线性代数-知识点总结part2

1、三、向量组的线性相关与线性方程组坐标有几个向量就是几维向量。做向量组线性代数知识点总结part 2（1） n维向量记为a=（ai,a2an）第i个ai称为a的得i个分量或2）向量加减法按照对应项相加减。3）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫定义 3.4全为零的数给定向量组k1,k2, k11 k21,2,m , 如果存在不,km使k0 mm ,则称该向量组线性相关一向量组k11k11,kk2,225m 称为线性无关，如果由k m m 0 , 可以推出k m0。量线性表示。性无关，则部分向量组线性无关。性相关组减少相同位置相同数量个分量所得的向量组仍线性相关。4）向量组线性相

2、关的充分必要条件是至少有一个向量可由其他向5）部分向量组线性相关，则整个向量组线性相关；整个向量组线6）线性无关组添加相同数量个分量所得的向量组仍线性无关；线设 向量组1,2,1,2,唯一表示线性相关，则m 线性无关，而可由1 , 2 ,a11a21Ma12a22ML a1L a2A2(1) 1，2，LmR(A)m；(2) 1，2，LmR(A)m若m n(1) 1，2，LnA0；(2) 1，2，LnA0(8)若向量组A和B能相互线性表示就称 A和B等价；(9) 一个向量组T,从中选出r个向量a1，a2, .a r满足它们线 性无关，并且T中任意一个向量都可以用a1,a2-；a r线性表示 那么

3、 我们就称a1, a2,.a r是T的最大向量无关组(10)向量组的最大线性无关组所含向量的个数，称为向量组的秩.(11)矩阵A的秩等于它的列向量组的秩，也等于行向量组的秩(设向量组 的秩为r1 ,向量组(II)的秩为r2 ,且(I)能由(II)线性表示，则r1<=r2(13)等价的向量组有相同的秩。(14) 设线性无关的向量组(I)含r个向量，向量组(II)含s个向 量，且(I)能由(II)线性表示，则r<=s。(15)求最大无关线性无关组，将向量组依次写成对应的列向量，然后做初等行变换化简成最简阶梯行列式，看列向量组存在只有一个元素 不为0,所有这样的列向量组就是该向量组的最大

4、无关向量组。(16)设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于加法 及数乘两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间；注集合V对于加 法及数乘两种运算封闭指V, V, v； V, R, V.n 维向量的集合是一个向量空间, 记作Rn(17)若V是向量空间如果有r个向量ai, a2- -.a6 V并且它们线 性无关，且V中任意向量能用a1，&：.a线性表示就称a1，a2- - .ar 是V的一组基，r是V的维数，并称V是r维向量空间( 18) 齐次线性方程组有非零解 的 充分必要 条件是 系数矩阵A 的秩R(A)<n n 为未知量的个数；只有零解的充要条件是R(A)=n 注方程

5、与未知量个数都为n 的齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的行列式|A|=0 ；(19)若，工2是Ax=0的解那么E i+C也是Ax=0的解，另如果Ei是Ax=0的解，k为实数，kJ也是Ax=0的解(20)齐次线性方程组的一组解 J工2；. J称为他的一组基础解系(21)求齐次线性方程组的方法：对系数矩阵A作初等行变换，变为 最简阶梯矩阵，再右乘X(xiX2-；xn)T将特殊位置(第一行第一个不为 0 的位置和第二行第一个不为0 的位置)的未知量移到等号左边，其余不变，然后将等号右边的一个未知量赋值为一个1 剩下的全为0，然后再换下一个未知量赋值为一个1 剩下的全为0， 直到所有元素都被

6、赋值为1为止，代入方程组解的基础解系E iS1. 5通解为x=ki 七i+k2工2.k tt (ki k2.k t为任意实数)(22)设和刀2都是Ax=b的解则t i - T 2为对应的齐次方程组方程组Ax=0的解；(23)设刀是方程组Ax=b的解，工是对应齐次方程组 Ax=0的解，那Lk nr nr 么刀+t仍是方程组Ax=b的解。(24)非齐次方程组的通解为(E i+k2( 2-.kt工t是齐次方程组方程组Ax=0的解刀*是Ax=b的一个特解)(25)非齐次方程组有解的充要条件为系数矩阵A的秩等于增广矩阵(Ab)的秩既R(A尸R(Ab)(25)当r=n时方程组有唯一解，当r<n时有无

7、穷解(n为未知量个数)(26)求非齐次方程组的方法1、利用初等变换将增广矩阵(Ab)化 成行阶梯最简形，写出同解方程组2、求特解.取自由未知量都为零， 即可得出一个特解3、求出对应齐次方程组的基础解系Ei+k2(2-；.kt 5 4、写出通解 x kl 1 L kn r n r .四、相似矩阵与二次型(1)内积的运算性质：x,y y,x; (2) x,y x, y; x y,z xyzz y,z； 为n维向量，入为任意实数；冈GV Jx： x2 l x2,为n维向量x的长度，当|x|二1 时称x为单位向量。(3) |x| 半0 |y| #0 0 =arcosx,y川x|y|0 是 xy 的夹角

8、,(4)当x,y=0 就称xy正交，若n维向量ab a2- -.a r是一组两两 正交的非0向量那么他们线性无关(5)若a1，a2- -.a r是向量空间的一组基且是两两正交的非 0向量， 就称a1，a2- -.a r是V的一组正交基(当a1，a2- -.a r全部是单位向 量时就是V的规范正交基)vki ivvX(6)求规范正交基的方法；a i, a2, -.a r是V的一组基1、正交化 令bi=aib2a 2 'bi, b3bi,bib1,arNadhbr arb1b b2bi,bb2,bWb1,a3b27 a3bb2®blb2,b2br 1,ar L -；"

9、br 1br 1,br 1、单位化bib2 , ,bre1 MT e2 IM，LL，er bji， 那么ee.e,就是V的一组规氾正 交基;(7)若n阶方阵满足ATA=E(既A=A)则A为正交矩阵；注(A为正交矩阵的充要条件为 A的行(列)向量为单位向量并且两两正交)(8)正交矩阵的性质：A为正交矩阵那么(1)AT为正交矩阵(2)网=1|A|=-1 (3) A 可逆且 A=A(9)若P为正交矩阵那么线性变换y=Px称为正交变换(10)特征值与向量：求特征值|A-入E|=0即可求出特征值入|A- E|=0等价于a11a12a21a22LLan1an2La1nLa2nLLLann(11)若A为n阶

10、方阵且特征值为入1入2入n则有12 L n a11 a22 L ann; (2)1 2 L n | A.(12)解出特征之后代入矩阵中然后右乘(X 1X2- - .X n) T让这个式子等于0向量解出特征向量(13)若入是矩阵A的特征值，x是A的属于的特征向量，则入m是Am的特征值；当A可逆时入-1是A1的特征值；x仍是它们的特征向量(14)如果n阶方阵A有m个不同的特征值，则A有m个线性无关的 特征向量.(15)若AB都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P满足P1AP=BB称A和B 相似(16)若AB都是n阶矩阵，并且A和B相似那么它们的特征多项式相同并且特征值相同(17)若n阶方阵A与B相似，则A与B的秩相同(18) n阶方阵A若存在可逆矩阵P使P-1AP=A为对角阵就称能把方 阵A对角化；方阵A对角化的充要条件为A有n个线性无关的特征向 量；( 19) 实对称矩阵是指的特征值为实数的矩阵( 20) n阶对称矩阵A,入是特征矩阵的r重根则有R (A-入E) =n-r