第八章多属性效用理论

1、第八章多属性效用理论(Multi-attribute Utility Theory)主要参考文献:92, 68, 86, 118, 1298.1优先序一、二元关系1. 无差异(Indifferent to)2. (严格)优于(Strict preferenee to)3不劣于(preferenee of indifferenee to)可以用定义,:AB A B且B AAB AB且非B A因此，在任何 决策问题中,是偏好结构的基础,有必要假设关系的存在。至于 是否确定实存在，则取决于能否以直接或间接的方式找到构造的途径。在单目标问题，有时存在可测属性(或代用属性)如成本、收益来衡量偏好，这时决

2、策问题简化为各方案属性的比较和排序。但在一般场合，需要用效用(价值)函数来度量偏好，在多目标决策问题中，即使各目标 的属性值或效用已知，偏好次序仍不明确，还需作进一步研究。二、二元关系的种类(用R表示二元关系)传递性，若 xRy, yRz则xRz自反性 reflectivity: xRx非自反性：(Irreflexivity)非 xRx对称性(Symmetry)若 zRy,则 yRx非对称性(asymmetry)若xRy，则非yRx反对称性(anti-symmetry)若xRy且yRx则必有x = y连通性(conneetivity) completeness. Comparability对

3、x, y X xRy 或 /和 yRx任何次序关系必须满足传递性 .传递性看似合理，实则不然，例如，20.00020.00120.001 20.00299.999100,但是 20工 100连通性在仔细验证前也不能假设其成立，因为存在不可比方案；但是,若将不可比归入无差异类，连通性就可成立 .连通性二传递性 完全序8.2多属性价值函数一、价值函数的存在性定理8.3X Rn ,是X上的弱序，且 x,y X 若 x y x y； * * * x,y,zX 若 x y z贝U必存在唯一的 Ov入v 1使y入x+(l-入)z； * * * * *则存在定义在X上的实值函数v，满足 x y ：= v(x

4、) v(y)* * * x 、y ：= v(x) = v( y)* * Note: 1.条件为单调性(Monotonicity),即支配性(dominance):只要某一属性值增加偏好也增加.2. 条件为偏好空间的连续性(continuity),即阿基未德性(Archimedean).3. v(X)=f( VjxJ,，Vn(Xn) f的形式通常十分复杂，即使Vj ( Xj )为线性v的形式仍十分复杂.例：X! , x2的价值函数为线性，即：vkix!v2=k2 x2且 k2=1.5kl,但是 v(x)工 V!(X!)+V2(X2)因此，价值函数的设定相当困难.二、加性价值函数1. 定义：n若v

5、( y)= 7 Vi(yi)，则称价值函数 V( y)是加性的i =12. 加性价值函数的存在条件定理 8.6(P133) (n 3) 定义在丫 rn上的价值函数v(y)=v( yi/ ,yn)对任何 yy” y , y y ”肝v(y 第v(y ”则属性集满足互相偏好独立条件时当且仅当存在定义在Y i , i=1,n上的实值函数v i使y y ”= Vl(yi )+ + Vn ( yn ) V1 ( yi )+ + Vn(yn)3. 互相偏好独立的定义：属性集Q称为互相偏好独立，若Q的每个非定正常子集E偏好独立于其补集 3 (Q = U心)4属性集Q的子集E偏好独立于其补集 3的定义(P13

6、0定义8.2)当且仅当：对特定的y_Y_若(%,_)( y口”，y)则对所有 y_Y_必有00 O QO 0(y； y(y广” y称属性集q的子集偏好独立于其补集心.u o百5. 两个属性的加性定理及偏好独立(定义8.4，定理8.4)消去条件 对-x-yaiWYj x2,y2,a2 三丫2 有(x-aj (ay2),(a! ,X2) (yza?)则必有(x-x?) (yi, y2).Thomson 条件三、其他简单形式1. 拟加性：nn nn n nv(y)八 30+二二 kjVj(yi)Vj(yj) +二二二 血比(已厲血5)* i 1i4jii =1 j i k j+ + k12n V1(

7、 yj Vn(yn) 条件 Y i=1,2,n弱差独立于其补集 丫_(详见p135,定义8.7)i2. 乘性(pp136-137)若属性集Q的每个非室子集弱差独立于其补集C-),则nn nn n nv(y)= kivi(yi)+k 二-kikjVdyJVj (yj) + k2 二二二 kj (% )Vj (yjM (yQi 妊i =1 j iid j i k ,j+ + 严仆2kn V1(yj Vn(yn)8.3多属性效用函数一、二个属性的效用函数后果空间X XY，后果(x,y)，设决策人在X XY上的偏好满足公理(1)(6)，则可用形如V(x,y)= VX(x)+ VY (x)的加性效用函数

8、表示后果空间上的偏好(确定性条件下)设决策人关于X XY空间及P上的抽奖的偏好为u(x,y)则u(x,y)和V(x,y)代表了 X XY上相同的偏好，u(x,y)= $ (V(x,y).其中$ ()是保序变换决策人的行为符合理性行为公理时，形如的抽奖n可以用期望效用Eu(x,y)= PiU(Xi,y来衡量其优劣.i =!二、效用独立(Utility Independenee)1. 例：l1 :12 :13 :14 :若效用独立，则l1 l2= l3 l42. 定义：若二个抽奖有公共的固定的Y的值而X中的值不同，决策人对它们的偏好与Y的取值无关，则称X是效用独立于 Y。效用独立又称风险独立(若X

9、效用独立于Y则决策人对抽奖的X上的风险态度与 Y无关).更一般的定义见P147,定义8.103效用独立蕴含偏好独立(X, ： ) (X ：,)对某个 a二 1w(X, p)(X，目4引理：X是效用独立于 Y的，当且仅当，对固定的yu(X,y)= : (y) u(X, y) + -(y)-(x,y) X Y其中a (y)0, a (y), 3 (y)的确定与y有关。同理，Y是效用独立于 X的，当且仅当对固定的Xou(X,y)=(y) u( Xo, y) +、(y)-(x,y) X Y其中(x)0, (x), S (x)的确定与Xo有关。5. X、Y相互效用独立定理：X和Y是相互效用独立的，则：若

10、选(Xo,y)使u(Xo,y)=o必有 u(x,y)= u(x, yo)+ u(Xo,y)+k u(x,Yo)u(xo,y)即X Y相互效用独立且u(Xo , yo)=o时，u(x,y)具拟加性.6. 加性条件：在上述假设下，再附加：对某个x1 ,x2 :二x, y1, y= Y, -且(花，丫0)兀(X2,y), (X0, 丫2)兀(x。贝V u(x,y)= u(x,y)+ u( x ,y)7. 加性独立也可以用另一种方式来表示：属性X、Y是加性独立的，若对所有x,x : X, y,y： Y0.5,(x, y); 0.5,( x、: )； 0.5,( x : ,y)8. 定理设u(x,y)是X Y上的效用函数，且X、Y是加性独立的，则若选(x0,y0)使u(x0, y0)=0