根的判别式与根与系数的关系专题

1、第4周根的判别式与韦达定理典型例题：例1、若关于X的方程X有两组相等的实数解，并求此解; 有两组不相等的实数解； 2 一 kx 1 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 2例2、关于x的方程 m 1 x 2mx m 0有实数根，则 m的取值范围是()A. m 0且m1B. m 0 C. m 1D. m 1例3、已知关于x的方程x2k 2 x 2k 0(1) 求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2) 若等腰 ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。例4、已知二次三项式9x2 (m 6)x m 2是一个完全平方式，试求 m的值. 说明：若二次三项式为一个完全平方式，

2、则其相应方程的判别式02 2即：若b 4ac 0，则二次三项式 ax bx c (a 0)为完全平方式；反之，若29ax bx c (a 0)为完全平方式，则 b 4ac 0.例5、m为何值时，方程组x2 2y26,mx y 3.有两个不同的实数解？有两个相同的实数解?针对练习： 1、当k时，关于x的二次三项式x2 kx 9是完全平方式。 2、当k取何值时，多项式 3x2 4x 2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？2 3、已知方程 mx mx 20有两个不相等的实数根，则 m的值是.y kx 2, 4、k为何值时，方程组 2 5、当k取何值时，方程y2 4x 2y 10.2 2x 4m

3、x 4x 3m 2m 4k 0的根与m均为有理数？(3)没有实数解跟踪训练:、填空题:1、下列方程x210 :x22、已知关于x的方程x223、如果二次三项式3x4、在一元二次方程 x2程的个数是二、选择题： F列方程中，无实数根的是(根。x 0 :x2 x 10 :x2 x 0中，无实根的方程是mx 2 0有两个相等的实数根，那么m的值是_4x 2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则bx c0中(bC)，若系数b、c可在1、2、3、k的取值范围是4、5中取值，则其中有实数解的方若关于x的人3A、 m -4在方程ax2A、有两个不元二次方程(mbx c等实根试证：关于x的方程2)6 .

4、2y 7 C、, x 120y(2m1)x 10有两个不相等的实根，则3 3m 且m丰2D、m一且m丰24 4则方程()C、没有实根四、已知关于x的方程x2D、x23x 20的取值范围是(3m < -4(a 丰 0)C、中，若a与c异旦 B、有两个相等实根2mx (m 2)x1必有实号,D、无法确定mx 2m别式为零，方程的一个根为1,求n 0的根的判 m、n的值。五、已知关于x的方程x2 (2m 1)x m2 2 0有 两个不等实根，试判断直线y (2m3)x4m 7能否通过A (- 2, 4),并说明理由。六、已知关于x的方程x22(m2)x m20，问：是否存在实数m，使方程的两个

5、实数根的平方和等于56 ?若存在，求出m的值；若不存在，请说 明理由。七、已知n >0,关于x的方程x2_1 一m(m 2n)x mn 0有两个相等 的正实根，求的值。4n一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)专题计算对称式的值2例若Xi ,X2是方程x 2x2(i) Xi2X2 ；20070的两个根，试求下列各式的值:i i(2)Xi X2(为5)(X25);说明:2Xi利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形:22i iX2(Xi X2) 2xiX2 ,X-IX2Xi X2X2 | ,(Xi X2)2 4x-X2 , XiX22|Xi等等.韦达定理体现了整体思想.【课堂练习】1

6、 .设xi , X2是方程2x2 6x + 3 = 0的两根，XiX22Xi,(XiX2)2(XiX2)24X1X2,X2 XiX2(XiXi2 + X22的值为2 .已知xi, X2是方程2x2 7x + 4 = 0的两根，则xi + X2 =2、 i3 .已知方程2x 3x+k=0 的两根之差为，贝U k= _4 .若方程x2+(a2 2)x 3=0的两根是i和一3，贝U a=,5 .若关于X的方程x2+2(m i)x+4m 2=0有两个实数根，6 设 xi ,X2是方程 2x 2 6x+3=0求下列各式的值：的两个根,(i)X i2X2+X iX22丄X；X2例i、已知一个直角三角形的两

7、直角边长恰是方程A.、3B.3C.6说明：要能较好地理解、运用一元 间的运算关系.例2、解方程组：(i) x y i0，xy 24;X2),3Xi3X2,X i X 2 =3(Xi X2)3xiX2 (Xi X2),(XiX2) 2且这两个根互为倒数，那么m的值为;27 .已知xi和X2是方程2x 3x 仁0的两个根, 禾U用根与系数的关系，求下列各式的值：i i_2_2XiX22x2D. 6次方程根与系数的关系,8x70的两根，则这个直角三角形的斜边是(必须熟练掌握2a b、a b、ab、ab2之y2io,2.2 2例3、已知关于x的方程k X 2k i x i 0有两个不相等的实数根 (i

8、 )求k的取值范围；2)是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在，求出Xi,X2 ,k的值；若不存在，请说明理由。例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程(二次项系数为1 )时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？已知a2a0, b22b 10，求 a b变式：若a22ab2 2b10,则6、已知是方程x210的两个根，那么K-的值为a3针对练习:1、解方程组y 3y2 52 .已知a27a 4，b2 7b 4 (a b)，a的值。b3、已知x1,x2是方程x23的两实数根，求X17

9、x22 3x266的值。根与系数关系的三大用处(1 )计算对称式的值(2)构造新方程理论：以两个数心乃为根的一元二次方程是工(心x y 5例解方程组xy 6解：显然，x, y是方程z2-5z+6 = 0的两根由方程解得 Z1=2,z 2=3原方程组的解为X1=2,y 1=3或X2=3,y 2=2显然，此法比代入法要简单得多。(3 )定性判断字母系数的取值范围一个三角形的两边长是方程1的两根，第三边长为 2，求k的取值范围。元二次方程根与系数的关系练习题A. k 2B.k 2,且 k1C .k2D .2 .若xX2是方程2x26x 30的两个根，则11的值为()片X2A. 2B.2C .1D .

10、23 .已知菱形ABCD的边长为5,两条对角线交于0点,且2 x(2 m 1)x2 m30的根，贝Um等于()A .3B.5C .5或3D .4 .若t是一兀二.次方程ax2 bx c0 (a 0)的根,则判别式b2玄1系是()A .MBMC .MD .2x 10有两个不相等的实数根，则1 .5 .若实数8a8b 50 ,50,b2且a, b满足a22元二次方程(1 k)x2k的取值范围是(k 2,且 k92OA、 OB的长分别是关于x的方程4ac和完全平方式 M (2at b)2的关B . 22 (c a)xA.206 .如果方程(b c)x7 .已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2

11、或20大小关系不能确定b 1 a 1则代数式的值为()a 1 b 1D . 2或20(ab)0的两根相等，则a,b,c之间的关系是 22x 8x 70的两个根，则这个直角三角形的斜边长是8 若方程 2x2(k 1)x9 .设x1, x2是方程x2 pxk 30的两根之差为1，则k的值是 .0的两实根，捲1,X2 1是关于x的方程x2qx p 0的两实根，则p =q = .10 .已知实数a,b,c满足a211 .对于二次三项式 x 他的看法？请您说明理由.610x2b, c ab 9，贝U a = , b =36，小明得出如下结论：无论 x取什么实数,其值都不可能等于 10 .您是否同意A 组

12、1pm12 .若n 0，关于x的方程x2 (m 2n)xmn 0有两个相等的的正实数根，求的值.4n13 .已知关于x的一元二次方程 x2(4 m 1)x 2m 10 .(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；、 1 1 1(2) 若方程的两根为x1, x2，且满足，求m的值.x-i x222 1 214 已知关于x的方程X (k 1)x k 1 4(1) k取何值时，方程存在两个正实数根？0的两根是一个矩形两边的长.(2)当矩形的对角线长是 ,5时，求k的值.B 组21 已知关于X的方程(k 1)x(2k 3)x k 10有两个不相等的实数根 x,x2 (1) 求k的取值范围；(2)