第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词讲义

1、1 .命题pAq, pV q,税p的真假判断pqpA qpVq税p真真良真假真假真假假真假真央假假假宴2 .全称量词和存在量词量词名词常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等?存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等?3 .全称命题和特称命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x,有p(x)成立? x C M , p(x)特称命题存在M中的一个xo,使p(xo)成立? xo_e M: p(xo)4 .含有一个量词的命题的否定命题命题的否定? x M, p(x)? xoC M .吐 p(xo)? xo C M , p(xo)? xC M.刊 p(x

2、)【知识拓展】1 .含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)pVq： p、q中有一个为真，则 pVq为真，即有真为真；(2)pAq： p、q中有一个为假，则 pA q为假，即有假即假；税p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反.2 .含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“或“X”)命题p A q为假命题，则命题 p、q都是假命题.(X )(2)命题p和税p不可能都是真命题.(V )(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则 pV q是真命题.(，)（4）命题税（p A q）是假命题，则命题 p, q中至少有一个是真命题.（X ）（5）

3、“长方形的对角线相等”是特称命题.（X ）（6）命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.（X ）1 .已知命题p：对任意xCR,总有|x|>0; q： x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真 命题白是（）A . p A （税 q）B.（税 p） A qC.娥 p）八僦 q）D. pAq答案 A解析 命题p为真命题，命题q为假命题，所以命题 税q为真命题，所以pA （税q）为真命题,故选A.2 .已知命题p, q, “税p为真”是“ pAq为假”的（）A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件答案 A解析 税p为真知p为假，可得pAq为假；反之，若

4、pAq为假，则可能是p真q假，从而税p为假，故“税p为真”是“pAq为假”的充分不必要条件，故选 A.3 .（教材改编）下列命题中，为真命题的是 （）A. ? xC R, -x2-1<0B . ? xo R, x0+xo= 13 / 1791C. ? xC R, X2-X+ 4>0D. ? xoC R, x2+2xo+2<0答案 A4,设命题 p： ? xC R, x2+ 1>0,则税 p为（）A. ? xo R, x0+ 1>0B. ? xoC R, x0+1W0C. ? xoC R, x0+ 1<0D. ? xC R, x2+1<0答案 B解析 全

5、称命题的否定，要对结论进行否定，同时要把全称量词换成存在量词，故命题p的否定为“？xoCR, x0+1<0",故选 B.5. （2015山东）若“？ xC 0, 4，tan x< m 是真命题，则头数 m的取小值为 .答案 1解析函数y= tan x在o ?上是增函数，4. ，多.ymax= tan 4 1.依题意，m> ymax,即 m> 1.，m的最小值为1.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断例1 （1）已知命题p：对任意xCR,总有2x>0； q： “x>1”是“ x>2”的充分不必要条件, 则下列命题为真命题的是 （）B.娥 p）

6、A（税 q）D. pA （税 q）(2)(2016聊城*II拟)若命题“ pVq”是真命题，“税p为真命题”，则()A.p真，q真B.p假，q真C. p真，q假D. p假，q假答案(1)D(2)B解析(1) .p是真命题，q是假命题，1- p A (税q)是真命题.(2) :税p为真命题，p为假命题，又pVq为真命题，q为真命题.思维升华“pV q” “pA q” “税p”等形式命题真假的判断步骤(1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p、q的真假；(3)确定“pAq” “pVq” “税p”等形式命题的真假.已知命题p：若x>y,则x< y;命题q ：若x>y,则x2&g

7、t;y2.在命题pAq；pV q;pA娥q);娥p) V q中，真命题是()A.B.C.D.答案 C解析 当x>y时，x< y,故命题p为真命题，从而 税p为假命题.当x>y时，X2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而 税q为真命题.由真值表知：pAq为假命题；pV q为真命题；pA (税q)为真命题；(税p) V q为假 命题，故选C.题型二含有一个量词的命题命题点1全称命题、特称命题的真假例 2 (1)(2016 唐山*II拟)命题 p： ? xC N, x3<x2;命题 q： ? aC (0,1) U(1,),函数 f(x)= loga(x1)的图象过点

8、(2,0),则()A.p假q真B. pM q假C.p彳田q彳田D.p真q真(2)已知命题p： ? x R,2x<3x；命题q： ? xo R, x3= 1-xo,则下列命题中为真命题的是()A.pAqB.娥 p)AqC. pA 娥 q)D.娥 p)A(税 q)答案(1)A(2)B解析 (1) . x3<x2, - x2(x-1)<0,x<0 或 0<x<1 ,在这个范围内没有自然数，命题p为假命题.f(x)的图象过点(2,0),，10921=0,又? aC(0,1)U(1, + 8)的值均成立.命题 q为真命题.(2)容易判断当xW0时2x>3x,命题

9、p为假命题，分别作出函数y=x3, y=1 x2的图象，易知命题q为真命题.根据真值表易判断(税p)A q为真命题.18 / 17命题点2含一个量词的命题的否定例3 命题“ ？ XoC R,使得x0>0”的否定为()A. ? x R,都有 x2<0B. ? x R,都有 x2>0C. ? xoC R,使得 x2<0D. ? xoC R,使得 x0<0(2)(2015浙江)命题“ ？ nC N*, f(n)C N*且f(n) w n”的否定形式是()A. ? nC N*, f(n)?N*且 f(n)>nB. ? nC N*, f(n)?N*或 f(n)>

10、nC. ? noCN*, f(no)?N*且 f(no)>noD. ? noCN*, f(no)?N*或 f(no)>no答案(1)A(2)D解析(1)将“？”改为“？”，对结论中的“封”进行否定，可知 A正确.(2)由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.x,p(xo)思维升华 (1)判定全称命题“？ xC M, p(x)”是真命题，需要对集合 M中的每一个元素 证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x=xo,使成立.(2)对全(特)称命题进行否定的方法找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词.对原命题的结论进行否定.

11、(1)(2016皖南八校联考)下列命题中，真命题是()2X02X0 1A. ? xoC R, sin2+ cos22- = 2B . ? x C (0, nt) sin x>cos xC. ? xC (0, +oo), x2+1>xD. ? x0 R, x0+x0= 1(2)(2017福州质检)已知命题p： “？ xoC R, ex0 x。1W0”，则税p为()xnA . ? x0 R, e x0 1 >0B. ? xoC R, ex0 -x0- 1>0C. ? xC R, ex-x- 1>0D. ? x R, ex-x- 1 >0答案(1)C (2)C解析

12、 (1)C选项中，当x>0时，x2+1x=(x 2)2 + 3>0,即x2+1>x恒成立，C正确.(2)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得 税p为“？xCR, ex-x1>0"，故选C. 题型三含参数命题中参数的取值范围例4 (1)已知命题p：关于x的方程x2ax+ 4= 0有实根；命题q:关于x的函数y=2x2 + ax + 4在3, +8 )上是增函数，若pAq是真命题，则实数 a的取值范围是 .1 y(2)已知 f(x)=ln(x2+1), g(x)=(2)x m,右对？ x1 e 0,3, ? x2C1,2,使得 f(x)>g(x2),则 实

13、数m的取值范围是()1、r ,1A，+00 )B- ( 一 0°, 41 、r ,1c. ，+00 ）D- （一°°,一万答案（1）12, 4U4, +8） （2）A解析（1）若命题p是真命题，则 A= a2 16 >0,即aw4或a> 4;若命题q是真命题， 则一包w 3 即a> 一 12.4,pAq是真命题，p, q均为真，a的取值范围是12, 4U4, +8).(2)当 xC 0,3时,f(x)min = f(0) = 0,当 xC1,2时,1g(x)min = g(2) = 4 m ,由 f(x)min > g(x)min ,得0&

14、gt;； m，所以m> 1，故选A. 44引申探究本例（2）中，若将“？ x2C 1,2”改为“？ x2C 1,2”，其他条件不变，则实数 m的取值范围 是.- 一 1答案2, +国）1解析 当 xC 1,2时，g（x）max=g（1）=2-m,1由 f(x)min >g(x)max,得 0口2一 m1，、1 m> -2.思维升华（1）已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围；（2）含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义， 利用函数值域（或 最值）解决.(1)已知命题 p： “？ xC 0,1, a>ex”，命题q： “

15、？ x°e R, x2 + 4xo+a=0” .若命题“ pAq”是真命题，则实数a的取值范围是()A. (4, +oo )B. 1,4C. e,4D. ( 8, 1)(2)已知函数 f(x)=x2-2x+ 3, g(x)=log2x+m,对任意的 x1, X2 C 1,4有 f(X1)>g(X2)恒成立, 则实数m的取值范围是 .答案 (1)C(2)( 8, 0)解析(1)由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a>e,由q为真，知x2+4x+a=0 有解，则 A= 16-4a>0, .,.a<4.综上可知 e<a<4.(2)f(x)=x2-2x

16、+ 3=(x- 1)2+2,当 XC 1,4时，f(x)min = f(1) = 2 , g(x)max= g(4) = 2+ m,则 f(x) min>g(x)max ,即 2>2 + m,解得 m<0,故实数m的取值范围是(00, 0).高频小考点1.常用逻辑用语考点分析 均关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等 问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难 度中等以下.解决这类问题应熟练把握各类内在联系.一、命题的真假判断典例 1 (1)已知命题 p： ? XoC R , x0+1<2x0；命题 q

17、：若 mx2mx 1<0 恒成立，则4<m<0, 那么()C. p V q为假命题D. pA q为真命题(2)下列命题中错误的个数为 ()若pV q为真命题，则pAq为真命题；“x>5”是“ x24x 5>0”的充分不必要条件；命题 p： ? XoC R, x2+xo-1<0,则税 p： ? xC R, x2+x- 1 >0;命题“若x2-3x+ 2=0,则x=1或x= 2”的逆否命题为“若 xw 1或xw2,则x2-3x + 2W0” .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4解析 由于 x22x+1 = (x 1)2>0,即x2+ 1>2

18、x,所以p为假命题；对于命题q,当m = 0时，1<0恒成立，所以命题q为假命题.综上可知，税p为真命题， pA q为假命题，pVq为假命题，故选 C.(2)对于，若pVq为真命题，则p, q至少有一个为真，即可能有一个为假，所以 pAq不 一定为真命题，所以错误；对于，由x24x5>0可得x>5或x<1,所以“x>5”是“x2 -4x-5>0”的充分不必要条件， 所以正确；对于，根据特称命题的否定为全称命题， 可 知正确；对于，命题“若x23x+ 2=0,则*= 1或x=2”的逆否命题为 “若xw1且xw2, 则x23x + 2w0”，所以错误，所以错误命

19、题的个数为 2,故选B.答案(1)C (2)B二、求参数的取值范围典例2 (1)已知p： x>k, q： ±<1,如果p是q的充分不必要条件，则实数 k的取值范围 x+1是()A . 2 , + 8 )B . (2, + 8 )C. 1 , + 8)d.(叱1(2)(2016 郑州一模)已知函数f(x) = x + 4, g(x) = 2x+a,若？ x C 己，3, ? x2C2,3使得f(x1)>g(x2),则实数a的取值范围是(A. a< 1B.a> 1D.C. a<0. 332-x解析由xzv1,得二一1=二<0 即(x 2)(x+1

20、)>0,解得x<- 1或x>2,由p是q的充分不必要条件，知 k>2,故选B.(2)/x 2, 3, .f(x)>2 fl = 4,当且仅当 x=2 时，f(x)min=4,当 xC2,3时,g(x)min= 22+a=4+a,依题意 f(x)min> g(x)min, /. a<0,故选 C.答案(1)B(2)C三、利用逻辑推理解决实际问题典例3 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A, B, C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过 C城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为 .(2)对于中国足球

21、参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名.竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第 名.解析 (1)由题意可推断：甲没去过 B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过 A, C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过 A城市，由此可知，乙 去过的城市为A.(2)由题意可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名.答案(1)A (2)一1 .命题p：若sin x&g

22、t;sin y,则x>y;命题q： x2+y2>2xy.下列命题为假命题的是（）A . p V qB. pA qD.C. q 答案 B解析 命题p假，q真，故命题p A q为假命题.2 .下列命题中，真命题是（A. ? xC R, x2>0B. ? x R, 1<sin x<1C. ? xoC R,2 " <0D. ? xo R, tan xo=2答案 D 解析 ？ xC R, x2>0,故A错；？ xC R, 1W sin xW 1 ,故B错；由y=2x的图象可知？ xC R,2x>0,故 C 错，D 正确.3. （2017 西安质检

23、）已知命题 p： ? xoCR, log2（3x0 +1）<0,则（）A. p 是假命题；税 p：?xCR,log2(3x+1)W0B. p 是假命题;Bp：?xCR,log2(3x+1)>0C. p 是真命题；税 p：?xCR,log2(3x+1)W0D. p 是真命题；税 p：?xCR,log2(3x+1)>0 答案 B解析3x>0,3x+ 1>1 ,则 log2(3x+1)>0,，p 是假命题；税 p： ?xCR, log2(3x+1)>0,故选B.4. (2016 河北邯郸收官考试)已知 p： ? xC R, x2-x+1>0, q： ?

24、XoC(0, +oo), sin xo>1 , 则下列命题为真命题的是()A. p V 娥 q)C. pAqD.娥 p）A（税 q）答案 A1 c 3解析 因为x2x+1 = （x 2）2 + 4>0恒成立，所以命题 p是真命题；？xCR, sin XW1,所以命题q是假命题，所以 pV （税q）是真命题，故选 A.5.下列命题中的假命题是()A. ?xCR,2x1>0B. ?xCN*, (x 1)2>0兀LC. ? xo R, lg xo<1D. ? xo R, tan xo + 4 =5答案 B解析 A项，,xCR,，x1CR,由指数函数性质得2x 1>

25、0； B项，-. x N*,，当x= 11 一 1时，(x- 1)2 = 0 与(x1)2>0 矛盾；C 项，当 x0 = 10时，lg =T<1； D 项，当 xCR 时，tan兀x C R, . . ? xo R , tan xo + 4 = 5.6. (2016 唐山检测)已知命题 p： ? xC R, x3<x4；命题 q： ? x°e R, sin x。一 cos xo= 42, 则下列命题中为真命题的是()A. pAqB.娥 p)AqC. p八降q)D.娥p）八微q）答案 B解析若x3<x4,贝U x<0或x>1,，命题p为假命题;若

26、sin x cos x= >/2sin(x 4)=也，则 x j= 3+ 2kTtkCZ),即 x= 74+ 2k TtkC Z),命题q为真命题，(税p) A q为真命题.一17,已知命题“ ？ xoC R,使2x0+（a1）xo + 2wo”是假命题，则实数 a的取值范围是（）A. ( 1)B. (-1,3)C. ( 3, i )D. ( 3,1)答案 B1一1解析 依题意可知？ xC R,2x2+(a-1)x+ 2>o”为真命题，所以A= (a-1)2-4X 2xj<。,即(a+1)(a3)<0,解得1<a<3,故选 B.*8.(2016湖南师大附中月

27、考)函数f(x)=ln x x(a>0),若？ xoCR,使得？ xiC1,2都有a、f(xi)<f(x。)，则实数a的取值范围是()A. (0,1)B. (1,2)C. (2, i)D. (0,1) U (2, i)答案 D解析 由题意可知函数f(x)的定义域为(0, +8),f (x) = ；- ；(a>0),当 xC(0，a)时， x af' (x)>0 , f(x)单调递增;当 xC(a,+8)时，f，(x)<0, f(x)单调递减;故 f(x)max= f(a) , ? x0C R, 使得？ x1C1,2都有f(x1)<f(x。),即f(a

28、)>f(x1)卞:寸? x11,2恒成立,故a?1,2,所以实数a的 取值范围是(0,1) U (2, +8),选D.9.以下四个命题：？ xC R, x2 3x+2>0 恒成立；？ xC Q, x2= 2;？ xC R, x2+1 =0;？ xCR,4x2>2x 1+3x2.其中真命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 4答案 A解析x2- 3x+2>0, A= (-3)2-4X2>0,当 x>2 或 x<1 时，x2 3x+ 2>0 才成立， .为假命题；当且仅当x= 平时，x2=2, .不存在xC Q,使得x2=2, .为假命题；又?

29、 xC R, x2 + 1w0, .为假命题；4x2- (2x- 1 + 3x2) = x2-2x+ 1 = (x-1)2>0,即当 x= 1 时，4x2 = 2x1 + 3x2成立， 为假命题. 均为假命题.10.设xCZ,集合A是奇数集，集合 B是偶数集.若命题p： ? xCA,2xCB,则税p为答案？xoCA,2x0?B解析 命题p： ? xC A,2x B是一个全称命题，其命题的否定应为特称命题.楙 p： ? xoC A,2x0?B.11. (2016北京朝阳区模拟)已知函数f(x)=a2x2a+1.若命题“？ xC (0,1), f(x)w0”是假命题，则实数a的取值范围是 .，一 1答案(, 1)"1, +8)解析函数 f(x) = a2x 2a + 1,命题“？ xC (0,1), f(x)w0”是假命题，.原命题的否定是：“？ x°e (0,1),使f(x0)=0”是真命题，.f(1)f(0)<0,即(a22a+1)(2a+ 1)<0,1 (a-1)2(2a-1)>0,解得 a>2,且 aw 1,1实数a的取值范围是(2, 1)U(1, +8).12.已知命题p： x2+2x 3>0;命题q：:>1,若“(税q)Ap”为真，则x的取值范围是3 x答案(1)3 , +oo) (2)(1, W解析 (