计算方法公式总结

1、x为准确值，x为近似值。,e为正数，称为绝对误差限F x x e通常用e 表示相对误差x x计算方法公式总结绪论绝对误差 ex x,绝对误差限|e| |x x|r x x e相对误差e - 一 x x相对误差限|er |或|er|Word 资料有效数字一元函数y=f (x) '绝对误差e(y) f (x)e(x)''e(y) f (x) e(x) xf (x)相对误差er(y) y- 74(幻二元函数 y=f (x1,x2)/ f (Xi,X2) f (Xi,X2) 绝对误差 e(y)dX11dx2相对误差er（y）f (Xi,X2)X1 / 、f (X1,X2)X2

2、/ 、- -er(Xi)- -er(X2)XiyX2ye(xi + x2) = (町)+ e(x2): 巴3 -=eJCi)-4, 巴(£"2)七 ! " 1 I + j;ie(x2)tF (巴)=- ?收工2), 5/ T2 喘S(E1 + J:2)七一H勺(12),1+£211 +2巴丁(血 -X2)右一外(11)%(12),X 一七2工1 一12立（工"2）七今（11）+外（6人机器数系1）数的浮点表小:/ = i（0*Qir>2JL 中三 Qi < /? （1 < i < n）, L < p < U.

3、F(U.U) =。 U 12）机器中的数集是有限的:石=±(0.修如。计)用,1 W因W 3 L 10 W 出 0 8 - L - 2. 3. ，% A S P 0 U J全人况差.3）实数£二 3）（机器数）.注：1. B冷，且通常取2、4、6、82 . n为计算机字长3 .指数p称为阶码（指数），有固定上下限L、U4 .尾数部s0.a1a2L an,定位部5 .机器数个数1 2(1) n1(U L 1)机器数误差限,1 n p截断相对|x fl(x)l|x|舍入绝对|x fl(x)| - 截断绝对| x fl (x) |x fl(x)|舍入相对.一.|x|积分中值定理设

4、f屈iMhb上连纨g(幻在a可上保号(即II负或II I：). 在£ 旧阳,使得j f 8gs d举=A0，(丁 jdw.JoJ a秦九韶算法方程求根f (x) (x x)mg(x), g(x) 0, x* 为 f (x) =0 的 m 重根。二分法一以| < «1) < 即7。-。).对于给定精度E,若取k使得则有迭代法f (x)0xk 1(xk)k=0、1、2*xk为迭代序列，(x)为迭代函数，lim xk x (x )k定理1流尸.一在Lb内存在 阶连续导数，且满足事/) "J W 时，E a. b ；2；存在止常数L < L当工丘a, b

5、时，炉(0| < L< L则1)工=奴工)在区b上有唯一实根,记为了*；2)时任意初值叼e 同迭代格式(5)收敛,且Um小：3)L«|工* 以I W r|i -网|： A 1,2.3 - - ;(7)1 _ L5)M -T)(8)Jr ;r* 八局部收敛定义1对方程工=/公在小的某个邻域£ = 司工一"* < 匹内，对任意初值w S迭代格式以十1 =1（以）都收敛，则称 迭代法在二的附近局部收敛.定理3法方程I =火）有根厂H一在工*的某个笫域S = xx - x*| < 6内品工）一阶连续可导,则1）当|"）| < 1时,

6、迭代格式局部收敛;2）当|“（力| > 1时，迭代格式发散.注：如果知道近似值，可以用近似值代替根应用定理 3判断是否局部收敛定义2设序列琛收敛于邕 并记年=xt - x如果存在常 数P之1及非零常数C使得limk boc”+1则称序列磔是p阶收敛的.定理4花奴在H附近的某个邻域内仃p（之1）阶连续导数，且114)(15)，好（H J = 01卜=1,2p 1, d心）等o,则迭代格式住/附近是p阶局部收敛的，11有X-A+1 - X* lim Atx(I* I*)，0叫力p!(16)如果P= L要求牛顿迭代法f(x) f(Xk) f(Xk)(X Xk) 0xk 1xkf()(k 0,1

7、,2,L ) f (Xk)注：牛顿迭代对单根重根均局部收敛，只要初值足够靠近真值。.当二为方程单根时,Newton迭代是二阶局部收敛."旧为方程.皿m > 2；重根时，Newlon迭代一阶局部收敛.牛顿迭代法对初值要求很高，要保证初值在较大范围内也收敛，加如下四个条件定理5设函数/(©在区间&目内2阶连续可导 且满足:1）< 0;2）当z E a山时,开工）¥ 0;/而3)当工丘45)时尸(切保号;/仙)、>?一则对V$o G迭代格式/（必）i n 1队+1 =4377= 0, 1, * * *收敛到方程穴r) = 0在6内的唯一实根注：

8、证明牛顿迭代法大范围收敛性，要构造一个区间£,M( £),其中M（）ff；，在这个区间内验证这四个条件。如果知道根的位置，构造e,M (e)时应该包括根，即e+常数3.4割线法/(以) /£店十I =龙为-4不一石以-人一卜=1"：,，jxk) - fxk-l)线性方程组求解有两种方法：消去法 和迭代法高斯消去法利用线性代数中初等行变换将 增广矩阵转化为等价上三角矩阵。注意：第一行第一列为0,将第一列不为0的某一行与第一行交换位置，继续初 等行变换LalnLa2nMLann对角占优矩阵aii42a21a22AM Man1an2n|aij |(i1,2,L

9、 , n)则称a为按行严格对角占优矩阵j 1n|aij |(j1,2,L ,n)则称a为按列严格对角占优矩阵i 1au aji (i 1, j n) x Rn,x0,(x, Ax) 0则称A是对称正定的当A是上面三种情况时，用高斯消去法消元时akk0 ,不用换行。追赶法是高斯消元法的一种特例考虑二对角方杆组Ui其系数矩阵元素满足1） |6i| > ci > 0;2） bi > |aj + |q|, g #0（，= 2,3,中1）；3） bn > | > 0.易证(4)的系数矩阵指奇异.利用Gmi,消去法解方程组(4),每步 消元只要消一个元素.消元过程算法如下：B

10、i =瓦, 01 =九 对晨一 2.：1, * * ”1做li = 3-，氏=b$ - Lg-lA-i今回代算法：bi ci is b >w«381 5 0 02 0比 n = l/n / Br,对，=71 17 71 2. * ,.，1 做麻=（柒-Q1+1）/片.列主元高斯消元法当1a(k)sk即第k次消元把kn行第k列绝对值最设进行1步消元c(1)J1)fl)r的1aV2口13"1限* "1"<f Ln+ 1U12)小冷a23电小-1门4k口上找1 L00'(3) “3上-1* *的上-(3)。而»“出翼+1«

11、;1 1U4<1)* «/】）/l)（岛）1 iak-,k"-1最0000(A)的脸*）盯+1制IJ000*) S-+1, A-件)'" + 1,1 田* -4* *-*4 -»*«曾 鼻 *»9 -U000, a.1,71»的% "十10V004*9V0,(A- H心* 44渴* * , ann%+1i (k) imax©k |，大的行（s行）调到第k行，再进行高斯消元2.1向量范数设 1 =（£1，石r）T G R ".定义1设/=|到是R"上的函数,如果满

12、足;非负性）Vh G R?,有|同| > 0,且|同| = 00宓=0；2"齐次性）Vi G R", AeR W | | = |N|矶3三角不等式）Mr, y G RV有|"十M| < h| + h|.则称|为R"上的范数.常用的三个向量范数:Di范数:|同h=£|闯;2 = 12)00范数：I罔|g = max |/l<i<n3） 2范数：|训2 =定理2设4 6 Rnxn,则1)Mlh=摩 |4班=lklli=1max1<.?<«nj=l2)Mb=躁|4唯=明£|%|.k II oo=

13、i，THII2 = mac 114M2 =I 112=1定义5设B Rf 入 小汴为B的办个特征值.称。但)=眄|%1l<i<n为衽阵B的滔半径.定理3设| |是R"答上的任意一个矩阵范数.A w IV.则有。 < MH定理4如果4 e R"印为对称矩阵，则p(A) = |Al定义3设|是RR中的 个范数，hS工.工，是R疗中的 一个向量件列“E H"为常I可量，如果liin xk' c| 0, k ->0C则称向量序列工0收敛于c记为lim a?"c.迭代序列构造Ax b x Bx fx(k 1) Bx(k) f第三个等

14、式为迭代序列，B为迭代矩阵 迭代收敛判别1 .充分条件：迭代矩阵范数小于1, PBP 1结论：Ax=b有唯一解x对任意初始向量：E迭代格乃收敛4且有II”) c网 |- 1 -1四I ".JA-1)JU12 3-IIII” " k2 .充要条件：迭代矩阵谱半径小干 1, (B) 1Jacobi 迭代法A L D U其中L (low)为下三角，U为上三角，D为对角线元 素(k 1)1(k)1.迭代格式：x D (L U)x D b上,+ " =(_ a.*阳一。1313 一. 一 以旧七9)/。11K"" = (& -一 023% 一以加

15、或)/。22=('-。31式；?川一。32 叼一)/a33= (% 。北- 。汽万-1 汽)3)/。加i迭代矩阵J D (L U)收敛性判据:| I J | 0 |D 1 |?|L D U | 0 |L D U | 0求出 最大值小于1 (J的谱半径小于1)即迭代格式收敛.Gauss-Seidel 迭代法迭代格式x(k1) D1( Lx(k1) Ux(k) b)x(k。(D l_) 1 Ux(k) (D l_) 1b1 :迭代矩阵：G (D L) U1.常数矩阵：g (D L) b工” =(61 -即濯-勾3追)如飞)/以1if + n = 口力工十口 仪2M:)法工华"&#

16、169;2二(加一 口同4&*"-"驼芯"1 -"时匚%)W，)*(ft+1)( I(卜+1)3+1)(*+】)、/琉 =("-口/1叼-通网2%用一 11计1 )/口.收敛性判据:| I G | 0 |(D L) 1 |?| (D L) U | 0 | (D L) U | 0求出最大值小于1 (G的谱半径小于1)即迭代格式收敛.结论：当A是严格对角占优的,则Jacobi和Gauss-Seidal迭代法均是文敛的宙值法用插值多项式p (x)代替被插函数f(x)插值多项式：P(X) 3o 3iX LanXn ,n+1 个点 P(x。 y(

17、i 0: n)插值区间：a,b,插值点满足a x0 x1 Lxn b求插值多项式P (x),即求多项式系数的过程为插值法带入可知求系数的插值点行列式为范德蒙行列式，不为0,有唯一解。即n+1插值条件对应的不超过 n次的插值函数 P (x)只有一个。次线性插_ x x x xnP(x) y。y1 y°l°(x) y(x)x。 x1x x0lk(x)LagrangeLn(X)插值余项n(x xi)i 0i kn0(xk X)k插值多项式非插值节点上Q(x)(x Xi)k(xk xi)y*(x)k 0Lagrange 插值多项式为被插函数f(x) Ln(x)(a,b)带导数插值条

18、件的余项估计（I）求一个二次多项式“（上）使褥它的余顼为- HU）=公厂 L求-个三次多项式H（*）使得(. i ikxkx4 )ykf（x）的近似值f (n 1)()(n 1)!n(xi 0xixi)H-,H"S(3.” 3 s它的余项为/（上）-H （工）(工-6), E W (口，/定理2没*)在也可上连续，尸计1)(工)在(&内存在,如皿 *为互异节点,££/)是满足的插值多项式,则对W 凡6. 3 e (a, b) (e依赖于工)，使得心=/(0 一 Ln(x) -3门+ !),(10)其中电计1(£)= J(£i=0注：推导

19、过程用罗尔中值定理构造辅助函数(t) Rn(t) K(X)Wni(t)注2，乂依敕于二后即£ = i上仆,：1,一, , 1", IIKLX2 0. £代 L2)当f(工)本身是一个次数不超过m的多项式吐f(T)4(工)= 0,因而乙Q) = /").特别当/(£) = L则有£43 = 13)由于£一般不能牯确求出.因此只能估计误差，没 max |-+D | = A/n+1,则行IE(功二告严(功i -L J 第二条性质用于可以证明阶数不大于n的f(x)的插值余项为0.差商和Newton插值法定义2设知函数人£在

20、门+ 1个互异节点以也山的函数俏为力Mo）,一，/（厮）.称/（勺）-/（石）/心叼=町雹为（力关于节点“：了的/阶年两f均差人称/价差商/，勺和f 町叫的差商f4以=/勺以麻为1位）关于节点上的2阶差商,一般电称2个上一 1阶的 差商为人阶差商，即/10,阳，* ,，须-一1；1#_ / ，1,工2厂上*一 1 ：一 /工5 4：1 ： * * * ： 42,1工k 工仆约定。阶差商是函数值.计算函数的差商,可以通过列表法计算。记忆方法：先记分母，最后一个减去第一个，对应的分子第一项是最后一个临近k元素的差商，第二项是第一个临近 k个元素的差商。性质3尼阶差商和比阶导数之间有如下关系:声 1

21、 /其中7； E（1疝1H0，111一 4，max"，勺,一以）牛顿插值多项式&=/30）+ /住5 词（，-工0）+叼42（4-工1）+ * * . + /,0,1 /,%（辽一比0）（工一£）*（# n-1）*（ I 5）（15）称为几次New ton插值多项式.通常记作Nn（X） 分段样条插值给定在门+ 1个节点口 =如 < 也4=6上的函数 值：£于0_1 _ . . 于T>一于3 MH /山）小二）f心记儿=修+i H h = max hi，在每个小区间工七+i上作八力）的线性插位"-n 1£耳（1） = /（&#

22、169;） + f（/ - &）, r E 出心+4其误差为/-=""（S）（工一用（工一f 卜） 宣 £ （阳,41）从而有5f "(&)(£ - M(£ - g*i)max4 <T<i + i£"幻| <max应 Wt+i-hH ?屡,"31，分段二次样条插值 讨论n为奇偶情况时的三个点余项估计式三次样条插值函数第一类边界条件（端点一阶导数已知）ZMq 十%=n.xj-琬,Mn_2Mn =-八工冕") 1TD0等于第一个式子，dn等于第二个式子自然边界条件（

23、端点二阶导数已知 二阶导数和M0 , Mn=0 ）/+%=16（）"一力必一万7、也+& k % ）=6/%_力,毛川S(e) = !fj + /町,叼+1(必 + g%+1)%(1 巧)+$必(* 叼产+(必+1 必)("一叼)12ont e 叼，叼+ 1, j = 0,1,，泣一L (26)曲线拟合最小二乘原理函数关于n个点线性无关定义1设项物户口是几个互不相同幽点，.壮0（工）,。1（万人，。是（m4 1）个已知的函数.如果存在不全为 零的常勤加匕I:，为使力次（勺）+勺腐（叼）+ 卜编 =。，=12 ,小1）则称强3M （顼岫凡（工*关厂点%孙严力是线性无关

24、的; 否则称为线性相关的.机(1)次(11)血（打一 1）方程组（D可以写为陶1-1!1110m (1)篇1(；诵)狐6) L:* * *脚北1 (中比一 1)4/l(刀一11* 0m l(£n)0/7?(77)方程组（2）只有零解的充分必要条件是方数矩阵列线性无关.定义2给定函数y = /上的“个点（孙为）>，= m.|11 3叼工口ylyi英成K设仰M（叫，鼠（冲关广点% *线性无关.令rn?=')用仅0.心：心）二工（心卜）一机汽Jt=l求% %Gn,使得力（勾，门, .6）= inin 中（小 的？ 一 . tzj. （3） 心如号eER称 mP（工）=

25、3;埼&（工）f=0为数据的拟合函数,如果如.=xkr则和为加次最小二乘卷顶式.23 n注：线性无关的函数为1,x, x ,x ,L ,x才是最小二乘多项式（00,00）他5血）（0（h 以“: : * B : 0 _ （。如 00）（。的曲）, M'（y,。l ） 睢（y<M1r瓦2 21- 7« d> aattti(5)匕m _其中加 n,系数矩阵4的列向量线性无关,方程（5）称为超定方 程组.该方程组般没仃精确解.记m / n4*(X1, X2f ，&)-E E*=1 J=1QjjXj bf求工工纥,：琮，使得吨攻"）二min 4（

26、丁卜12,.工口）.由驻点方程组的理论可知，若产力一，琮是卜.面方程组的解: AtAx = A1 b注：记住公式即可。数值积分和数值微分性质7 （定积分中值定理）如果函数人工）在闭区间加上连续， 则在积分区间14可上至少存在一个席， 使ff3 444方）蔗而值公式般的数值积分公式为:itf击七£ 4跺), A-0xk为求积节点， Ak 为求积系数。插值求积公式baf（3；）dx 七 / Lu（j：）dj：J Ct.k=o n=£>wm）.A'=0a + th, t 0. nl,a + j儿石k = Q+kli定义2如果求积点“体=ojm)是等距的 即b - q

27、七卜=a+kh. h =A，= 0,1, * * * , zi,n则称对应的插值型求积公式为Nch付-C”处公式.n * fc!（ATI 也 TT（i j）dt,卜=0,1（3） 周！ Jo ;=0小）C%kf（£k， kO梯形公式1 ） 71 = 1, li=bay j;（）工1 = bl由(3)可以求彳¥GJ得2个等距节点的插值型求枳公式： JT(f)=二 /(回 + 则.(明称为梯形公式.Simpson 公式2) :工一 2,/丁 一 -；工口 一 口,1 I - h : 11 (3)目 木丁。2.0 191361 =不。22 =:得3个等距节点的插伯邛求枳公式636

28、I-jS=+) + /(“ .，5)U/B-S(5)称为Simpson公式.Cotes 公式r、 一 b a3a + 6«+ fej) n = 4, h = *j；o = a. Xi =沙=4-_门h、由求储329()：32i爪得5个等距节点的抽值型求积公式一 b a r“：缶一方 ,口,十 b。 -7仙）+32/1>+ 12/（ 丁） JIJ Lnt乙n + 3Z>+324彳当+7”.（6）4（6）称为Cbte醇公式.截断误差/?（/） = /（/） -称为求积公式的截断误差.Zb" ,b以工法一£ gm一k=0 山I f I / L门(工)di;J

29、qJ afb-广品(W&产"1伙）5+1)!口（工一 xdi, £二0£三（匹b）.代数精度定义3绐定一个求枳分/(/)= r/(£)曲;的求积公式/七乙= £4/(以，A'=0当f(x)为不超过m次多项式时上式成立，f (x)为m+1多项式时上式不成立。则称为求积 公式有m次代数精度。由插值型求积公式的戕断误差(2)知.n + 1个节点的插值型求 枳公式的代数精度至少是m定理1求枳公式naj /) - £jt0至少具有八次代数粘度o该求积公式是插值型求积公工,即月卜=/上.,k = 0 J Ju定理2求枳公式n(/)

30、为/£/) £/(以)(8)Ar=O的代数粘度是它对g(工)=1必(1)=叫ga(£)= n，Sm(x)=工精确成立，而对外(工)=工职+1不精确成立.即%)-La), , fc - U J - -# A(.7m+1)-梯形公式代数精度为 1, Simpson公式代数精度为3, Cotes公式代数精度为 5一般,几十1个节点的Newton-Cotes(等距节点插值型)公式的代 数精度_(画 门是奇数二，一L/是偶数截断误差梯形公式Rr(f) = 1(f)- r(/)Simpson 公式用(/) =/(/) s(力r广f w a=I ；X a)x - bjdx =侬

31、7().心=，9 f 、V G (a,b).rbrb=/(£)/£ / Hxdx=- /严(E)( #4)( /：4.J ab a (b _180 (Cotes 公式Rc(f) = A/) - c-Gauss求积公式求积公式代数精度为 2n+1-1,1上的两点Gauss公式111f 3dxf(工卜1,1上的三/JGauss公式JaJ aH (.r)dj：,/ a + b2£ 一 )(£ ) x b)dxf. ( a + b f. Tx a i i 1 jj b)dx2 ) #书(力，£(a,b).216 a (b aG ，,945 4 ) f)

32、，刈(3次代数精度) 1)f(T3)(5次代数精度)f(x)dx 9f(4)8f lf(3)3.2 区间q.句上的Gauss公式 考虑区间同可上的积分，(/)= f也自可得作变换I =/=J 1b a/a + b b a 丁 f +1 dt.由-：1上的Gauss公式得®可上的Gauss公式“Jw)= Ea/k-O记住xktk, A A的关系，tk A查表即可29Amt4T k = 0,1,2,.匹则储小 "上的Gjusb积分公式为n乙（/）= £/（八）A,-0定义4设有计算积分的复化求积公式八（力，如果存在正整 数p和非零常数G使Uni:- C,占hr则称公式

33、4（，）是p阶的.复化梯形公式 2 阶，复化 Simpson 公式 4 阶，复化 Cote 公式 6 阶计算机通过不断把区间二分，所得前后两次积分差值满足精度条件即可 给定精度21112nIn1时，1，II(f) 12n(f)| 2II2n(f) In(f)|因而可以取I2n(f )为I (f)的近似值。is 乙冗；%(/) TM梯形3Simpson/-即定3匹-S“(川15（向前差商）（向后差商）数值微分f Q)；>flMt 1 打必)一 I% 一”)J 3。) ，h(外)°数值微分截断误差rf( + ) f (珀h ff Mb= 一$/ (/o) + Oh ),£f1/(比。)一/(I。一 ) h . z-)/l2f M;= -/ (No)十 0(h)t f(j：o + h) - f(x() h) A2 ff/q尸(皿)- = -ffM +。(h3), 2fi0中点公式：D(h)f (Xo h) f (Xo h