第七章线性差分方程模型的辨识

1、第七章线性差分方程模型的辨识根据对过程的初步分析，可以是先提出一个结构已定的参数模型来描述过程 的动态特性，而模型中有一些参数需要通过辨识来加以确定，像这样的辨识问题 称为参数估计问题，最小二乘法是很常用的估计方法。线性差分方程模型的最小二乘估计首先讨论一种较简单的情况，即无噪声或噪声较小的情况，这样可以应用一 般最小二乘估计模型参数，但是对于噪声较大的情况，采用一般最小二乘法估计 通常是有偏差的，需要应用更加复杂的算法，如广义最小二乘法。辨识问题的提法设被辨识的动态系统，可用如下n阶常系数线性差分方程描述：y(k) + ay(Jc 1) + - any(k n) = bju(k) + biu

2、(k 1)卜 bnu(k n)系统方程也写成如下算子形式：A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k),其中，= 14- fliQ-1 + a2q2 + + 如厂"， B(q_1) = 14- bq_1 + 厂？ HF bqn,辨识问题的提法，已知：(1) 由方程描述的系统都是稳定的。(2) 系统的阶是n阶。(3) 输入输出观测数据u (k) ,y(k)(k“,2,.,N+n), 要求根据上述己知条件来估计差分方程的参数：a】, b(i = 1,2, N + n),参数最小二乘估计的慕本思根是，选择bx(i = 1,2, .N + n),使得系统方程尽可能好的与观测数据拟合，考虑到

3、模型误差测最误差，模型方程 改为：A(q")y(k) = B(q_1)u(k) + e(k),其中，e(約称为模型残差，乂称方程误差。现在的问题就是决定A(q"), B(g")的系数，是e2最小最小二乘估计将下式A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k) + e(k改成以下形式广义最小二乘估计-般最小二乘法简称LS法，广义最下二乘法简称GLSGLS的基本思想是，将相关残差啲用白噪声屮)，经过传递函数右的滤波器的滤波输出來表示，即伙)e(k)=其中,C(7_1)= 1 + Cig" + c2q2 + + cpqp cg.p)为常数,p表示残差模型的阶,

4、c,和p事先是未知的: G (k)为白噪声序列根据方程的误差定义A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k) + e(k),可得：A(q_1)y(k) 一 B(q_1)u(k) =C(q 丄)进而，AS")C(qT)y(k) 一 B(qT)C(qT)u(k) =G (k)由丁花(幻为白噪声，所以系统参数和噪声参数可以通过以上方程而得到无偏估 计，为此定义谋差函数：丿=2刁A(qT)C(q7)y(k) - B(q")C(qT)u(k)2现在的问题是，选择参数使得误差函数J的值为最小，由于参数a,b,c在上述 方程中的关系不是线性的，所以不能用一般的LS法求解。要采用GLS法求解。 GLS法的算法流程图如下图：输入 u(k)ty(k)令G=0,计算&产生e(k),计算C产生u(k),y (k), if结束对GLS法，当误差函数存在多个局部最小值时，B可能收敛到J的局部最小值而不 是全局最小值，另外由于GLS法是一种迭代算法，一般都需耍反复计算几次才能 获得结果，因此计算时间较长，所以有必要开发计算时间较短的新算法來解决这 一问题。多级最小二乘估计多级最小二乘估计简称MSLS法，他是解决具有相关残差系统辨识的另一种 有效方法，MSLS的主要特