柯西——古萨基本定理ppt课件

1、第二节第二节 柯西古萨根本定理柯西古萨根本定理一、问题的提出二、根本定理三、典型例题一、问题的提出一、问题的提出察看上节例察看上节例1, , )( 在复平面内处处解析在复平面内处处解析被积函数被积函数zzf 此时积分与道路无关此时积分与道路无关. 察看上节例察看上节例4, ,1 0 0zzn 时时为为被被积积函函数数当当 , 0的内部不是处处解析的的内部不是处处解析的为中心的圆周为中心的圆周它在以它在以Cz cizzz. 02d1 0此时此时察看上节例察看上节例3, ,)( iyxzzf 被积函数被积函数由于不满足柯西黎曼方程由于不满足柯西黎曼方程, 故而在复平面内故而在复平面内处处不解析处处

2、不解析. d 与与路路线线有有关关此此时时积积分分值值zzc . , 0域域但此区域已不是单连通但此区域已不是单连通的内部函数处处解析的内部函数处处解析的的虽然在除去虽然在除去Cz由此猜测：复积分的值与途径无关或沿闭路的由此猜测：复积分的值与途径无关或沿闭路的积分值积分值0的条件能够与被积函数的解析性及解的条件能够与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关。析区域的单连通有关。先将条件加强些，作初步的讨论先将条件加强些，作初步的讨论)( ,)(内内连连续续在在且且内内处处处处解解析析在在单单连连通通设设DzfDivuzf yxyxyxyxuvvuRCDvvuuvu 方方程程并并满满足足都都是是连

3、连续续的的内内在在以以及及它它们们的的偏偏导导数数和和, CCcudyvdxivdyudxdzzfDC)(,，又又 DyxcDyxcdxdyvuudyvdxdxdyuvvdyudxGreen0)(0)(公公式式由由 cdzzf0)(yyxxiuvivuzf )( .)( ,1900这这一一条条件件去去掉掉了了连连续续将将且且定定理理的的新新证证明明给给出出了了年年zfCauchyGoursat0)()(1825 cdzzfCDzfDCauchy的的积积分分内内沿沿任任一一条条闭闭曲曲线线在在处处处处解解析析的的内内单单连连通通区区域域给给出出了了年年.,)( 内内连连续续且且在在存存在在当当时

4、时解解析析的的定定义义为为Dzf.1851简单证明简单证明定理的上述定理的上述给出了给出了年年CauchyRiemannCauchy 定理定理)( :,内内存存在在在在改改为为从从此此解解析析函函数数的的定定义义修修定定理理这这就就产产生生了了著著名名的的DzfGoursatCauchy 定理仍成立.定理仍成立.连续,连续,在在内解析内解析在在的边界的边界为为若若上上BCBzfBzfBC )(,)(,)2(. 0)(,)( CdzzfBCBzzf内任一条闭曲线内任一条闭曲线为为内解析内解析平面上单连通区域平面上单连通区域在在设设Cauchy-Goursat根本定理：根本定理：.,)(,)1(定

5、理仍成立定理仍成立解析解析上上在在的边界的边界为为若若BCBzfBC A BC也称也称Cauchy定理定理(3)定理中曲线定理中曲线C不用是简单的！如以下图。不用是简单的！如以下图。BBC推论推论 设设f (z)在单连通区域在单连通区域B内解析，那么对恣意内解析，那么对恣意两点两点z0, z1B, 积分积分c f (z)dz不依赖于衔接起点不依赖于衔接起点z0与终点与终点z1的曲线，即积分与途径无关。的曲线，即积分与途径无关。C 1021)()()(zzCCdzzfdzzfdzzf见见上上图图z1z0C1C2C1C2z0z1三、典型例题三、典型例题例例1 1解解 1.d321 zzz计算积分计

6、算积分 , 1 321 内解析内解析在在函数函数 zz根据柯西古萨定理根据柯西古萨定理, 有有 1. 0d321zzz例例2 2. ),1(0d)( 任任意意闭闭曲曲线线是是其其中中证证明明Cnzzcn 证证 , )1(为正整数时为正整数时当当n , )(平平面面上上解解析析在在zzn 由柯西古萨定理由柯西古萨定理, . 0d)( cnzz , 1 )2(时时为为负负整整数数但但不不等等于于当当 n , )(平平面面上上解解析析的的整整个个在在除除点点zzn , :点点不不包包围围若若情情况况一一 C由柯西古萨定理由柯西古萨定理, ; 0d)( cnzz , :点点包包围围若若情情况况二二 C

7、由上节例由上节例4可知可知, . 0d)( cnzz , )(围成的区域内解析围成的区域内解析在在 Czn 例例3 3.d)1(1 212 izzzz计算积分计算积分解解,11211)1(12 izizzzz , 21 1 1 上上解解析析都都在在和和因因为为 izizz根据柯西古萨定理得根据柯西古萨定理得 212d)1(1izzzz 21d1211211izzizizz 212121d121d121d1izizizzizzizzz0 21d121izzizi 221. i 第三节第三节 根本定理的推行根本定理的推行复合闭路定理典型例题复合闭路定理复合闭路定理复合闭路定理复合闭路定理1. 闭路

8、变形原理闭路变形原理 , )( 在多连通域内解析在多连通域内解析设函数设函数zf ),( 1正正向向为为逆逆时时针针方方向向单单闭闭曲曲线线内内的的任任意意两两条条简简为为及及DCC. 11DDCC全含于全含于为边界的区域为边界的区域及及DC1C1DAA BB , BBAA 和和作作两两段段不不相相交交的的弧弧段段DC1C1DAA BB EE FF , AAEBAEB 显然曲线显然曲线 BFABFAA , , , , ,FFEE 添添加加字字符符为为了了讨讨论论方方便便 . 均为封闭曲线均为封闭曲线 , D因为它们的内部全含于因为它们的内部全含于, 0d)( AAEBAEBzzf故故. 0d)

9、( BFABFAAzzf,AAAEBBBAEBAAEBAEB ,BFABBBFAAABFABFAA AAEBAEBzzfd)( 由由, 0d)( BFABFAAzzf得得DC1C1DAA BB EE FF Czzfd)( 1d)(Czzf AAzzfd)( AAzzfd)(, 0d)( BBzzf BBzzfd)(, 0d)(d)( 1 CCzzfzzf即即.d)(d)( 1 CCzzfzzf或或DC1C1DAA BB EE FF , 1 成成一一条条复复合合闭闭路路看看及及闭闭曲曲线线如如果果我我们们把把这这两两条条简简单单CC : 的正方向为的正方向为 , 按逆时针进行按逆时针进行外面的闭

10、曲线外面的闭曲线 C , 1按顺时针进行按顺时针进行内部的闭曲线内部的闭曲线 C ), , (的左手边的左手边内部总在内部总在的的的正向进行时的正向进行时即沿即沿 . 0)( dzzf那那末末 解析函数沿闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分, , 不因闭曲线在不因闭曲线在区域内作延续变形而改动它的值区域内作延续变形而改动它的值. .闭路变形原理闭路变形原理阐明阐明: : 在变形过程中曲线不经在变形过程中曲线不经过函数过函数 f(z) f(z) 的不解析的点的不解析的点. .2. 复合闭路定理复合闭路定理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn为为边边界界的

11、的区区域域全全含含于于并并且且以以互互不不包包含含也也互互不不相相交交它它们们内内部部的的简简单单闭闭曲曲线线是是在在内内的的一一条条简简单单闭闭曲曲线线多多连连通通域域为为设设 , )( 内内解解析析在在如如果果DzfDC1C2C3C那末那末,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kCCDC1C2C3C. 0d)()2( zzf). , , , , :( , , , , 2121顺顺时时针针进进行行按按按按逆逆时时针针进进行行其其方方向向是是组组成成的的复复合合闭闭路路为为由由这这里里nnCCCCCCCC 典型例题典型例题例例1 1解解 . 1 ,

12、d12 2曲曲线线在在内内的的任任何何正正向向简简单单闭闭为为包包含含圆圆周周计计算算积积分分 zzzzz, 1 0 12 2 zzzzz和和内有两个奇点内有两个奇点在复平面在复平面因为函数因为函数依题意知依题意知, xyo 1 也包含这两个奇点，也包含这两个奇点， , 21CC 和和不不相相交交的的正正向向圆圆周周内内作作两两个个互互不不包包含含也也互互在在 xyo 1 , 0 1 zC 只包含奇点只包含奇点 , 1 2 zC 只只包包含含奇奇点点1C2C根据复合闭路定理根据复合闭路定理, zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzz

13、zzzzz0220 ii.4 i 例例2 2 . 1 2 ,d 所所组组成成向向圆圆周周和和负负为为正正向向圆圆周周计计算算积积分分 zzzzezxyo121C2C解解 , 21围成一个圆环域围成一个圆环域和和CC, 上处处解析上处处解析在此圆环域和其边界在此圆环域和其边界函数函数zez圆环域的边境构成一条复合闭路圆环域的边境构成一条复合闭路,根据闭路复合定理根据闭路复合定理,. 0d zzez例例3 3. , ,d)(1 1为为整整数数的的任任一一简简单单闭闭路路为为含含求求nazazn 解解 , 内内部部在在曲曲线线因因为为 a a , 故故可可取取很很小小的的正正数数 , : 1内部内部

14、含在含在使使 az1 , )(111内处处解析内处处解析为边界的复连通域为边界的复连通域在以在以 naz由复合闭路定理由复合闭路定理, 1d)(1d)(111zazzaznn a 1 ,20 ieaz令令 1d)(11zazn 201d)( niieie 20d ninie . 0, 00,2d)(1 1nnizazn故故 此结论非常重要此结论非常重要, 用起来很方用起来很方便便, 由于由于不用是圆不用是圆, a也不用也不用是圆的圆心是圆的圆心, 只需只需a在简单闭曲在简单闭曲线线内即可内即可.第四节 原函数与不定积分一、主要定理和定义二、典型例题一、主要定理和定义一、主要定理和定义定理一定理

15、一 . d)( , )( 无关无关线线与连结起点及终点的路与连结起点及终点的路那末积分那末积分内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数CzzfBzfC 由定理一可知由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关和终点有关, (如下页图如下页图)1. 两个主要定理两个主要定理:BB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C , , 10zz终点为终点为如果起点为如果起点为 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzf , , , 110zzBzz 并并令令内内变变动动在在让让如如果果固固定定 .d)()( 0 zzfzFB 内

16、的一个单值函数内的一个单值函数便可确定便可确定 . )()( , d)()( , )( 0zfzFBfzFBzfzz 并并且且析析函函数数内内的的一一个个解解必必为为那那末末函函数数内内处处处处解解析析在在单单连连通通域域如如果果函函数数 定理二定理二证证利用导数的定义来证利用导数的定义来证.B , 内任一点内任一点为为设设Bz z, KBz小圆小圆内的内的为中心作一含于为中心作一含于以以KB zK , 内内在在充分小使充分小使取取Kzzz zz )()(zFzzF zzzzzff00d)(d)( 由于积分与道路无关由于积分与道路无关, , d)(00zzfzzz到到的的积积分分路路线线可可先

17、先取取 , zzz 沿沿直直线线到到然然后后从从 0z ) d)( :(0路路线线相相同同的的这这一一段段与与注注意意 zzf , )( 的的定定义义由由zF )()( zFzzF于是于是,d)( zzzf zzzzf d)( 因为因为 zzzzf d)(,)(zzf B zKzz 0z )()()( zfzzFzzF 所所以以)(d)(1zffzzzz d)()(1zffzzzz B zKzz 0z , )( 内解析内解析在在因为因为Bzf , )( 内内连连续续在在所所以以Bzf, 0, 0 故故 , 内内都都在在的的一一切切使使得得满满足足Kz , 时时即即 z,)()( zff总总有有

18、由积分的估值性质由积分的估值性质,)()()( zfzzFzzF )()()( zfzzFzzF d)()(1zffzzzz d| )()(|1zffzzzz .1 zz, 0)()()(lim 0 zfzzFzzFz于于是是).()( zfzF 即即 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似定理完全类似.证毕证毕2. 原函数的定义原函数的定义:. )( )( , )()( , )( )( 的原函数的原函数内内在区域在区域为为那末称那末称即即内的导数为内的导数为在区域在区域如果函数如果函数BzfzzfzzfBz .)( d)()( 0的一个原函数

19、的一个原函数是是显然显然zffzFzz 原函数之间的关系原函数之间的关系: : . )(一个常数一个常数的任何两个原函数相差的任何两个原函数相差zf证证 , )( )( )( 的的任任何何两两个个原原函函数数是是和和设设zfzHzG )()()()( zHzGzHzG 那那末末0)()( zfzf .)()( czHzG 于是于是) ( 为任意常数为任意常数c , )( )( zFBzf内有一个原函数内有一个原函数在区域在区域如果如果那末它就有无穷多个原函数那末它就有无穷多个原函数, . )()(为为任任意意常常数数一一般般表表达达式式为为cczF 根据以上讨论可知根据以上讨论可知:证毕证毕3

20、. 不定积分的定义不定积分的定义: .)(d)( , )( )( )( )( czFzzfzfcczFzf 记作记作的不定积分的不定积分为为为任意常数为任意常数的原函数的一般表达式的原函数的一般表达式称称定理三定理三. , )()(d )( , )( )( , )( 100110内内的的两两点点为为域域这这里里那那末末的的一一个个原原函函数数为为内内处处处处解解析析在在单单连连通通域域如如果果函函数数BzzzGzGzzfzfzGBzfzz ( (类似于牛顿类似于牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹公式) )证证 , )( d)( 0的的原原函函数数也也是是因因为为zfzzfzz ,)( d)( 0c

21、zGzzfzz 所所以以 , 0时时当当zz 根据柯西根据柯西-古萨根本定理古萨根本定理, , )( 0zGc 得得 , )()( d)( 00zGzGzzfzz 所所以以 . )()( d)( 0110zGzGzzfzz 或或证毕证毕阐明阐明: : 有了以上定理有了以上定理, , 复变函数的积分就可以复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算用跟微积分学中类似的方法去计算. .二、典型例题二、典型例题例例1 1解解 . d 10的值的值求求 zzzz , 是解析函数是解析函数因为因为 z ,21 2z它的原函数是它的原函数是由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知, 21 d 10

22、102zzzzzzz ).(212021zz 例例2 2. dcos 02的值的值求求 izzz解解 izzz02dcos izz022dcos21iz 02sin21)sin(212 .sin212 (运用了微积分学中的运用了微积分学中的“凑微分法凑微分法)例例3 3. dcos 0的值的值求求 izzz解解 , cos 是解析函数是解析函数因为因为zz ,cossin zzz 它它的的一一个个原原函函数数是是由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知, izzz0dcosizzz0cossin 1cossin iii12211 eeieei. 11 e例例3 3. dcos 0的值的值求求

23、 izzz izzz0dcos izz0)(sind iizzzz00dsinsin另解另解izzz0cossin . 11 e此方法运用了微积分中此方法运用了微积分中“分部积分法分部积分法例例4 4. d 11的值的值求求 izzze解解利用分部积分法可得利用分部积分法可得 ,)1( zzezze 的一个原函数为的一个原函数为 izzze11dizez 11)1(iie 1).1sin1(cosiie 例例5 5. d1)1ln( , 1 0)Re(, 0)Im( 1的值的值求求内的圆弧内的圆弧试沿区域试沿区域 izzzzzz解解 , 1)1ln( 在在所所设设区区域域内内解解析析函函数数 zz ,2)1(ln 2 z它它的的一一个个原原函函数数为为 izzz1d1)1ln(iz122)1(ln 2ln)1(ln2122 i 2ln42ln212122i.82ln2ln833222i 四、小结与思索四、小结与思索 经过本课学习经过本课学习, 重点掌握柯西古萨根本定重点掌握柯西古萨根本定理理:. 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的积