高考数学一轮复习第课时正弦定理和余弦定理的应用举例课时作业理新人教版

1、第8课时正弦定理和余弦定理的应用举例考纲1.仰角和俯角的概念.索引2.方位角、方向角、坡度的应用.课标十r能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 要求知识梳理1. 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角 如图纟 平2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为 a ,如图.3.方向角相对于某一正方向的水平角 如图北偏东a°即由指北方向顺时针旋转到达目标方向.北偏西a°即由指北方向逆时针旋转到达目标方向.南偏西等其他方向角类似4.坡度I 坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比

2、如图，i为坡比.根底自测1. 教材改编如图,设A B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测第1题A. SOTFm比 50niC. 257Zm2. 从A处望B处的仰角为a ,从B处望A处的俯角为 卩,那么a ,卩的关系为).C. a +3=90°D. a +3=180°3. 教材改编一船向正北航行，看见正西方向相距 10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60° ,另一灯塔在船的南偏西75° ,那么这艘船的速度是每小时A. 5海里.B.，：唧"海里C. 10海里D.海里4.课本精选题如图

3、,某登山队在山脚第4题A处测得山顶B的仰角为45° ,沿倾斜角为30°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为 60° ,那么山的高度 BC为m?5.海上有A B C三个小岛，测得A B两岛相距10海里，/ BAC=0° , / ABC=5° ,那么B, C间的距离是海里.?指点迷津四个步骤1读懂题意，理解问题的实际背景，明确和所求，理清量与量之间的关系.2根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型.3选择正弦定理或余弦定理求解.4将三角形的解复原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求.五角区别要注意区别仰角、俯角、方向

4、角、方位角、坡角度的区别，并准确地找出这些角考点透析考向一测量距离问题例1 2021 宝鸡联考如图，为了计算渭河岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和 D两个测量点,现测得 AD丄CDAD=00m,AB=l40m, / BDA60° , /BCD=35° ,求两景点B与C之间的距离假设AB,C, D在同一平面内，测量结果保存整数；参h 414-73=1. 732 = 2. 236 考数据：.【审题视点】在厶ABD中 ,用余弦定理求 BD在厶BDC中,用正弦定理求 BC.【方法总结】 1选定或确定要创立的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，假设其他量那么

5、直接解；假设有未知量，那么把未知量放在另一确定三角形中求解.2确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理变式训练1.如下图，为了测量河对岸 AB两点间的距离，在这岸定一基线 CD现已测出CD=a和/ACD=0° , / BCD=0° , / BDC=05° , / ADC=0° ,试求 AB的长.第1题考向二测量高度问题例2 2021 西宁模拟要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45° ,在D点测得塔顶A的仰角是30° ,并测得水平面上的/ BCD=20°, CD=0m,求电视塔

6、变式训练2. 2021 郑州质检某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型气象观测仪器的垂直弹射高度：A B C三地位于同一水平面上,在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A,B两地_2_相距100米,/ BAC60° ,在A地听到弹射声音的时间比B地晚7秒.在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30° ,求该仪器的垂直弹射高度CH.声音的传播速度为 340米/秒第2题考向三测量角度方向冋题 例3 2021 河北省质监岛A南偏西38。方向，距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以 10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶

7、，恰好用小时能截住该走私船 ？sin 33fl=,sin22c = 参考数据:1111 .【审题视点】根据方向角构造三角形，求解/ ABC的大小来确定方向确定角度.平行、垂直也可2.求角的大小，在三角形中先求出其函数值或者证明某些线段的位置关系3. 2021 苏北四市联考如图,为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的AB, C三点进行测量AB=50m,BC=20m,于A处测得水深 AD=80m,于B处测得水深 BE=200m汙C 处测得水深CF=110m,求/ DEF勺余弦值.第3题经典考题典例2021 郑州市二次质检郑州市某广场有一块不规那么的绿地如下图,城建部门欲在该地上建造一个底座为

8、三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别ABC ABD经测量 AD=BD=米，BC=i 米，AC=§ 米，/ Ch D.1求AB的长度；2假设环境标志的底座每平方米造价为5000元,不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造1, 414- = , * / 32费用最低请说明理由,最低造价为多少?【解题指南】 在厶ABMA ABC中,分别用余弦定理表示 cosD和cosC求AB.比拟& ABD与 SABC 的大小.【超】1在厶中由余侯定理得COE C =皿+叱一個在厶ABD中由於弦定理得门 A£/十 BD 2021 四川如下图,从气球A上测得正前方的河流的两岸BC

9、的俯角分别为75° ,30 2021湖北某实验室一天的温度单位：C随时间t单位：h的变化近似满足函数关系An2 7，+ 72AB2 殆 ® 口 = 一2AD . BD一2X7X7 '0由 ZC=ZD 得 cos '=cos D,解碍人=九所以沖的长度为7米*Q小李的设计使建瞪费用歎低.理曲如下*易知Szim =寺A DLJDsin D + S厶点Bt'sin C因为 AD +且ZC=ZD>所以 SAitrJ >$Aawc -故匮择的形状建遥环境标志费用较低因为 tAD= BD=AB= 7,所以AUD是等边三角形.m=§故 =-A

10、C atin C= 10揖听以所束的最低迭价为5 000 X 10 73 = 50 000 73 砂呂6 600元.真题体验此时气球的高度是A- 240(73l)mC. 120(73-L>mB, 1S0C72 l)mD S0(/3+l)m7 (/) = 10 Tcos sin 令r昇曰o,24)(1) 求实验室这一天上午 8时的温度；(2) 求实验室这一天的最大温差 .参考答案与解析根底自测1. A 2. B3. C4.50073+ D 5. 56考点透析【例1 在中"设= h m*那么 BA2=BD?+AD-2BD - AD * cosZBDA<即 140 = xE +

11、 100z -2X 100X j; X cos 60 整理得 jr2 1009 600 = 0.解得 jj = 160 *= 60舍击*故 BD= 160 m在BCD中，由正弦定理得BCsinZHDsinZBCD又AD丄CD* 所 WZCDB = 30160所以 BC=亍 sin 30°=807F113(m).sin 135即两景点日与C之间的距离约为】13m.【例2J 如图*设电观塔AB商为工m*那么在 RtAABC > fiZACB=450« BC=j,在 R【ZADB 中,ZDB = 30所以在由余弦定理，得Ii = BC2+CD2-2BC > QD co

12、s 120即再滾“ =.t2H-40£ 2 40 cos 120".解得才=40*所以电视塔高为40 nx【例3如图设缉私艇在C处截住走私船。为岛 A正南方向上一点缉私艇的速度为工海里/小 时那么 BC=O. 5r,AC=5.依题意ISO038°-22s= 120由余弦従理口J得BC£ = ABZ + AC2 一 2AB A Ceos 120°<又由正弦定理得sinZABC=AC si nZ 13ACBC735XVli所以 BC? 49iBC 0. 5上一九解得 x 14*所 iaZAZ?C=38又 ZBAD=38所以 HC/AD.故缉私

13、艇以毎小时14海里的速度向正北方向行驶恰好用65小时 截住该走私船.变式训练1在厶ACI中7J=u，ZACD=60ZADC=60 所以AC=a.因为 ZBCD=30*, Z BDC= 105° *所以 ZCW>=45在中，由正弦定理可得BC=asin 105°*il '厂。sin I o在厶ABC中，已经求得AC和BC.ZZA('B=30所以利用余弦定理可以求得AH两点之间的距离为AH =* 2VAC2BCZ-2AC * BC * cos 30° =120C200I 10MD1665第3题 由题中所给数据町得.DF= VmF2+MD2 = 7

14、302 + 1702 =10 7298",DE= JdW + EW = /502 +120s =130.2XDEXEF2X 13OX 150EF= V( BE FC)2+BC2 = 7902 + 1202 =150.在ADEF中由余弦定理"得八* DE2 + EF2 - DF2130?十 150Z- 103 X298cosz_ i J Er =2.由题意设IAC|=a2那么 I H | = r X 340j 40 *17在厶ARC屮*由余弦定理沖得 BC2=BA2+CA2-2BA 丨丨 cosZBAC,EP(x-40)2=r2 + 10 000IOOjt,解得 x=420*

15、在/XACH 中 JAC| =420.ZCAH= 30",ZACH= 90fl,所以 |CH | = I | - tc)nz(L4H= 140 V3.故该仪器的垂直弹射高度CH为140岳牝3.如图作DM/AC交BE于Z 交厂f于附经典考题真题体验An1. C 解析；由题意知八C= =120,ZBAC=75o-30° = 45 sin 30ZABC= 180°45° 30°= 105°,所以 sinZABC = sin 105°= sin( 60°i /o"+ 45°) = sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45°=4在zc中由正弦定理，得扁乔厂 方疋120X 耳- ?_干是 RC= = 1 20( m).应选 C.迈+辰 72+7642. (1)/(8) = 10屁os2冗X 8