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1、河海大学理学院高等数学河海大学理学院高等数学第七章 常微分方程 高等数学上）高等数学上）河海大学理学院高等数学第二节 一阶微分方程一、可分离变量的微分方程二、齐次方程三、一阶线性微分方程河海大学理学院高等数学一、可分离变量的一阶微分方程dxxfdyyg)()( 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程. .5422yxdxdy 例例如如,2254dxxdyy 解法解法设函数设函数)(yg和和)(xf是连续的是连续的, dxxfdyyg)()(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(为微分方程的通解为微分方程的通解.分离变量法分离

2、变量法)()(yxfdxdy yyg 1)(: 设设河海大学理学院高等数学例例1 1 求解微分方程求解微分方程.12的通解xxydxdy解解分离变量分离变量,12dxxxydy两端积分两端积分,12dxxxydy12)1ln(21lnCxy.12为所求通解xCy二、典型例题河海大学理学院高等数学例例 求解微分方程求解微分方程.22的的通通解解xydxdy 解解设设 分离变量分离变量,22xdxydy 两端积分两端积分,22 xdxydyCxy 21.12为为所所求求通通解解Cxy 0: y首首先先.是是解解0 y.,0:可可见见通通解解不不是是所所有有解解也也是是解解注注 y河海大学理学院高等

3、数学二、齐次方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为齐次方程的微分方程称为齐次方程. .2.解法解法,xyu 作变量代换作变量代换,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义河海大学理学院高等数学例例 1 1 求解微分方求解微分方程程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，则则udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu 微分方程的解为微分方程的解为解解,xuy 即即,lnsinCxu .lnsinCxxy 河海大学理学院高等数学yxyxeyxedydx21)1(2,yxu 令,dyduyudydxuyx则例例2 2 求解微分方程求解微分方程解解0)1(2)21( dyyxedxeyxyx河海大学理学院高等数学ueuCy2lnlnln.2Cxyeyx,221dueueydyuu河海大学理学院高等数学利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解.)(62的通解求例yxdxdy解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21udxdu ,arcta

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