不等式恒成立存在性问题的解题方法

1、不等式恒成立、存在性问题的解题方法一、常见不等式包成立问题解法1、用一次函数的性质对于一次函数f(x) kx b,x m,n有：f (x) 0包成立"m) 0 f (x) 0包成立f(n) 0例1：若不等式2x 1 m(x2 1)对满足2解析：我们可以用变换主元的方法，将m(x2 1) (2x 1) 0,;令 f(m) m(x2 1)f (m) 0f(n) 0m 2的所有m都成立，求x的范围。m看作主变元，即将原不等式化为：(2x 1),则 2 m 2时，f(m) 0恒成2_立，所以只需f( 2) 0即2，1) (1) 0f (2) 02(x1) (2x 1) 0所以X的范围是X (

2、七五12、利用一元二次函数判别式对于一兀二次函数f(x) ax2(1) f(x) 0在x R上包成立(2) f(x) 0在x R上包成立bx a ac 0(a 0,x R)有:0且0；1. f(x) 0解集为空集a 0且0；2. f(x) 0解集为空集a 0且例2:若不等式(m1)x2 (m 1)x 2 0的解集是R,求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m，所以要讨论m-1是否是00(1)当m-1=0时，元不等式化为2>0包成立，满足题意；(2) m 1 0时，只需 m 1 0 ,所以，m 1,9)。(m 1)2 8(m 1) 03、

3、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变换使参数与主元分别位于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰,操作性更强。一般地有:1) f(x) g(a)(a为参数)恒成立g(a) f (X)max2) f (x) g(a)(a为参数)恒成立g(a) f (X)max例3已知不等式x2 2x a 0在x 1,)时何成立，求a的取值范围解：x2 2x a。在x1,)时恒成立，只要ax2 2x在x 1,)时恒成立而易求得二次函数h(x) x22x在1,)上的最大值为3,所以a 3。例4.已知函数f(x) ax V4x x2, x (0,4时f(

4、x) 0恒成立，求实数a的取值范围解：将问题转化为a %4x x对x (0,4恒成立。 x令 g(x)"x x ,则 ag(x)minx,4x x24由g(x) 1- 1可知g(x)在(0,4上为减函数，故g(x)min g(4) 0xx.a 0即a的取值范围为(,0)注：分离参数后，思路清晰，方向明确，从而能使问题得到顺利解决。4、变换主元法处理含参不等式包成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位” 思考，往往会使问题降次、简化。例5 .对任意a 1,1,不等式x2 (a 4)x 4 2a 0包成立，求x的取值范围。分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若

5、把a看成主元，则问题可转化为一次不等式(x 2)a x2 4x 4 0在a 1,1上包成立的问题。解：令f (a) (x 2)a x2 4x 4 ,则原问题转化为f (a) 0恒成立(a 1,1)。当x 2时，可得f(a) 0,不合题意。当x 2时，应有f(1) 0解之得x 1或x 3。f( 1) 0故 x 的取值范围为 (,1) (3,)练习：1已知f(x) x2 ax 3 a ，若 x 2,2, f(x) 0恒成立，求a 的取值范围 .2 ,对于不等式(1-m)x 2+(m-1)x+3>0当| x |02,上式恒成立，求实数 m的取值范围；(2)当| m |02,上式恒成立，求实数x

6、的取值范围.3。若不等式ax2-2x+2>0对xC (1,4)恒成立，求实数a的取值范围。二、存在性问题存在 x D,使得函数 f(x)>a f(x) max>a存在 x C D,使得函数 f(x) < a f(x) min<a例6:已知函数f(x)=x 2-ax+a,若存在x -1,2使得f(x)>0,试求实数a的取值范围解：法一：f(1)=1>0 ,所以对 aCR,均存在 xC-1,2使得 f(x)>0.法二:原题同解于：当 x -1,2时，f(x) max> 0,即：f(-1)>0 或 f(2)>0代入可得：1+2a>

7、;0 或4 a>0得 a>或 a<4 a R练习：1。已知f(x) 2x2 2ax 3 ，若存在 x 1,2,使得 f x 0成立，求 a 的取值范围 .2. 存在xCR,使得不等式x2 2x a成立，则a的取伯范围是.三、有解问题不等式f(x)>a, x D有解(解集非空) f(x) ma>a不等式f(x)<a, x CD解集为空集f(x) min呈a方程f(x)=a, x D有解(解集非空) a f(x)|x D即x D时f (x)的值域。例7:方程x2- 2 x+2 a= 0在区间(0,3)内有解，则实数a的取值范围是<解：原题同解于：a = x2-2x+