【精品解析】2016年中考数学考点总动员系列+专题06+分式及分式方程

1、专题06分式及分式方程聚焦考点温习理解、分式1、分式的概念般地，用 A B表示两个整式，A+ B就可以表示成 公的形式，如果 B中含有字母,BA 式子C就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理B2、分式的性质(1)分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变。(2)分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。3、分式的运算法则acac acadadbdbd' bdbcbc'n(a)n三(n为整数)；b ba b a b一 ；c c ca c ad bcb d bd、分式

2、方程1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是:(1)去分母，方程两边都乘以最简公分母(2)解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。名师点睛典例分类考点典例一、分式的值【例1】（2015 黑龙江绥化）若代数式 -一56的值等于0 ,则x=.2x 6【答案】x=2【解析】试题分析：

3、当时J代数式的值等于3解得:护2x-6 H 02H-6考点：分式的值等于 0.【点睛】分式 -一5x6的值为零则有x2-5x+6为0分母2x-6不为0,从而即可求出x的 2x 6值.【举一反三】1.要使分式 有意义，则x的取值应满足（）x 2A. x 2 B. x 1 C. x 2 D. x 1【答案】A.【分析】根据分式分母不为0的条件，要使 U 在实数范围内有意义，必须 x 2x 2 0 x 2.故选A.x2 12. （2015 湖南常德）若分式 -一1的值为0,则乂 =t解析】西析“魏题意可知这是分式方程，- =0,然后根据分式方程的解法分解因式后约分可褥立T=6 Jt+l解之得卡，经检

4、核可知所1是分式方程的解.答案为L考点：分式方程的解法 考点典例二、分式的化简2【例2】化简：_x_ _x_=()x 1 x 1xA 0 B 、1 C 、x D 、x 1【答案】C.【解析】x2 x x x 1x 1 x 1故选C.【点睛】观察所给式子,能够发现是同分母的分式减法。利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果.【举一反三】a2b ab21 .化简结果正确的是【b aA. ab B. ab C.a2 b2d.b2 a2【答案】B.22a b abab b a【斛析】 ab,故选B.b a b a.41一2.右( ) w 1 ,贝U w=()a 4 2 aA. a 2(a2)B. a

5、2(a 2)C. a 2(a 2)D.a 2(a2)【答案】D.，一4【分析】a4 2aa 22 aa 2 a 2 a 2 a 21. w= a 2(a2).故选D.3.计算:【答案】1 aa 1 a2 1 1a2 1.【解析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果.试题解析：原式=一a1一(a 1)(a 1)a(a 1)(a 1)=1(a 1)(a 1)1=k考点典例三、分式方程.,、一一 x 1 ，一一【例3】(2015自贡)方程 -一1 0的解是()x 1A. 1或 T B . - 1 C . 0 D .1【答案】D.【解析】试题分析：去分母得；/ -1 = 0 ,即/ =1

6、 ,解得一二1或泸-1,经检验册7是增根，分式方程的解为 1=1.故选D.考点：解分式方程.【点睛】先去掉分母，观察可得最简公分母是x+1 ,方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解。【举一反三】1 31. (2015攀枝花)分式方程 上 的根为.x 1 x 1【答案】2.【解析】x 1 3x 3 ,解得：x=2,经检验x=2是分式方程的解.故答案为试题分析：去分母得：:2.考点：解分式方程.32. （2015绵阳）（8分）解方程：2x 2【解析】试题分析：去分母得:3=2 x+2 - 2,解得:33,经检验x 是分式方程的解.22考点：解分

7、式方程.考点典例四、分式方程的应用【例5】（2015遂宁）遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了 9万千克，种植亩数减少了 20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5 x万千克，根据题意列方程为（）A.D.36 36 920x 1.5x36 36 9 ”20x 1.5xB.3636x 1.5x20C.36 9 361.5x x20【解析】试题分析：设原计划每亩平均产量考点：由实际问题抽象出分式方程.x万千克，

8、由题意得:36 36 9x 1.5x20,故选A.【点睛】方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解【举一反三】1.甲乙两地相距420千米，新修的高速公路开通后，在甲、乙两地行驶的长途客运车平均速度是原来的1.5倍，进而从甲地到乙地的时间缩短了2小时.设原来的平均速度为 x千米/时，可列方程为（）八 420 420A. x 1.5xB 420 4202x 1.5xx 1.5xC.-420 4202D.4201.5x420【答案】B.【解析】设原来的平均速度为x千米/时,420 4202.由题意得,x 1.5x故选B.2.甲、乙两地之间的高速公路全长200千米，比原来国道的长度减

9、少了20千米.高速公路通车后，某长途汽车的行驶速度提高了45千米/时，从甲地到乙地的行驶时间缩短了一半.设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为x千米/时，根据题意，下列方程正确的是（）200220 1x 45 x 2200220 1x x 45 2200180 1x 45 x 2200180 1x x 45 2B.【解析】试题分析：设该长途汽车在原来国道上行驶的速度为x千米/时，根据题意得200220 1x 45 x 2故选B.课时作业能力提升一.选择题1. （2015 黑龙江省黑河市、齐齐哈尔市、大兴安岭）关于x的分式方程 5 a 有解x x 2,则字母a的取值范围是（）A. a=5或a=0

10、B . aw。 C . aw5 D . aw5且aw。【答案】D.【解析1试题分析：- G ?去分母得：52 ）去括号得：Bjt- 10= ar；移项合并肆"员得=（5-总，X-2卡LQj 丫关于工的分式方程2 =有解j-冉且即#5尸系数化为1得：工=1-.x x-15-a,土-=0且工-工 即"5,由孙5-a5一口综上所逑：关于X的分式方程二=二一有解，则字母的职值范围是#5,故选D,工 上一 2考点：分式方程的解.2. （2015 辽宁营口）若关于x的分式方程 2- 工 2有增根，则m的值是（）.A . m 1 B . m 0 C .m3 D .m0 或 m=3【答案】

11、A.【解析】试题分析：题中说此分式方程有增根，说明去分母后化成的整式方程的解是3,所以先把原分式方程化成整式方程，再把3代入，求m值；原分式方程去分母化为整式方程得：2-(x+m)=2(x-3),将 x=3 代入得：m=-1,故选 A.考点：1.解分式方程；2.增根的意义.2 3x3. (2015 湖南常德)分式方程1的解为：()x 2 2 xA 1B 2C 1D 03【答案】A【解析】试题分析：根据分式方程白解法：去分母，得 2-3x=x-2 ,移项后解得x=1,检验x=1是原分式方程的根.答案为A考点：分式方程的解法4. (2015 山东济宁)解分式方程 2+辽2 = 3时，去分母后变形正

12、确的为()x-1 1 - xA. 2+ (x+2) =3 (x-1) B , 2-x+2=3 (x-1 )C. 2- (x+2) =3 D , 2- (x+2) =3 (x-1 )【答案】D【解析】试题分析；根据分式方程的特点,厚方程化为；=7-当=3,去分早上酉边同乘以耳L得: X1 X12 - (x+2) = 3(x-1).故选D考点：分式方程的去分母二.填空题5. (2015 湖北衡阳，16题，3分)方程1 2 的解为.x x 2【解析】试题分析： 此题考查解分式方程，首先去分母将分式方程转化为整式方程：原方程两边同时乘以x(x-2),得x-2=3x,移项得，x 3x=2,合并同类项得，

13、-2x=2,系数化为1,得x= - 1,检验：当x=- 1时，x(x-2)W0,所以x=-1是原方程的根.注意解分式方程必须要检验根的合理性.考点：解分式方程6. (2015 湖北襄阳，14题)分式方程 二2一10 =0的解是x- 5 x - 10x+ 25【答案】x 15.【解析】试题分析：去分母得：x 5 10 0,解得：x 15,经检验x 15是分式方程的解.故答案为：x 15.考点：解分式方程.,、一 127. 分式方程0的解是.x 1 x 1【答案】x= -3【解析1试题分析；因为*(ml)所以可确定最简公分揖然后方程两边同乘最简公分揖 将分式方程转化为整式方程求解即可，注意检脸.试

14、股解析：方程两边同乘G+D G-D,得克-1-2=0,解得,经楂睑广3是分式方程的根.考点：解分式方程.8.若分式方程 m-=2有增根，则这个增根是 .x 11 x【答案】x=1.【解析】4试题分析：因为分式方程有增根，所以 X-1=0,即x=1,故方程的增根为 x=1.故答案是x=1.考点：分式方程的增根.9.（山东威海，第16题，4分）分式方程- £的解为x- 3 3- k【答案】x=4【解析】试题分析：解分式方程，应先去分母，将分式方程转化为整式方程求解.另外，由于本题是选择题，除了上面的解法外，还可以将四个选择支中的数分别代入验证.得以求解.本题作为解答题时，易漏掉验根过程.

15、在方程两边同乘以（x3）,解得x=4.检验：当x=4时，（x3）0.所以，原方程的解是x=4考点：分式方程的解法.三、解答题10.计算:a2 1a2 2aa 1a-2试题分析：利用除法法则变形，约分即可得到结果:a2 1 a 1 a 1 a 1 a a 12a 2a a a a 2 a 1 a 2考点：分式的乘除法.11.先化简，再求值:a2 2a 1，其中 a2 a 2 0.【解析】试题分析：先把原分式遇亍化简，再求的解，代人求值即可.试题解析:解a -”2 = 0得叫f %二原式,a.i fa-lf a-1a(a-l) (a-if a(a-l) a(a+l|.,当27时，厢士考点：1.分式

16、的化简求值；2.因式分解法解7L二次方程；3.分式有意义的条件.12.先化简，再求值:2x2 9 x 3-2 Z -7x 8x 16 x 4x-，其中 x J7 4 .x 4【答案】3,7.7【解析】试题分析:原式第一项利用除法法则变形,约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，将x的值代入进行二次根式化简即可求出值.x2 9x2 8x 16当x 77 4时，原式=考点：1.分式的化简求值；2.二次根式化简.13.先化简,再求值:2x2 1-2 x x2x一1，其中 xJ2 1x【解析】试题分析关将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简，然后代式的值，进行二次粮式化简.试题解析:x

17、2-l Jx + x- +1 M +1）仇+ 1）兀+1当天=67时，原式=一一=3V2-141 W考点：1.分式的化简求值；2.二次根式化简.14.(2015 山东枣庄，第 19题，8分)(本题满分8分)先化简，再求值:x2 2x 4 2x2 4x 4,4-一4 ,其中 x 满足 x2 4x+3=0【解析】试题分析：本题考查分式的化简，针对本题,应先从运算顺序上入手， 即先计算括号里的分式减法，再将除法转化为乘法，最后约分化简。解二次方程得出答案后，要考虑是否取值使分式有意义.、#日百初矫 盾t X2- 2z+4+ t2 - k) (x - 1). (k+2)试题解析：原式: -L 11 -

18、 X=工：？ 一 一；5(x+2 ) 2|_ 1=,x+2解方程X 2 4x+3=0导，(x - 1) (x-3) =0,x1=1, x 2=3.当x=1时，原式无意义；当x=3时，原式=，_，r= _ 士 .312 5考点：分式的混合运算；因式分解；一元二次方程的解法.求代数式的求值.T血衫，甲15. (2015 山东泰安，第25题)(8分)某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚种款型共用了 7800元，乙种款型共用了 6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍,甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少 30元.（1）甲、乙两种款型的 T血衫各购进多少件？（2）商店进价提高60麻价销售，

19、销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？【答案】（1）甲种款型的 T血衫购进60件，乙种款型的 T血衫购进40件；（2） 5960元.【解析】试题分析：（0可设质蟒型的7恤衫购进工件，则甲种款型的恤衫购进15#件，根据题意列出方程求 解即可j（2）先求出甲款型的利涧,乙款型前面销售一半的利涧，后面销售一半的亏损，再相力用口可求解，试题解析：C）役Z种款型的工恤褂购进X件，则甲种款型的恤衫购进1.5A件，依题意有：至少卜式=史£2,解得户4g经检监,后也是原方程组的解，目符含题意,L米 =的.

20、15，¥答：甲种款型的恤衫购进60件j乙种款型的丁恤衫购进加件j（2）16。一 30三 130（元），xU0XCOWX60+10OX（5（nK（40-i-2）- 16OX 1- （ 1+WW）X0,?x （ 4。十2）:46B计1920 - M卜汨和元），答：售完这批F恤衫商店共获利5960元.考点：分式方程的应用.16. （2015 山东济南，第24题,8分）（8分）济南与北京两地相距480km,乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前 4h到达，已知高铁列车的平均行驶速度是普通快车的3倍，求高铁列车的平均行驶速度.【答案】240km/时.【解析】试题分析：设普通快车的速度为*皿/时，贝席铁列车的平均行驶速度是3麻k/Wj根据等量关系：乘坐音通快车所知寸间-乘坐高铁列车所用时间=如，列出方程解答即可.试题解析：解：设普通快车的速度为友上皿锄上由题意得：4£0 420 （-二45x 3%解得；x=SOi经检蛉:280是原分式方程的解，乂 22240,答：高铁列车的平均行驶速度是240km川九考点：分式方程的应用.17. （2015 辽宁大连）甲乙两人制作某种机械零件.已知甲每小时比乙多做 3个，甲做96个所用时间与乙做 84个所用时间相等，求甲乙两人每小时各做多少个零件？【答案】24和21个【解析】试题分析：设乙每小时做 x个零件，则甲每小时做（