1.2.分部积分法ppt课件

1、函数，复合函数的积分函数，复合函数的积分函数，有理函数，无理函数，有理函数，无理三角三角了幂函数，指数函数,了幂函数，指数函数,积分公式及换元法解决积分公式及换元法解决分？分？两类函数的乘积如何积两类函数的乘积如何积问题问题 ?dxxex解决思路解决思路逆用两个函数乘积的求导法则逆用两个函数乘积的求导法则. vuvuuv , vuuvvu dxvuuvdxvu duvuvudv -分部积分公式分部积分公式5.5 5.5 分部积分法分部积分法Cexexx dxexexx两边取积分两边取积分不易积不易积易于积易于积 dxxex xxde例例1 1 求积求积分分.cos xdxx解一解一 xdxxc

2、os xdxxxxsin2cos222显然，积分更难进行显然，积分更难进行.解二解二 xdxxcos xxdsin xdxxxsinsinCxxx cossin)21(cos2 xxdduvuvudv 例例2 2 求积求积分分.2 dxexx解解 dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法） 指数函数指数函数三角函数三角函数幂函数幂函数u 幂函数幂函数 xdex2duvuvudv )(留下幂函数留下幂函数例例3 3 求积求积分分.arctan xdxx解解 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxx

3、xxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx )21(arctan2 xxd例例4 4 求积求积分分.ln3 xdxx解解 xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx )41(ln4 xxd 对数函数对数函数反三角函数反三角函数幂函数幂函数u 对数函数对数函数反三角函数反三角函数)( 对数函数对数函数反三角函数反三角函数留下留下例例5 5 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sinsinxdexexx xdxexexxcossin xxxdex

4、ecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsinCxxex )cos(sin2注意循环注意循环形式！形式！例例6 6 求积求积分分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 本题将换元积分法和分部积分法结合使用本题将换元积分法和分部积分法结合使用 dxx)sin(ln,ln xu 令令duedxexuu ,则则 udueusinCuueu )cos(sin2 在接连几次应用分部积分公式时在接连几次应用分部积分公式时, 应注意前后几次应注意前后几次留下的留下的 应为同类型函数应为

5、同类型函数.u合理选择合理选择 ,正确使用分部积分公式正确使用分部积分公式vu ,求两个函数乘积的不定积分，一般采用分部积分求两个函数乘积的不定积分，一般采用分部积分 指数函数指数函数三角函数三角函数幂函数幂函数留下幂函数留下幂函数duvuvudv 对数函数对数函数反三角函数反三角函数幂函数幂函数 对数函数对数函数反三角函数反三角函数留下留下例例7 7 求积求积分分 .1arctan2dxxxx解解 dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 dxxxx 2211arctan1xx arctan12

6、.)1ln(2Cxx )1(1arctan2122xdxx例例8 8 求积求积分分 .)1(2dxxxex解解1 xdxedxxxexx11)1(2)(111 xxxedxxxe dxxxeexxexxx11 dxexxexx1Cexxexx 1Cxex 1解解2 dxxexdxxxexx22)1()11()1( dxxedxxexx2)1(1 xdedxxexx111 dxxexedxxexxx111Cxex 1解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 Cedxxfx两边同时对两边同时对 求导求导, 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex dxxfxexfx)()(92，求，求的一个原函数是的一个原函数是已知已知例例习习练练 dxex. 2tx 令令 dttet2dxexx32. 1 Cexeexxxx 33322729231Cxex )1(2dxx 1arctan. 3Cxxx )1ln(211arctan2 dxxx1arcsin. 4 )1(arcsin2xxdCxxx 14arcsin12xdx 3sec. 5 xxdtansec xdxxxxsectantansec2 xdxxxxsec)1(sectansec2 xdxxdxxxsecsectansec3dx