高考专题：解析几何常规题型及方法

1、高考专题解析几何常规题型及方法一、高考风向分析：高考解析几何试题一般共有 3-4题1-2个选择题 , 0-1个填空题 , 1个解答题, 共计 20 多分, 考查的知识点约为 20个左右，其命题一般紧扣课本 , 突出重点 , 全面考查。选择题和 填空题考查直线 , 圆, 圆锥曲线中的根底知识，大多概念性较强，小巧灵活，思维多于计 算；而解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点及其综合运用,重在考察直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹方程，以向量为载体，立意新颖，要求学生综合运用所学代数、三角、 几何的知识分析问题，解决问题。二、本章节处理方法建议：纵观历年全国各省市文、理高考试卷，普遍有一个规律：占解几分

2、值接近一半的填空、选择题难度不大，中等及偏上的学生能将对应分数收入囊中；而占解几分值一 半偏上的解答题得分很不理想，其原因主要表达在以下几个方面：1解析几何是代数与几何的完美结合，解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、数列、向 量等知识，形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题，因而成为高中数学综合 能力要求最高的内容之一 2解析几何的计算量相对偏大 3在大家的“拿可拿之分的理念下，大题的前三道成了兵家必争之地，而排放位置比拟为难的第21 题或 22题有 时 20 题就成了很多人遗忘的角落，加之时间的限制，此题留白的现象比拟普遍鉴于解几的特点，建议在复习中做好以下几个方面

3、 1由于高考中解几内容弹性很 大。有容易题，有中难题。因此在复习中基调为狠抓根底。不能因为高考中的解几解答题 较难，就拼命地去搞难题，套新题，这样往往得不偿失；端正心态：不指望将所有的题攻 下，将时间用在稳固根底、对付“跳一跳便可够得到的常规题上，这样复习，高考时就 能保证首先将选择、填空题拿下，然后对于大题的第一个小问争取得分，第二小题能拿几 分算几分。三、高考核心考点1、准确理解根本概念如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等2、熟练掌握根本公式如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、定比分点的坐标公式、到角公式、夹角公式等3、熟练掌握求直线方程的方法如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率

4、存在和不存在的各种情况、截距是否为 0 等等4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算5、了解线性规划的意义及简单应用 6、熟悉圆锥曲线中根本量的计算7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法如：定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题四、常规题型及解题的技巧方法A:常规题型方面1中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法点差法：设曲线上两点为xi,yi，x2,y2，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。2典型例题 给定双

5、曲线X2 -1。过A2，1的直线与双曲线交于两点 Pi及P2，求2线段P1 P2的中点P的轨迹方程。2 分析：设只区川，F2X2,y2代入方程得x；号 1， x；两式相减得1X1 X2X1 X2y1 y2y1 y?0。2又设中点Fx,y，将X1 X2 2x， y1 y 2y代入，当X1 X2时得2x 职0。2X1 X2又k丄上rJ,x1 x2 x 2代入得 2x2 y2 4x y 0。当弦RP2斜率不存在时，其中点P (2, 0)的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是2x2 y2 4x y 0说明：此题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。变式练习:给定双曲线2x2 - y2

6、= 2，过点B(1,1能否作直线L,使L与所给双曲线交于两点Qi、Q2两 点，且点B是线段Q1Q2的中点？如果直线L存在，求出它的方程 如果不存在，说明理由(2) 焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点 P,与两个焦点Fi、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭 桥。典型例题2 2设P(x,y)为椭圆笃2a b1 上任一点，Fi( c,0)， F2 (c,0)为焦点，PFiF2，PF2 F1(1)求证离心率esin( )； sin sin '(2)求|PF PF2I3的最值分析：(1)设 |PFj 几，PF?2，由正弦定理得risinsin2csin( )得sinsin2csin( )(2

7、) (a ex)3 (a ex)3 2a3 6ae2x2。当x 0时，最小值是2a3;当x a时，最大值是2a3 6e2a3变式练习：2设F1、F2分别是双曲线 务a2爲 1 (a>0,b>0)的左、右两个焦点，P是双曲线上的一b22点，假设/ P=°求证：Ab COt2(3) 直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的根本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的方法典型例题 抛物线方程y2 p(x 1) (p 0)，直线x y t与x轴的交点在抛物线准线的右边。(1)求证：直线与抛物线总有两个不同交点(2)设直线与抛物线的交点为

8、 A、B，且OA丄OB，求p关于t的函数f(t)的表达式(1)证明：抛物线的准线为-1： x1-4由直线x+y=t与x轴的交点(t, 0)在准线右边，得t 1 E，而4t p 4 04故直线与抛物线总有两个交点。(2)解：设点 A(xi, yi),点 B(X2, y2)变式练习：直线y=ax+1与双曲线3x2y2=1交于两点A、B两点(1) 假设 A、B都位于双曲线的左支上，求 a的取值范围(2) 当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？(4) 圆锥曲线的有关最值(范围)问题圆锥曲线中的有关最值(范围)问题，常用代数法和几何法解决。<1>假设命题的条件和结论具有明显的几何意义，

9、一般可用图形性质来解决。<2>假设命题的条件和结论表达明确的函数关系式，贝冋建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。典型例题抛物线y2=2px(p>0)，过M (a,0)且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB| < 2p(1)求a的取值范围；(2)假设线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求 NAB面积的最大值。分析：这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于(1),可以设法得到关于 a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式。或者将a表示为另一 个变量的函数，利用求函数的值域求出 a的范围；对于(2)首先要把厶NAB

10、的面积表示 为一个变量的函数，然后再求它的最大值，即：“最值问题，函数思想。解：直线L的方程为：y=x-a将y=x-a代入抛物线方程y2=2px，得：设直线L与抛物线两24(a p) 4a 0交点的坐标分别为A(Xi,yi),B(X2,y2)，贝U x!x?2(a p),又 yi=Xi-a,%=X2-a,2X1X2a解得：pap24y3(Xi a) (X2 a)2设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为(X3,y3)，那么由中点坐标公式得:Xi X2X3a p ,2所以 |QM| 2=(a+p-a)2+(p-0)2=2p2.又 MNQ 为等腰直角三角形，所以 |QM|=|QN|= 2P，所以

11、 Sanab= 11 AB | | QN |2 p | AB | p 2 p . 2p2 ,即厶 NAB 面积的最大值为2 2 22P2。变式练习：2 2双曲线务占1 (a>0,b>0)的两条准线间的距离为3,右焦点到直线X+y-仁0的距离a b2(1) 求双曲线的方程(2) 设直线 y=kx+m(k 0且 m 0)与双曲线交于两个不同的点C、D，假设 A(0,-1)且AC = AD，求实数m的取值范围(5) 求曲线的方程问题1 曲线的形状这类问题一般可用待定系数法解决。典型例题直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。假设点A (-1, 0) 和点B (0, 8)关

12、于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。分析：曲线的形状，可以用待定系数法。设出它们的方程，L: y=kx(k工0),C：5<=2px(p>0)设A、B关于L的对称点分别为A、B/，那么利用对称性可求得它们的坐标分别为：2 2A (奔)，B (輕,进娄)。因为A、B均在抛物线上，代入，消去k 1 k 1k 1 k 1p，得：k2-k-1=0.解得：k= 15 ,p=.5所以直线L的方程为：y=15 x,抛物线C的方程为y2= 口 x.5变式练习:1在面积为1的厶PMN中，tanM二,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以 M、N为焦点且2过点P的椭圆方程。2 曲线的形状未

13、知-求轨迹方程典型例题直角坐标平面上点 Q (2, 0)和圆C: x 23x +2y =2交于不同的两点。(1)求直线AB的斜率k的取值范围(2)设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数(>0)，求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。/分析：如图，设MN切圆C于点N，那么动点M组成的集合是：P=M|MN|=|MQ|，由平面几何知识可知：|MN| 2=|MO| 2-|ON| 2=|MO| 2-1，将 M 点坐标代入，可得：(2-1)(x2+y2)-4 2x+(1+4 2)=0.当=1时它表示一条直线；当工1时，它表示圆

14、。这种方法叫做直接法。变式练习：2过抛物线y =4x的焦点F作斜率为k的弦AB，且AB < 8,此外，直线 AB和椭圆(6) 存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称冋题，可以按如下方式分二步解决：求两点所在的直线， 求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。(当然也可以利用韦达定理并结合判别式 来解决)2 2典型例题椭圆C的方程1，试确定m的取值范围，使得对于直线43y 4x m，椭圆C上有不同两点关于直线对称。分析：椭圆上两点(xyj，区亠)，代入方程，相减得3(xi X2)(Xi X2)4(yi y2)(yi y?)0。XiX2yiyXiX2-，代入得y 3x4y 3x又

15、由，解得交点(m, 3m)y 4x m交点在椭圆内，那么有(m)24(3m)232、i3i32. i3i3变式练习:为了使抛物线(y i)2x i上存在两点关于直线ymx对称，求m的取值范围(7) 两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用ki k2 XYii来处理或用向量的坐标运X2算来处理典型例题直线I的斜率为k，且过点P 2,0，抛物线C:y2 4x 1，直线I与抛物线C有两个不同的交点如图。1求k的取值范围;2直线I的倾斜角为何值时，A、B与 抛物线C的焦点连线互相垂直。分析:1直线yk(x2代入抛物线方程得k2x2(4k24)x4k24 0，由0，得 1 k1(k0)。/ 2)

16、1由上'方程早彳得x1x24k242由土面方程得k2，ymk2(X12)(x22)4，焦点为00,0.2kOByi y2k727X1X2k 11，得k 2arcta n2变式练习:经过坐标原点的直线I与椭圆(x 3)262亍1相交于A、B两点，假设以AB为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F,求直线I的倾斜角B:解题的技巧方面在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明：1充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代 数方程外

17、，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。典型例题 设直线3x 4y m 0与圆x2 y2 x 2y 0相交于P、Q两点，O为坐标原 点，假设OP OQ，求m的值。解： 圆x2 y2 x 2y 0过原点，并且OP OQ，1PQ是圆的直径，圆心的坐标为 M 寸，11 ,又 M ， 1在直线 3x 4y m 0上,3 -41 m 0， m -即为所求。2 2评注：此题假设不充分利用一系列几何条件：该圆过原点并且OP OQ，PQ是圆的直径，圆心在直线3x 4y m 0上，而是设Px1，y1、Qx2，y2再由OP OQ和韦达定理 求m，将会增大运算量。变式练习：点P5, 0和圆O:

18、x2 y2 16，过P作直线I与圆0交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。评注：此题假设不能挖掘利用几何条件OMP 90，点M是在以0P为直径的圆周上,而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比拟麻烦。二. 充分利用韦达定理及“设而不求的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、 中点等问题中常常用到。典型例题 中心在原点0,焦点在y轴上的椭圆与直线y x 1相交于P、Q两点,且 OP 0Q，|PQ|2，求此椭圆方程。解：设椭圆方程为 ax2 by21(a b 0)，直线y x 1与椭圆相交于 P，yj、Q(x2， y2)两点。由方程组y x 12 2

19、ax by1消去y后得由 koP koQ1，得 y1 y2x1x2 1又P、Q在直线y x 1 上,把1代入，得 2x1x2 x1 x2 1 0，即 2Ja b2b化简后，得4由|PQ|于，得Xi2 2X2)(yi y2)1把代入，得4b2 8b 3。，解得b 或b3 1代入4后，解得a 或a 2由a b 0，得a I，b 23 22所求椭圆方程为竺、i2 2评注：此题充分利用了韦达定理及“设而不求的策略，简化了计算变式练习:2 2M为AB中点,假设双曲线方程为笃爲1，AB为不平行于对称轴且不过原点的弦, a b设AB、OM的斜率分别为kAB、koM，那么kAB kOM三. 充分利用曲线系方程

20、利用曲线系方程可以防止求曲线的交点，因此也可以减少计算。典型例题求经过两圆C2:x2y24x 2y0和C2:x2y22y 40的交点，且圆心在直线I : 2x 4y 10上的圆的方程。解：设所求圆的方程为：即(1)x2 (1 )y2 4x 2(1 )y 40，2 1其圆心为C,1 12 11又C在直线I上， 2 4 10，解得 -,代入所设圆的方程得113x2 y2 3x y 10 为所求。评注：此题因利用曲线系方程而防止求曲线的交点，故简化了计算。变式练习：某直线I过直线Lt 4 x-3 y-12=0和L2： 7x-y+28=0的交点，且倾斜角为直线 L1的倾斜角的一半，求此直线I的方程四、

21、充分利用椭圆的参数方程椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题这也是我们常说的三角代换法。2 2典型例题P为椭圆务 吿1上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四a b边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。变式练习：Px，y是椭圆x2+ 4y2=1上任一点，试求P到直线x + y - 2 = 0的最小值及此时P的坐标。五、线段长的几种简便计算方法 充分利用现成结果，减少运算过程般地，求直线与圆锥曲线相交的弦 AB长的方法是：把直线方程y kx b代入圆锥曲线方程中，得到型如ax2 bx c 0的方程，方程的两根设为 xa，Xb，判别式为，那么|

22、AB| 1 k2 |xa xb| 1 k2仝，假设直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。|a|例 求直线x y 1 0被椭圆x2 4y2 16所截得的线段AB的长。 结合图形的特殊位置关系，减少运算在求过圆锥曲线焦点的弦长时，由于圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。2 2例F1、F2是椭圆-1的两个焦点，AB是经过F1的弦，假设|AB| 8，求值259IF2AI IF2BI 利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例 点A 3，2为定点，点F是抛物线y2 4x的焦点，点P在抛物线y2 4x上移 动，假设|PA| |PF|取得最小值，求点P的坐标。

23、五、高考试题选编1. 过抛物线y2 6x的焦点F，作弦AB X轴于A、B两点，那么弦长AB等于A. 6B. 18032D. 362 22. 假设直线y kx 1与焦点在X轴上的椭圆y 1总有公共点，那么实数m的取值范围是5 mA. (0, 5)B. (1, 5)C. 1, 5)D. 1, 53. 直线y x 1被椭圆3x2 4y212所截得的弦的中点坐标是A.(3B. (- , 口)77C. (7，1774.过点A1, 5引抛物线y2才的一条弦'使该弦被A点平分，那么该弦所在直线方程为A. 4x 2y 10B.x 2y 40C. 4x 2y 90D.x 2y 605.设 x， y R 且 3x24y212，那么 x2y2的最大值与最小值分别是A. 2，v3B. 4，243C. 4 3D. 8 66. P是抛物线y2 x上的点，F是抛物线的焦点，那么点P到F与P到A 3，1的距离之和的最小值是A. 3B.13C. 4D427.圆C :(x a)2(x2)24(a0及直线l : xy 3f-0.当直线l被C截得的弦长为2人时，那么a=A .2B.22C.2 1D .2 18. 03全国双曲线中心在原点且一个焦点FC、7,0,直线y x 1与其相交于M、N两2点，MN中点的横坐标为 -,那么此双曲线的方程是3A.2 X2y12B. X2y 1