电磁场与电磁波第4版教学指导书电磁场的基本规律

1、2-1第 2 章电磁场的基本规律2.1基本内容概述本章以人学物理(电磁学)为基础，介绍电磁场的基本物理量和基本规律，主要内容包 括：电荷与电荷分布、电流与电流密度、电荷守恒定律；真空中的静电场方程；真空中静磁 场方程；媒质的极化和磁化：电磁感应定律、位移电流；麦克斯韦方程组、电磁场的边界条 件。2.1.1电荷守恒定律1-电荷与电荷分布在电磁理论中，根据电荷分布的具体情况，电荷源模型分为体电荷、面电荷、线电荷和 点电荷，分别用电荷体密度电荷面密度Qs和电荷线密度 Q 来描述电荷在空间体枳、曲面和曲线中的分布。p(r)=- C/ni3V 7TOg dVp5(r)= 1HII- = - C/nr(r

2、 )= Urn = C/m7山TO d/“点电荷”是电荷分布的一种极限情况。当电荷q位于坐标原点时，其体密度应为可用5函数表示为p(r) = (r)2 电流与电流密度在电磁理论中，电流源模型分为体电流、面电流和线电流，分别用电流密度丿和面电流 密度丿s来描述电流在截面上和厚度趋于零的薄层上的分布。J I = lull = (Azm2)|JS|= lim斗=&(A/ni)I IYTO/V d/73电荷守恒定律积分形式( J.d5=-f pdVsdr J#微分形式/+字=0dt2.1.2真空中的静电场方程1.库仑定律(2.1)(2.2)(23)0(r H 0时)(r = OW)(2.4)(

3、2.5)(2.6)(2.7)(2.8)2-2真空中，位于行处的点电荷对位于公处的点电荷弘的作用力为2-32电场强度（1）电场强度的定义e任一4）_ q弘R人仏比一肝4矶用（2）己知电荷分布求解电场强度点电荷册)=TL体密度分布电荷面密度分布电荷线密度分布电荷3静电场方程积分形式:1 N加曲話工*0 i=l微分形式:.E(“d/ = 0V E (/) = *0VxE(r) = 02-13真空中的磁场方程1安培力定律真空中，线电流回路G对回路G的磁场力为F =ZX X理凶7心卞伍-2124兀比比2磁感应强度已知电流分布求解磁感应强度线电流面电流74/Js |r_rd3dSf体电流3静磁场方程积分形

4、式:B(r)15 = 0(2.9)(2-10)(2.11)(2.12)(2.13)(2.14)(2.15)(2.16)(2.17)(2.18)(2.19)(2.20)(2.21)(2.22)(2.23)2-43媒质的电磁特性方程对于线性和各向同性媒质，场量之间的关系为D = sE(2.33)B = 11H(2.34)J = aE(2.35)2.1.7电磁场的边界条件1边界条件的一般形式enx(H-H2) = Js(2.36a)enx(E Ej = 0(2.36b)加gd) = 0(2360微分形式：2.1.4电磁感应定律积分形式：微分形式：2丄5位移电流密度B(r).d/ = /0/V.B(

5、(r) = O VxB(r) =xV( (r)(f)E.d/ = -Af B d5WE =-雲引入位移电流的概念后，安培环路定律修正为卿心丄（八罟）迥2.1.6麦克斯韦方程组1积分形式/d/= f (J + ) dS丹dtE.d/ = - .d5Js Beds = 0DdS = q2微分形式VxH=J +dDdtVxE = -dBV.D = p(2.24)(2.25)(2.26)(2.27)(2.28)(2.29)(2.30)(2.3k/)(231/7)(2.31c)(2 31d)(2 32a)(2 32b)(2.32c)(2 32d)2-5e，ADi-Di)=Ps式中的 S 为媒质分界面法线

6、方向单位矢量，选定为离开分界面指向媒质1。2.两种理想介质分界面（人=）的边界条件3.理想导体的边界条件（设定媒质2为理想导体）JxH严匚耳=0J B产0JD严P；2.2教学基本要求及重点、难点讨论2.2.1教学基本要求理解电荷及其分布、电流及其分布以及电流连续性方程。理解电场和磁场的概念，掌握电 场强度和磁感应强度的积分公式，会计算一些简单源分布（电荷、电流密度）产生的场。掌握电场基本方程，了解电介质的极化现彖及极化电荷分布。掌握静磁场基本方程，理解 磁介质的磁化现彖及磁化电流分布。掌握电磁感应定律及位移电流的概念，牢固掌握麦克斯韦方程组并深刻理解其物理意义， 掌握电磁场的边界条件。2.2.

7、2重点、难点讨论1.场源电荷和电流（1）电荷是物质的基本属性之一。迄今为止，我们检测到的最小电荷量是电子的电荷电量,其值为 = -1.60217733xl019C任何带电粒子所带的电荷电量则是以单个电子电荷的正或负整数倍的形式存在。在微观意义上，电荷是以离散的方式存在（或不存在）于某一点的。但当我们研究人量聚 集的电荷的电磁效应，即在建立宏观的电磁理论时，发现采用平滑平均密度函数概念，用电荷 密度分布的方式来描述带电体的电荷会收到很好的效果。定义电荷体密度作为一个源量式中的是体积元中的电量。应小到足以表示。的精确变化，但又要人到足以包含人 量的离散电荷。在另一些情况卞，电量可能存在于面枳元AS

8、或线元/上，此时分别定义电荷面密度Qs和电荷线密度 Q(2.36d)e”x(码-比)=0/(耳Ej = 0仙2) = 0(2.37a)(2.37b)(2.37c)(2.37d)(2.38a)(2.38b)(2.38c)(2.38d)2-6一般情况下，电荷密度在各点是不相同的。因此电荷密度 Q、Qs和 Q 都是空间坐标的 点函数。除此之外，电磁场还有点电荷”这一种特殊分布。当带电体本身的几何线度比起它到 其它带电体的距离小得多时，带电体的形状以及电荷在其中的分布已无关紧要。这样，就可 把带电体抽象为一个几何点，称为点电荷q。利用5函数，可将位于八处的点电荷q的体密 度 表示为p（r） = f7J

9、（r-r,）o（2）电流是电荷在电场力作用下定向运动形成的。电流的定义为电流j是一个枳分量。在形状复杂的导体中，不同部位的电流的人小和方向都不一样。为 了描述导体内各点电流的差异，引入电流密度矢量/它表示导体中某点P处流过垂直于电流 流动方向的单位面积的电流总量，其方向为该点的电流流动方向。表示为J = enlull A/iii2七TO AS/是一个矢量点函数。对于良导体，高频时变电流是局限在导体表面层的，它并不流过整个导体内部。此时就 有必要引入面电流密度丿S，它是流过导体表面垂直于电流流动方向的单位宽度的电流。表示 为人 F 把质A血是一个矢量点函数。（3）电荷守恒定律是物理学的一个基本定

10、律，它表明电荷是守恒的，也就是说电荷既不 能被创造，也不能被消灭。电荷可以从一处运动到另一处，在电磁场影响卞也可以重新分布。 但在一个封闭系统中的正、负电荷的代数和是保持不变的。在任何时刻和任何条件卞都必须 满足电荷守恒定律，它的数学表示式是电流连续性方程。例如，电路理论中的基尔霍夫电流 定律，它表示流出一个节点的电流之和等于所有流入该节点的电流之和，这是电流连续性方 程的体现。有关电磁问题任何公式或解答，若不满足电荷守恒定律，它必定是错误的。2.库仑定律库仑定律是静电场的基本实验定律，它是以引入“点电荷”模型为基础，是在无限人的 均匀、线性和各向同性电介质中总结出的实验定律。静止点电荷之间的

11、相互作用力称为静电力。库仑定律表明，两个点电荷之间静电力的人 小与两个点电荷的电量成正比，与电荷之间距离的平方成反比，方向在两个电荷的连线上。静电力符合叠加原理。3.电场强度电场强度是表征电场特性的基本场矢量。它是通过试验电荷兔引入电场中某一固定点时 受到的电场力F来定义的，定义E=二为该固定点处的电场强度。这个试验电荷条的电量必须足够小，以至将其引入电场后，在要求的实验精度范I韦I内不会扰动原有的电场：试验电 荷的几何线度也必须足够小， 以至将其置于电场中某一点时， 其位置才有确定的意义。 根 据库仑定律，F的人小与电量成正比，因此比值工与条的人小无关；根据静电力的叠加原pF理，比值只应由产

12、生电场的所有电荷的电量人小和空间分布来决定。因此，比值可以27用来定量描述电场的性质。电场强度E是一个矢量点函数，在场中不同的点，E的人小和方向是不同的。4-安培力定律安培力定律是恒定磁场的基本实验定律，也是在无限人的均匀磁介质中总结出的实验定 律。库仑定律表示两个静止点电荷之间的相互作用力，我们也希望能用实验的方法得到两个 电流元之间的相互作用力。但是通过恒定电流的导体必须是闭合的，通过实验总结出的安培力定律表示的是两个闭合回路间的相互作用力将被积函数疔_“0人d厶x（4dx0R）124i冷看作是电流元人曲对电流元厶Cl/的作用力。但应该注意，这个作用力不满足牛顿第三定律， 即dF12dF2

13、1 o这是因为一般疔口不是沿着连接电流元的直线路，而是由R确定。然而，两 个恒定电流回路间的相互作用力则是满足牛顿第三定律的，即Fl2=F21 5 磁感应强度磁感应强度是表征磁场特性的基本场矢量。它是通过安培力定律来定义的式中就称为电流厶产生的磁感应强度，也称为磁通量密度。同样dF12=/2d/2xdj?12式中呕，=41&1宀=且124兀R24龙|r2-rj3磁感应强度也可以通过运动电荷受到的磁场力来定义。 实验表明， 电荷q以速度y在磁 场B中运动时，它受到的力为F=qvxB这是洛仑兹力。此式表明，某点磁感应强度B的人小等于单位试验电荷以单位速率在该点运动时受到的最人磁力，即|=：

14、某点磁感应强度的方向，垂直于正电荷在该点受到的最qv人磁力的方向化歩与电荷运动方向y组成的平面，并满足右手螺旋关系，即Fxyo磁感应强度是一个矢量点函数。6.电磁感应定律法拉第电磁感应定律是在特定的导体回路中通过实验总结出来的。实验结果表明，导体 回路中的感应电动势与穿过回路的磁通量的变化率成正比。再结合楞次定律，电磁感应定律 可叙述为：闭合回路中的感应电动势与穿过回路磁通量的变化率的负值成正比，表示为/2d/2xBl22-8dpd/这里是假定电动势勺“的参考方向与磁通的方向符合右手螺旋关系。因此，当磁通量随时间增 加时（即学0）, sin0 ,表明感应电动势的实际方向与假定的参考方向相反。当

15、磁通量d/随时间减少时（即学09表明S加的实际方向与参考方向相同。导体回路中的感at应电流的方向与感应电动势的方向相同。因此，导体回路中的感应电流产生的磁通总是要阻 止原磁通的变化，其实质是电磁感应现象也必须遵从电磁能量守恒定律。导体回路中产生感应电流意味着导体中存在着推动电荷定向运动的电场，因此电磁感应 定律也可表示为（f）.d/ = - B d5说dr山爭实上，感应电动势的存在与否并不依赖于导体回路。麦克斯韦将法拉第的这一实验结 果推广到场域空间任一假想回路，提出感应电场是有旋电场的假说，将它总结归纳为麦克斯 韦第二方程，数学表示式为=-dS说Js &电磁感应定律的重要意义在于它揭

16、示了电与磁相互联系的一个重要方面，即变化的磁场 要产生电场。7.位移电流位移电流是麦克斯韦提出的另一个基本假设。 麦克斯韦认为， 恒定磁场中的安培环路定 律是不完备的，当将它应用于时变场时就出现矛盾。对方程xH=J两边取散度，即VVx/）=V.J根据矢量分析，一个矢量场的旋度再取散度恒等于零，故得/=（）,这个结果对恒定磁场是 完全正确的。但在时变条件卞，根据电流连续性方程应得/=-字，两者之间存在根本的dt矛盾。为了解决这个矛盾，麦克斯韦认为在貯xH=J中还必须存在另一个“电流密度”，即假 设WH真正必须具有的形式为VxH=J+Jd式中的丿d就是必须存在的另一个“电流密度”。将貯D=P代入/

17、二一字中，得对VxH=J+Jd两边取散度，VVx/)=VJ+JJ)=0因此，麦克斯韦假设2-9称为位移电流密度。4/是一个矢量点函数，某点的位移电流密度等于该点的电位移矢量随时 间的变化率。位移电流表明变化的电场也是一种电流，它可以激发磁场。但要注意它和真实电流（传 导电流和运流电流）的区别，位移电流不表示电荷的宏观定向运动，它在介质中也会引起热 效应，但此热效应不遵从焦耳定律。在位移电流假设的基础上，把安培环路定律修正为VxH=J+J（l这就是麦克斯韦第一方程。位移电流概念的重要意义在于它揭示了电与磁相互联系的另一个重要方面，即变化的电 场要产生磁场。8.麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述宏

18、观电磁现彖的数学表示式，是电磁理论的核心和求解电磁场问 题的基础，因此是课程教学中的重点。正如前面已提到的，麦克斯韦提出了两个基本假设：一个是有旋电场的假设，从而把法 拉第电磁感应定律推广应用到任意假想回路，成为麦克斯韦第二方程，它表征变化磁场要产 生电场。另一个是关于位移电流假设，从而推广了电流概念，修正了安培环路定律，成为麦 克斯韦第一方程，它表征变化的电场要产生磁场。除了这两个基本假设集中体现了麦克斯韦惊人的智慧外，还有另外两个假设:闭合面的通量为零是合理的。麦克斯韦还认定磁通连续性原理e$B d5 = 0在时变情况下也是成立的，成为麦克斯韦第三方程。迄今为止尚未发现“磁荷”，就是这一假

19、设正确性的证明。麦克斯韦对宏观电磁理论的重大贡献就在于正确地提出了一些科学假设，使特定条件下 得出的实验定律的推广得以成立。麦克斯韦方程的正确性以为由它所得到的一系列推论与实 验结果有很好的一致性而得到证实，尤其是法国物理学家赫兹关于电磁波的发现，充分证实 了麦克斯韦电磁理论的正确性。9.电磁场的边界条件在求解电磁场问题中，边界条件起定解的作用。亥姆霍兹定理指出，任一矢量场由它的 散度、旋度和边界条件惟一地确定。边界条件实际上是电磁理论的基本方程在不同媒质分界面上的一种表现形式，它是根据 积分形式的电磁场方程导出的。2.3习题解答程。在一般情况下，电场E二:E库仑+E壇应。对于库仑场，有$E库

20、仑,可见这实J S际上是假设壷.E感应dS = O。因为感应电场是有旋场，电力线是闭合线，因此假设它对任意E dS=P在时变情况下也是成立的，成为麦克斯韦第四方62-102.1已知半径尸“的导体球面上分布着面电荷密度为d=docos&的电荷，式中的2。 为常数。试计算球面上的总电荷量。2-11解球面上的总电荷量等于面电荷密度沿尸a的球面上积分，即q =二QsdS = LPSQcosdS,. = pSQcosOlncr sinQdQ = 02.2己知半径为a、长为厶的圆柱体内分布着轴对称的电荷,体电荷密度为圆柱体内的总电荷量等于体电荷密度对半径为 长度为厶的圆柱体的体积分，即0电荷q均匀

21、分布在半径为的导体球面上，当导体球以角速度血绕通过球心的2轴 试计算导体球面上的面电流密度。导体球上的面电荷密度为qPs= -4兀cr球面上任一点的位置矢量为r = era,当导体球以角速度血绕通过球心的z轴旋转时，该 点的线速度为v =a)xr = e:coxera = e0coa sin0则得导体球面上的面电流密度为Js= psv = e-smO2.4宽度为5cm的无限薄导电平面置于=0平面内，若有10A电流从原点朝向点P(2cm,3cm,0)流动，如题2.4图所示。试写出面电流密度的表示式。解面电流流动方向的单位矢量为p=pQ-,0G5 式中的Q为常数，试求圆柱体内的总电荷量。a解2.3

22、旋转时,解2-12en= . z(er2 + e面电流密度的大小为故得面电流密度矢量表示式为105x102= 200A/m2 +务3)2-132.5一个半径为a的球形体积内均匀分布着总电荷量为q的电荷，当球体以均匀角速度 血绕一条直径旋转时，试计算球内的电流密度。解球体内的电荷体密度为4加/3设以球心为坐标原点，旋转轴为Z轴，则球体内任一点P的位置矢量为r =err,故该点 的线速度为v= a)xr = ecorsin0因此，所求的电流密度矢量为处，阳极板位于/处，极间电压为匕；如果UQ=40V.J = 1cm ,横截面5=10cnr，求:(1)人=0至x=d区域内的总电荷量：(2) x=d/

23、2至.V=d区域的总电荷量。解(1)q严加d W(冷如 T 心於dx =订严卩訂；(昭/d”宀Sd2-A（i _ =）eQUQS = -0.97 x IO11C2.7在真空中，点电荷G=-0.3“C位于点A(25,-30,15)cm；点电荷q2=0.5/C位于点B(-10,8,12)cm。求：(1)坐标原点处的电场强度;(2)点P(15,20,50)cm处的电场强度。解(1)源点的位置矢量及其大小分别为_r = ex25-ey30 + e.l5 cm, |r/| = J25 + 30? + 15, =41.83 cmX = -ev10 + ev8 + e_12 cm, |/2a电荷元pd =p

24、,ad0在轴线上z = a处的电场强度为4矶(/2f/)3Pi 0厂cos0 + ssm0)-:- d08/2矶a在半圆坏上对上式积分，即得E(0,0,) = JdE =-1e. - (e cos + e siii 0Jd0，=2.11三根长度均为厶、线电荷密度分别为口广口2和卩3的线电荷构成一个等边三角形, 设Pi =2pa=2p“试求三角形中心的电场强度。解根据题意建立题2.11图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为J =-tail 30= L2 6直接利用有限长直线电荷的电场强度公式Er= P (cos 0. -cos )4碼厂E. =evP1 (cos30 -cosl50 ) = e

25、,坷14碼d2矶厶E、= -(s cos 30 + siii 30 )= (exR_2矶厶2-16E. = (e cos30 -e sin30 )=(e羽_e J 3 v32矶厶x沁L2-17故等边三角形中心处的电场强度为E = E + E, + E3 =e必(g厨+ 0 )4-(e5/3e )=e 2矶厶“8矶厶I八“8矶厶 4碼厶2.12一个很薄的无限人导体带电平面，其上 的面电荷密度为Ps。试证明：垂直于平面的Z轴 上Z = Z处的电场强度中，有一半是由平面上半 径为辰,的圆内的电荷产生的。解在导体平面上取面积元dy=rd0dF,其上所带的电荷dg = PsdS=PsF2d0电荷元dqZ

26、 = Z0处产生的电场强度为dE=psrdrdf e:zQ+ errE宀MqJoJo(石+严产e尸dF_:2勺。2勺(严+z泸一弋2q(严+无)以 当厂TOO时E之:牛，而心辰时Zo:2爲(严+W严o2.13自由空间有三个无限大的均匀带电平面：位于点(0,0,4)处的平面上 =3nC/nr ,位于点(0,0,1)处的平面上pS2= 6nC/nr ,位于点(0,0,4)处的平面上Ps.= -8nC/nr。 试求以 下各点的E： (1)人(2,5,-5)；(2)(2,4,5)；(3)&(一1,一5,2)。解无限人的均匀面电荷产生的电场为均匀场，利用前面的结果得（1）E严坠_咎=Y 丄（3

27、+ 6_8）xl（r =2勺2q）e.- xl09= -e. 56.49 V/m2x8.85xl0-12（2）Er =e, - + e, +ey-=（3 + 6-8）xl0-9=e. 56.49 V/m（3）E=e.e.-ev. = e.（3 + 6 + 8）xl09= .960.5V/m2.14在下列条件下，对给定点求VE的值：（DE = ex（2X）7 - y2）+ e.（x2Z - 2xy + e:x2yV/m求点片（2,3,-1）处V E的值。（2 ）E = ep2pvsin2（j）+eprsin2+e.2/?2zsur（/）V/m4矶(疋+严严则整个导电带电面在Z轴上2 = 6处的电

28、场强度 为PsU屁 “1e. = -E 2E =-ePsZq 12-18求点厶(Q= 2,0=11O,Z=1)处V E的值。(3) E = er2rsm0cos-ersm(pV/m求点P(r = 1.5 = 30 = 50)处0 的值。解(1)V E = (2粧一2) +善(宀_2乃)+右(心)=22 = _10(2) =丄纟-|Q(2Q才sin0) +丄专(以sin20)+f(2pzsiif 0)=2z2sin邛x2p +丄2才COS20+2Q sin 0 =PP4xlx sill2110 + 2xlx cos 2x110+ 2x2x sin2110 = 9.06(3)= 4r (r2x2r

29、sincos) + -(sinx rcos0cos(p) +r drv)rsmeoe7- -(-rsin) =ix2siiiconx3r2+ ircos(cos2-sin2CS = 0,637rrsinsin。2.15半径为d的球形体积内充满密度为Q(F)的体电荷。若已知球形体枳内外的电位移分 布为er(r3+Ar2) ,0rt7a5+ Aa4、er-；、心ar式中A为常数，试求电荷密度p(r)o解由Z = p,得p(r)= V.D = 4(r2Pr)r dr故在0ci区域Id. (ci5+ Aa4)PL) = P- -； = 0 r dr r2.16一个半径为d的导体球带电荷量为q,当球体以

30、均匀角速度刀绕一个直径旋转时(如 题2.16图所示)，试求球心处的磁感应强度B解导体球面上的面电荷密度为几=当球体以均匀角速度血绕一个直径旋转时,球面上位置矢量厂=W点处的电流面密度为J s = psv = ps(oxr = pse:a)xera =ecopsa sin 0 = e上乞sin 04TTCI将球面划分为无数个宽度为d/ = od&的细圆环，则球面上任一个宽度为d/ = od&细圆环的电流为D = efDt= 2-19d/ = J d/ = sin9d954龙该细圆坏的半径为b = ci sin 3，细圆坏平面到球心的距离d =GCOS&,利用电流圆环的轴线

31、 上任一点的磁场公式，可得到该细圆环电流在球心处产生的磁场为Pob2d /_/0sm3-e2 = 180,故3=180 - arctan= 180-36.9 = 143.17t同样，计算y轴上的电流在点P产生的磁场时，P = 0-4m , 6 = arctan10.4= 53.1,-e7t则严)+ %)二_e,- =-e.S|.1T712.18一条扁平的直导体带，宽度为2a,中心 线与z轴重合，通过的电流为I。试证明在第一彖 限内任一点P的磁感应强度为一丛a仔半题 2.17图2 20=2V_hi-8/ra (x-a)2+ y24/ra r2.19两平行无限长直线电流 和I2,间距为d;试求每根

32、导线单位长度受到的安培力Fnl。解无限长直线电流人产生的磁场为此磁场对直线电流人每单位长度受到的安培力为式中弘是由电流人指向电流12的单位矢量。同样，可求出直线电流人产生的磁场对电流人每单位长度受到的安培力为2.20在半径d=lmm的非磁性材料圆柱形实心导体内，沿乙轴方向通过电流/=20A,试求:(1) p = 0.8nmi处的B； (2) p = 1.2nmi处的B； (3)圆柱内单位长度的总磁通。式中的&、斤和E如图2 18图所示。解将导体带划分为无数个宽度为衣的细条带，每-细条带的电流亠知八根据安培环路定理，可得到位于十处的细条带的电流d/在点处的磁场为d =匕鶴=%=仏4牝(眷

33、I)，泸d=-dsmW 4(x-x) +厂d“=dBcos&=如式中的如题2.18图(附)所示，则得B一f Jyd x _xJa4a(x-xr)2+y2nJ- -aictaii4龙a题 2.18图(附)- arctail :4龙4I y丿_ - arctail (- - aictaii4龙I y丿 一空乩4龙a4龙a-aictanL 47ra(x-x)2+ y2zVS/ralii(x-x)2+ y2-aBl= e0人2%:/2e. xB1dz = -el2R0-Cl2-21解(1)圆柱形导体内的电流密度为2-22J = Vx/ =dx dy dzax -ay 0利用安培环路定律得B;=

34、elpQJpi=ex4xl0-7X6.37X106X0.8X103=e3.2xlO-3T 2 22)H = ex(-ayeyax , B = pQH?) + evar是磁场矢量，其源分布为e.Jd%0(3) B = (ax) + (-ay) = 0dx dy9r故矢量H=exax-eyay是磁场矢量，其源分布为和2(ixW3)-= e.6.37xlO6A/m2 7 = VxH =ddx(2)利用安培环路定律得i = J BjdS = J。-pQJ pdp = -pQJ t2-21下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求出其源量儿(1)H=epap , B =(H(圆柱坐标系)2-23（4）在

35、球坐标系中7B = 込=-（） = 0r sin 0 00 r sin 0 d（/）故矢量H=仏酎是磁场场矢量，其源分布为2.22通过电流密度为丿的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔，其横截面如 题2.22图所示。试计算各部分的磁感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的。解将题给的非对称电流分布分解为两个对称电流分布的叠加：一个是电流密度丿均匀 分布在半径为b的圆柱内，另一个是电流密度-丿均匀分布在半径为。的圆柱内。原有的空腔 被看作是同时存在丿和-丿两种电流密度。这样就可以利用安培坏路定律分别求出两种对称电 流分布的磁场，再进行叠加即可得到解答。由安培环路定律購.出=“。/,先求出均匀分

36、布在半径为b的圆柱内的丿产生的磁场为牛J x Ph Pb b Bb = -r警怦PQb2 p,同样，均匀分布再半径为a的圆柱内的-/产生的磁场为2 p；这里几和Pb分别是点乙和到场点p的位置矢量。 将B“和Bb叠加，可得到空间各区域的磁场为员a2Ph-PaPbP：丿式中d是点和到点 Y 的位置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。ddr0dd60广sin如o_ 60 arsin 0=eracQX0-ed2aS b)(A a)(几d)圆柱内的空腔外：B七J空腔内：B=豊JM题 2.22图2-242-23在巧平面上沿+x方向有均匀面电流人，如题2.23图所示。若将小平面视为无限人,求空间任一点的解

37、将面流Js= exJs视为很多线电流的组合。由毕奥一沙伐尔定律可以判定，沿天方向的线电流不会产生兀方向的磁场。而且，沿x方向的一对位置对称的线电流产生的磁场的乙分 量相抵消。因此，沿x方向的面电流产生的磁场只有分量。2-25题 2.23 图由于对称性，面电流的上、下两侧的磁场是等值反向的。取如图示的垂直于 Q 平面的矩 形闭合线abcda,据安培环路定律得Hib4-H*cd = J$ (ab)因此，在z0区域，有(-Hy-Hy)(ab) = Js(ab)而在Z0区域，则有Hy= hs式中的 S 是面电流的外法向单位矢量。2.24一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场B =

38、e:5cosa)tmT之中，如题2.24图所示。的位置由x = 0 35(l-cosef)m确定，轨道终端接有电阻R = 02Q：试求感应电流人若表示为矢量形式,则为2-26解穿过导体回路a%da的磁通为2-27= =e:Be:abxacl = 5cosx0.2(0.7-x) =cos cot 0.7-0.35(1-cos曲)=0.35 cos必(1 + cos cot)故得感应电流为z = -丄=x 0.35QS1D加(1 + 2 cos期)=R R 610.2 7-l 750sin0/(l + 2cos) niA2.25平行双线与一矩形回路共面，如题2.25图所示。设a=0.2m, Z?=

39、c=J=0.1m, / = 0.1cos(2xl07r) A,求回路中的感应电动势。解由安培坏路定律求出平行双线中的电流在矩形回路平面任一点产生的磁感应强度分 别为B,=衣2(b + c + d-r)它们的方向均为垂直于纸面向内。回路中的感应电动势为為一瓠心-蛊仇dS + j右ds式中b + cbf阳广-他-仙=必订学山1J 27rb + c + d-r)r2龙I b丿仙心广铮也警 S竽览0.1cos(2/rxl0“) =& =-21drlii2x0.1sin(2xl07r)x2xl07= 0.348sm(2xl07r)V2.26求K列情况F的位移电流密度的大小：(1)一型In7t某移

40、动天线发射的电磁波的磁场强度H = ev0.15cos(9.36xl0sr-3.12y) A/m:一大功率变压器在空气中产生的磁感应强度B = ev0.8cos(3.77xl02Z-1.26xl0_6x) T；一大功率电容器在填充的油中产生的电场强度E = ev0.9cos(3.77xl02r-2.81xl0_6) MV/m设油的相对介电常数6 = 5；(4)工频(/ =50Hz)下的金属导体中，J = exsm(377x/-117.1) MA/m2,设金属 导体的 = 5.8xlO?S/mo(3)2-28e.Jddz0A0.15cos仅36x103.12)，) =-e.0.468sin仅36

41、x10 3.12)，) A/m2禹1 = 0.468 A/m2V = 0.802 A/nr(3) D = rsQE = 5oevO.9xlO6cos(3.77xl02/-2.81xl0HS)= ex5x8.85X10_12X0.9X106cos(3.77xlO-2.81灯0七)RD7= = -ev15xlO_3sin(3.77xlO2r-2.81xlO_5) A/nr= 15x10-3 A/nf(4)E = - = elO6sm(377r-117.17)= cr 5.8x10r7E丄72xl02sin(377r-l 17.k) V/mD = eE=ex&85x10 xl.72xl()7

42、 sm(377/-117.1)=- = ev15.26xl0_14x377cos(377r-117.1z) =ev57.53xlO-12cos(377r-117.1z) A/nf|jJ = 57.53xlO12A/m22.27同轴线的内导体半径a=lmm,外导体的内半径4mm,内外导体间为空气，如题(1) FhVx=得dtddxH,dt,B =dD1vdtAo1e一Ar(ddxa勿B、 ddz01 dBe,-To &x 101.26x106) = “odxe:0.802 sm(3.77 x 10f -1.26 xl0_5x) A/nr(2) Fh VxH =xB =2-292.27图所

43、示。假设内、夕卜导体间的电场强度为E = 0罟心（10沖-怂）v/m（1）求与E相伴的H:（2）确定k的值：（3）求内导体表面的电流密度；（4）求沿轴线0W z W bn区域内的位移电流。解（1）维系电场E和磁场H的是麦克斯韦方程。VxE = -/0在圆柱坐标系中展开，得ot更一丄WE丄蛍=&0“0冼一仏sin 10怂将上式对时间/积分，得H = e cos（108r-fe）AoPxlO8 V）&E（2）为确定值，将上述H代入XH = Q9得ot100k2 _心pxlOsin(10sr-fc)将上式对时间/积分，得E = epcos（10sr-fc）/o5opx（10 ）将其与

44、题给的E罟cos（10h-怎）比较，得疋=（10吓“。勺= | iad/m因此，同轴线内、外导体之间的电场和磁场表示式分别为103丿 100E = eo- cosPu100H =e.-cos120%V/m（3）将内导体视为理想导体，利用理想导体的边界条件即可求出内导体表面的电流密度J. =exH=异I。5” I 卩120%1cos 10/ 一2I 3丿位移电流密度为e. 265.3 cos 10/ 2-30&H.化dDx-=人 + -dy dzdtdHxf卩- = J、. + -dzdx-dt&H、dHK_ 0Ddx dy dt 6E.dEyQHx_ - / / 2-dydzdtdExBE.&Hdx勿dtdBxdBY65ndxdydzdDxdDv0D.+ + = p dxdydz（2）在圆柱坐标系中1 dH.化dDp-=人 +p d（p dzdt-2x&85x107x3COS（1、10st-zi=0.55 sin（1AA3）0 6丿id=丄几d5=（丿,性2%灰=一2/&85x1 （T，J： sin （32.28试将微分形式的麦克斯韦方程组写成8个标量方程：(1)在直角坐标系中:(2)在 圆柱坐标系中；(3)在球坐标系中。解(1)在直角坐标系中（1 10s/ ZI3丿&85xl（r匚cs1）-e -sm 10 / zP