肉， 50g米 饭1个番 茄,一个 苹果， 100g 猪 瘦肉， 50g米 饭1个番 茄,一个 苹果， 100g 猪 瘦肉， 5

10、0g 米 饭1个番 茄,一个 苹果， 100g 猪 瘦肉， 50g 米 饭1个番 茄,一个 苹果， 100g 猪 瘦肉， 50g米 饭然后确定这个人的代谢消耗系数B,根据他每周吸收的c=20 000kcal热量，体重为w=110kg不变，在式中另w(k+1)=w(k)=w,c(k)=c ,得w=w+ ac- W于是P=ac/w 得出 片0.023(2)相当于每周每千克体重消耗热量181.8kcal ,可以看出，此人消化不行以。1、正常代谢情况下有两个阶段，第一个阶段要求吸收热量由20 000kcal降到 10 000kcal ,达到下线 cmin =10000kcal ,即c(k)=20 00

11、0-1 000k , k=1, 2,10(3)将 c(k)及 a=1/8000 , 3=0.023 代入(1)式，可得w(k+1)=(1- B)w(k)+ W20000-500k)=0.977w(k)+2.5-0.0625k,K=1 , 2,20(4)(4)式虽是一阶线性常系数差分方程，但因右端含有时间变量k,不能直接 应用基础知识6-1的求解方程，更方便的是以 w(1)=110kg为初始值，编一个程 序计算第21周的体重为w(21)=98.1182kg.第二阶段要求每周吸收热量保持下限cmin ,由式可得w(k+1)=(1 P)w(k)+acmin =0.977w(k)+1.25 , k=2

12、1 , 22, (5) 以第一阶段的终值w(21)为第二阶段的初值，再按照程序计算直到 w(21+n)<=81kg 为止，可得 w(21+22)=80.5816kg ,即每周吸收热量保持下限 10 000kcal ,再有22周体重可减至81kg,两阶段共需42周。但是经过检验，第二阶段的每周体重减少超过了1kg,所以我们应该增加每周热量吸收下限，使下限Cmin =10000变为Cmin =10500 ,这个时候仍然保持每 周降低热量吸收为500,第一个阶段为19周，w(20)=99.1486kg,之后再经过25 周,w(20+25)=80.5872kg ,两阶段共经历44周,并且每周体重

13、减少不超过1kg。 2、为加快进程而增加运动，记表 3中热量消耗为T,每周运动时间为t h,在(1)式中将B改为B+ a就即w(k 1) = w(k)：二c(k) 一 (I ,，：/t)w(k)(6)试取 oYt =0.007,则 P+a¥t=0.03, (4)、(5)式分别变成为w(k+1)=0.97w(k)+2.5-0.0625k , k=1 , 2,，19(7)w(k+1)=0.97w(k)+1.3125 ,k=20 , 21 ,(8)类似的计算可得，w(20)=88.2973kg,w(20+6)=80.8567kg,即若增力口 1，t =0.007的运动，就可以将第二阶段的时

14、间缩短为 6周，但是经过检验可得第二个阶段每周的体重减少超过1kg ,所以我们在第二个阶段取oYt =0.003 ,则P +oYt = 0.005(7)、(8)式分别变成W(k+1)=0.974w(k)+2.5-0.0625k , k=1 , 2,，19(9)W(k+1)=0.974w(k)+1.3125 ,k=20, 21 ,(10)计算可得 w(20)=88.2973kg,w(20+9)=80.3148kg,即第二阶段若增加=0.003的运动 就可以将不训练时第二阶段的时间缩短为 9周，稍加训练的话可以28 周到达目标，由a =1/8000可知，第一阶段增加的运动内容应满足 洸= 56,第二 阶段增加的运动内容应满足 % =24 ,如第一阶段每周步行7h加乒乓球4h加跑 步2h加一小时自行车(中速)，第二阶段乒乓球4h加步行2h。增加运动的效果 非常明显。3、达到目标