选修2-1第三章-空间向量与立体几何全章教案

1、§3.1 空间向量及其运算§3.1.1 空间向量及其加减运算【学情分析】：向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等 方面也有着广泛的应用。在人数A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意 与平而向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。【教学目标】：（1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法（2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问 题，培养学生的开

2、拓创新能力。【教学重点】：空间向量的概念和加减运算【教学难点】：空间向量的应用【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一.情景引入（1）一块均匀的正三角形的钢板所受重力为500N,在它的顶点处分别受力F1，F）, F3,每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60",且| F INF? | =仟3 |=200N,这块钢板在 这些力的作用下将会怎样运动？这三个力至少多大时，才能提起 这块钢板？（2）八抬大轿中每个轿夫对轿子的支持力具有怎样的特 点？从实际生活的例子 出发，使学生对不共而的 向量有一个更深刻的认 识。说明不同在一个平面 内的向量

3、是随处可见的。二.新旧知 识比较让我们将以前学过的向量的概念和运算回顾一下，看它们是 只限于平而上呢？还是本来就适用于空间中。请学生自行阅读空间向量的相关概念：空间向量定义、模长、 零向量、单位向量、相反向量、相等向量。请学生比较与平而向量的异同。向量概念的关键词是大小和方向，所以它应既适用于平而上 的向量，也适合于空间中的向量，二者的区别仅仅在于：在空间 中比平而上有更多的不同的方向。因此平而几何中的向量概念和 知识就可以迁移到空间图形中。（1）空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同 一平而内的两个向量。如图，对于空间任何两个向量可以从空间任意一点0出发作OA = a,OB = b

4、 ,即用同一平面内的两条有向线段来表示H通过比较，既复习了平面 向量的基本概念，又加强 了对空间向量的认识，注 重类比学习，提高学生举 一反三的能力。B三.类比推 广、探求新 知（2）在平而图形中向量加减法的可以通过三角形和平行四 边形法则，同样对于空间任意两个向量a,b都看作同一平面内的 向量，它们的加法、减法当然都可以按照平面上的向量的加法和 减法来进行，不需要补充任何新的知识，具体做法如下：）如图，可以从空间任意一点o出发作并 且从a出发作元=3,则= 5己,73 =丽.BC探索1:空间三个以上的非零向量能否平移至一个明而上？探索2：多个向量的加法能否由两个向量的加法推广？（1） 思考选

5、2-1课本P92探究题归纳：向量加（减）法满足交换律和结合律。例1：已知平行六面体ABCD-A】B】C1D,化简下列向量表达式，并 标出化简结果的向量。（如图）/bl71竺+5_代/（2）AB + AD + AA/ / /F F ab让学生知道，数学中 研究的向量是自由向量， 与向量的起点无关，这是 数学中向量与物理中矢 量的最大区别。空间三个或更多的 向量相加，不能同时将这 些向量都用同一个平而 上的有限线段来表示，但 仍然可以用将它们依次 用首尾相接的有向线段 来表示，得到它们的和。 比如：三个向量的和AB + BC + CD = AD , 一般地，空间中多个依次 用首尾相接的有向线段 相

6、加的结果等于起点和 终点相连的有向线段。我 们常常把向量的这种性 质AB + BC + CD = AD简称为“封口向量”。四.练习巩固1.课本P92练习P-3巩固知识，注意区别加减 法的不同处.2.如图，在三棱柱ABC-A4G中，M是的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1) CB + BA1；(2) AC+CB + X;(3) AA.-AC-CB卜、解:而+就=e(2)/+5 +羽二病人Jb>c(3) AA-AC-CB = B五.拓展与 提高(1) 知空间四边形A8C。，连结AC,80,设M,G分别是8CCQ的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：(2) AB +

7、BD + GC,(3) . CM +DG-GAT/加深对相等向量和加减 法的理解六.小结1 .空间向量的概念：2 .空间向量的加减运算反思归纳七.作业课本P106习题3.1, A组 第1题(1)、(2)练习与测试：(基础题)1 .举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。2 .说明数字。与空间向量。的区别与联系。答：空间向量。有方向，而数字。没有方向：空间向量0的长度为0。3 .三个向量a,b,c互相平行，标出a+b+c.'解：分同向与反向讨论(略，4 .如图，在三棱柱ABC-A4a中，M是胡I的中点,化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1) CB +BA'(2) AC

8、 + CB + iZ;(3) AAAC-CB解：(1) CB + BACAI . I .“(2) AC+CB + -AA. =AM21(3)通-林一方=丽；(中等题)试用向量;J1表示无和赤解:5 .如图，在长方体加汨一C4'£>® 中，3=3砺= 4,3 =2元，点E,F分别是。仇。力的中点,6 .在上题图中，试用向量；，工表示丽和直解：EF=dF-OE = 2k9FE=-EF =-2k§ 3.1. 2空间向量的数乘运算【学情分析】：本节，空间向量的数乘运算共有4个知识点：空间向量的数乘、共线向量或平行向量、方向向量与共 而向量、空间向量的分解定理

9、.这一节是全章的重点，有了第一节空间向量加减法的基础，我们就很容易把 平而向量及其运算推广到空间向量.由于本教材学习空间向量的主要目的是，解决一些立体几何问题，所以 例习题的编排也主要是立体几何问题,当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的 两个最基本的子空间：共线向量和共面向量.把平行向量基本定理和平而向量基本定理推广到空间.然后由 这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式.有了这两个表达式，我们就可以很方便地使用向量工具解决 空间的共线和共面问题.【教学目标】：（1）知识与技能：掌握空间向量的数乘运算.（2）过程与方法：进行类比学习，会用空间向量的运算意义和运算律解决立几

10、问题.（3）情感态度与价值观：会用平面的向量表达式解决共面问题【教学重点】：空间向量的数乘运算及运算律.【教学难点】：用向量解决立几问题.【课前准备】；Powerpoim课件【教学过程设计】：教学环 节教学活动设计意图1、空间向量的数乘运算人",其模长是Z的I % 倍(1)当4>0时，与同向(2)当4Vo时,一a与。反向2、空间向量的数乘分配律和结合律< 1)分配律：A(a + b) = Aa + Ab以数乘向量及其运算律为突破口，与 平面向量进行比较学习，为下而引出 共面向量作铺垫。(2)结合律：= (2)温3、共线向量或平形向量故知新类似于平面向量共线，对空间任意两个

11、向量工及Z的充要条件是存在实数4，使a = Ab1、方向向量如果/为经过已知点A且 平行于已知非零向量不的 直线，对于任意一点O, 点P在直线/上的充要条 件是存在实数t满足等式方=而+ f.其中向量不叫做直线/的方向向量.在/上取版=3,则上式可化为5万=5彳+/血证明：对于空间内任意一点o, A, 8,尸三点共线<=>于£凡使而=/而OOP-OA =rAB<=>OP = OA+rAB由此可见，可以利用向量之间的关系判断空间任 意三点共线，这与利用平面向量判断平而内三点共线 是一样的。回顾平面向量的基本定理：共而向量定理 如果两个向量石不共线，那么向量5与向

12、量共而的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得 = xa + yB,这就是说，向量可以由二新课讲授不共线的两个向量L线性表示。由此可以得到空间向量共面的证明方法2、空间平面ABC 的向量表示式 空间一点P位于 平而ABC内的充 要条件是存在有 序实数对x, y使 得：AP = xAB + yAC ,或对空间任意一点O有:OP = OA + xAB + yAC 6推论：已知空间任意一点0和不共线的三点A, B, C,则点P与点A, B, C共面的充要条件是OP = xOA + yOB + 衣(其中X +)，+ Z = 1)证明：OP = xOA + yOB+zVC (x+y + z = )&l

13、t;OP = (-y-z)dA + ybB + zVC< = -y-zVA + yOB + zOCOOP = OA + y(OB - OA) + z(OC - OA)方向向量的引入是为了更好的说明三 点共线的向量充要条件,作为特色班, 可以根据实际情况补充证明过程。回顾平面向量的基本定理可以发现， 平面中的基底理论成了空间向量关系 的一种特殊情况一一共而的证明方 法，这正是由特殊到一般，由简单到 复杂的一种推广，对今后理解空间向 量的基底理论也是有一定相射作用 的。.<>OP-OA=yAB+zACOAP=yAB+zACU> P与点A, B, C共而本探究可以在老师的启发

14、下，给学生 自己证明，不同层次可以酌情考虑是 否证明。三.典 例讲练例L 一直平行四边形ABCD,过平面AC外一点0 做射线OA, OB, OC, OD,在四条射线上分别取点 山3 OF OG OH ;E, F, G, H,且使=k ,OA OB OC OD求证：E, F, G, H四点共面分析：欲证E, F, G, H四点共面，只需证明EH ,EF ,宙共面。下面我们利用高，AB,急共而来证 明。证明：因为竺=竺=丝="=攵，所以 OA OB OC ODOE = kOA, OF =kOB , OG = kOC ,OH = kOD ,由于四边形ABCD是平行四边形，所以AC = AB

15、 + ADt 因此，EG = OG-OE=kOC-kOA = kAC = k(AB+ AD)= k(-CM + OD-OA) = OF-OE + OH-OE= EF + EH由向量共面的充要条件知E, F, G, H四点共面 进一步：请学生思考如何证明：面AC而EG.四.练 习巩固1、如图，已知空间四边形ABCD,连结 AC, BD, E, F 分/别是BC, CD的中点，化简下，列各表达式，并标出化简结 / / _果的向量。bX/-_ _X 口 1 EF(1) AB + BC + CD(： 1 (2) AB + -(BD+BC) 1 *(3) AF-(AB+AC)2、课本P96练习2-313

16、、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点,用向量方法证明E、F、G、H四点共而（2） AC平而EFGH巩固知识，注意向量运算律的使用.3、略解：(1)HEG = EF + FG = EF + 上 BD = EF + EH 2(2)EG = EB + BF = ±AB + ±BC = AC 222得 EFAC, ACcz 平面 EFGH,则 AC 平面EFGH1.如图，已知矩三形ABCD和矩形7五.拓 展与提 高AL/匚厂 711工 1 1111/互相垂直，点!/BCM,N分别在对角线 BD.AE 上，且BW=，3£）,AN =，

17、AE. 33求证：MN平面CDE., .0.1.证明：MN =MB + BA + AN=-CD + -DE 33又丽与无不共线根据共而向量定理，可知而，丽，女共面。由于MN不在平面CDE中，所以MN平面CDE注意用空间向量的思想去解决立体几 何问题的转化方法.六.小 结1 .空间向量的数乘运算.2 .空间向量的运算意义和运算律解决立几问题.3 .平而的向量表达式解决共而问题归纳知识反思方法，特点。七.作 业课本P106习题3.1, A组第1题（3）、（4）,第2题练习与测试:（基础题）向量是（）1.已知空间四边形A8C0,连结AC8O,设M,G分别是8C8的中点，化简下列各表达式，并标出化简结

18、果向量:(1) AB + BC + CD ； AD(2) AB + (BD + BC) ； AG(3) AG-(AB + AC). MG(中等题)2、在平行六面体ABCD - AiBiGDi中,A.有相同起点的向量 B.等长向量C.共而向量D.不共面向量3.直三棱柱ABCABG中，若无=",在=3,西=己则港 =（）A. a + b cB. a b + c C. - + /? + c D. a + c§ 3.1. 3 空间向量的数量积运算【学情分析】：本小行首先把平面向量数量枳运算推广到空间向量数量积运算,学生已有了空间的线、面平行和而、面 平行概念，这种推广对学生学习已无

19、困难,但仍要一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范闱已由平 面扩大到空间.一个向量已是空间的一个平移，要让学生在空间上一步步地验证向量的数量积运算.这样做, 一方而复习了平面向量、学习了空间向量，另一方而可加深学生的空间观念.【教学目标】：（1）知识与技能：掌握掌握空间向量的夹角的概念，空间向量数量积的定义和运算律（2）过程与方法：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习和使用，掌握立体几何中的三垂线定理 及其逆定理的证明（3）情感态度与价值观：进一步学习向量法在证明立体几何中的应用，培养学生的开拓创新能力和举一 反三的能力。【教学重点】：空间向量的数量积运算【教学难点】：空间向量的数量积

20、运算在解决立体几何中的应用【课前准备】：课件【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图温故知新1、平而向量的数量积(1)设11是空间两个非零向量，我们把数量lalllloos>叫作向量4,1的数量积,记作d,即 a b = abcos <a,b> 一a h(2)夹角：cos<a,b >=. ab(3)运算律 T ff fa . b = b a ； (Aa) - b = A(b a)：> > > 一a (b + c) = a b +a c复习旧知识，为新知识做铺 垫，让学生可以非常容易的接 收空间向量的数量积概念。（新课讲授1、夹角定义：”了是空间

21、两个非零向量，过空间任意一点o,作万？ = £丽=九则NAOB叫做向量Z与向量1的夹角，注意夹角的表示方法和意义， 垂直的表示。注意向量运算和代数运算的 差别。记作规定：0<<a.b><7特别地，如果<ZR>=0,那么)与不同向：如果<aj?>=7T 9那么与匕反向：如果<花>=90。，那么a与Z?垂直，记作a2、数量积(1)设”,是空间两个非零向量，我们把数量lWl"；lcos<Z,B>叫作向量1花的数量积，记作二九 即 -* ff fa b = ahcos< a.b>-* h(2)夹角：

22、cos<a,b >=.ab i(3)运算律iff Ta b = ba ：(Aa) b = A(b - a)； ff- fa (b + c) = a h + a c 思考：1、若=是否有B = C成立？2、若a + = k ,是否有。=£,或B =成立？ ba3向量数量积是否有结合律(“B)c = ”(Bc)成立？三.典例讲练例1.在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。已知：PO, PA分别是平而。的垂线，斜线，A0是PA在平 而夕内的射影，/ua且/_LQ4, 求证：1 VPA证明：取直线/的方向向量)，同时取向量而，PA-注重向

23、量在垂直、共而中的使 用的意识的培养。因为/_L质，所以况=0。因为PO_La,且/ua,所以/_LPO因此"丽=0。又因为Z 西=£ （而+苏）= ZM+"dX=o,所以/_LQ4这个命题叫做三垂线定理，思考其逆定理如何证明 三垂线定理的逆定理：在平面内德一条直线，如果和这个 平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平而内的射 影垂直。例2.川，是平而夕内的两条相交直线，如果/_L?，/ _L，求证：1 La 证明：在内作任一直线g个，分别在/, m, ii, g,上取非零向量i, ？，g -因为用与相交，所以向量/，7不平行，由向量共面的充要条件知，存在惟一的

24、有序实数对",），），# -* 一使 g = xm + >7?将上式两边与向量作数量积， 一得/ g = x/ m + yl - n因为i 机=0 . i =0 ,所以71=o所以j_L",即/_Lg这就证明了直线垂直于平面a内的任意一条直线.所以/_La四.练习巩固五.拓展与提高六.小结七.作业练习与测试:（基础题）所成角的大小为（）AD=3, AA' =5, NBAD=90°,A' C的长,1.如图，在正三棱柱ABC-ABC中，若则 AB,与 QB(A) 60° (B) 90(C) 105° (D) 75NBAA，=N

25、DAA，=60°,DB2、如图，在平行六而体ABCD-A' B' C' D'中，AB=4,3、如图，线段AB, BD 在平面a内，BDlABt 线段 AC J. a ,且 AB二a, BD=b, AC=c,求 C, D 间的距离。1、如图在正方体AG中，M、N分别是AA】、BBi的中点，求直线CM与D】N所成的角。口AiBi（1）夹角、空间向量数量积、运算律（2）三垂线定理及其逆定理（3）夹角、距离的求法课本P106,习题3.1 A组，第3题、第4题、第5题回顾方法1.已知空间四边形OABC中，ZAOB=ZBOC=ZAOC,且OA=OB=OC, M、N

26、分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证OG_LBC分析：要证OGLBC,只需证明068右=0。把OG、BC用基向量OA、OB、OC表示略解：OG = -(OMON) = - -dA(bBOC) = -(OAOBOC) 22122J 4BCOC-OB（中等题）解得z = i2 .已知平行六面体ABCDTACD的底面是菱形，KZC1CB=ZGCD=ZBCD=60°（1）证明CCBD（2）当工2的值为多少时,能使A£_L平面QBD?并证明 CC、分析：取B.C反CC；为运算的基向量，则6方=6-围。注意向量间的方向对夹角的影响略证（2）设乌=双九0）,菱形边长为“，则6 =

27、/ICC； CC,m cQ = -（czi+cQ+cG（6-cc；）=- ： - M =o,元当义=1 时，A.C BD =-(CDCBCC) (CD-CB) = 0§ 3. 1. 4空间向量的正交分解及坐标表示?【学情分析】：本小节首先把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理.这种推广对学生学习已无困难.但仍要 一步步地进行，学生要时刻牢记，现在研究的范围已由平而扩大到空间.这样做，一方而复习了平而向量、学习了空间向量，另一方面可加深学生的空间观念.让学生从二维到三维发现规律，培养学生的探索创新能 力。【教学目标】：(1)知识与技能：掌握空间向量基本定理，会判断空间向量共面(2

28、)过程与方法：正交分解推导入手，掌握空间向量基本定理(3)情感态度与价值观：认识将空间向量的正交分解，能够将空间向量在某组基上进行分解【教学重点】：空间向量正交分解，空间向量的基本定理地使用【教学难点工空间向量的分解【课前准备】：课件 【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图一.温故知新回顾平面向量的正交分解和平面向量的基 本定理由此为基础，推导空间向量 的正交分解和基本定理新课讲授1 .空间向量的正交分解设；，E是空间的三个两两垂直的向量， 且有公共起点拆对于空间任意一个向量 p = OP,设Q为点P在i, 7所确定的平 面上的正投影，由平面向量基本定理可知， 在丽，E所确定的平而上，存在

29、实数z, 使得丽= O0 + Z%而在；，所确定的平面上，由平面向量基 本定理可知，存在有序实数对(x,y),使得OQ = xi + yj从而丽= +由此可知，对空间任一向量方，存在一个有 序实数组x,y,z，使得 = xi + y/ + zk，称 *，y j . zk 为向量 p在i，j , i上的分向量。2 .空间向量的基本定理如果三个向量"了"不共而，那么对空间任一向量p»存在一个唯一的有序实数组以平而向量的基本定理为基 础，层层递进，得到空间向 量的正交分解形式。>*1* (x, y, z)，使 =xa + yb + zc由此定理，若三向量不共而，

30、那么空间的任一向量都可由HI线性表 示，我们把"1叫做空间的一个基底， "WZ叫做基向量。空间任意三个不共而的向量都可以构 成空间的一个基底.如果空间一个基底的二个基向量的两 互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特 别地，当一个正交基底的三个基向量 3,1,1都是单位向量时，称这个基底为单 位正交基底，对空间任一向量力，存在一个 唯一的有序实数组(x,y,z)，使"0P = xex + ye2 + ze3 记 =(x, y, z)推论：设O,A,8,C是不共面的四点， 则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序 实数x,y,Z，使。户= x0，+)'0与 +

31、z3?.,注意介绍单位正交基、正交 基、基的特殊与一般的关系， 以帮助学生理解概念。三.典例讲练例1.如图，已知空间四边形。钻。，其 对角线08, AC, M,N分别是对边 O48C的中点，点G在线段上，且 MG = 2GN ,用基底向量砺,砺.反表 示向量0G.向量的分解过程中注意向量 的运算的正确使用。四.练习巩固五.拓展与提高解：OG = OM+MG 2 =OM "MN3= OA + (ON-OM)1 2 1 1 = -OA + -(OB + OC)-OA2 3 22= -OA + -(OB + OC)-OA2331 一 1 -. 1 一=-OA+-OB+-OC633而弓方+:

32、而+;。乙1、如图，在正方体。4)3-C4''£>/&中，,0OA. OB. OC 表示 OD 和 OM点E是AB与0D的交点,M是OD，与CE的交点，试分别用向量A解：ODf =OA + OB + OCOM =-OA + -OB + -OC 333课本P102练习1、2、31.设A、B、C、D是空间任意四个点，令充分认识基底的特征，即线u= AD + BC, v= AB + CD, w =AC + BD ,则、v. w三个向量A.互不相等B,至多有两个相等C.至少有两个相等D.有且只有两个相等2 .若、b、c是空间的一个基底，下列各组la、mb、（/?

33、W0）：a+2力、2+3c、3。-9c：®«+2、+2c、c+%：+3、3+2r、2a+4c中，仍能构成空间基底的是A.B.C.D.3 .已知e分别是空间四边形A8CD 的边 AB、BC,CD, OA 的中点，（1）用向量法证明瓦£G,”四点共而；（2）用向量法证明：BD平面EFGH ；（3）设"是EG和F7/的交点，求证：对空间任一点0,有ONI =-（a + OB + OC + OD）4c性无关的三个向量就可以构 成空间的一个基底。六.小结1 .正交分解的推导和空间向量基本定理2 .如何将向量用坐标表示3 .任意空间向量在某组基底下的分解七.作业课本

34、P106习题3.1第6题练习与测试：（基础题）1如图，在正方体加犯-C4'。'夕中，点E是AB与0D的交 点.M是0A与CE的交点，试分别用向量3,丽.5?表示历和丽解：= OA + OB + OC 1 1 1 ，3332.设向量是空间一个基底，则一定可以与向量 p = a+kq = a-b构成空间的另一个基底的向量是A. aB. br-C. cD. Cisb3 .设A、B、C、D是空间任意四个点，令 =AD +沅，v=7 + CD. w=AC + BD,则、八卬三个向量A.互不相等 B.至多有两个相等C.至少有两个相等D.有且只有两个相等4 .若、b、c是空间的一个基底，下列

35、各组la、mbc（/2W0）：（）a+2b、2）+3c、3a9c；a+26、5+2c、c+2a；a+3b、3b+2c、 2r/+4c中，仍能构成空间基底的是（）A. B.C. ®®D. ®®5 .设A, 8, C,。是空间不共而的四点，且满足M 芯=0, AC AD = 0, M.布=0 ,则BCD是（ A.钝角三角形B.直角三角形 C.锐角三角形D.不确定6 .已知S是AABC所在平面外一点，D是SC的中点，若&5 = xA© +）巩。+zAS ,则 x+y+z=.7 .在空间四边形ABCD中,AC和BD为对角线，G为aABC的重心，

36、E是BD上一点，BE=3ED,以/5, AC, AD为基底，则屈=（中等题）8 .已知四面体A8C。中，4B.AC4O两两互相垂直，则下列结论中，不一定成立的是（）(1) . AB + AC + AD=AB + AC-AD(2). AB CD = AC BD = AD BC(3). (AB + AC + AD) BC = 0 (4). IAB + AC +ADI2=I XBI2 +1 ACI2 +1 ADI2不一定成立的是9.已知非零向量不共线，如果A* = e； + ,Ad = 2+8e；,45 = %；34，求证：A、B、C、D共§ 3. 1. 5空间向量运算的坐标表示【学情分析

37、】:平面向量有座标表示，空间向量也有座标表示，在上一节中，单位正交分解就能够完成向量坐标向空 间直角坐标系坐标的转化。现在，通过本行的学习，我们可以将向量的地定性公式定量化，在解题特别是 在解决立体几何问题的过程中，可以大大简化问题的难度。【教学目标】：（1）知识与技能；能用坐标表示空间向量Y（2）过程与方法：由平面坐标运算类别空间坐标运算，掌握空间向量的坐标运算（3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比，运用向量的运算解决问题，培养学生的开拓能力。【教学重点工空间向量的坐标运算【教学难点】；空间向量的坐标运算【课前准备】：课件【教学过程设计】：温故知新平而向量的坐标运算1 .空间向量的直角坐

38、标运算律A(al.a?.a3)二.新课讲授a+b = (al +瓦,出 +伪,丹 +打)a-b = （al _|,色一瓦,。3一打），注重类比学习，举一反三, 在平而向量中有坐标运算, 空间向量中也有，运算规律 和结论的本质是一样的。Aa =)(A e R),若A（x，加&）, 8（,%，22），则48 =（占一七，丹一凹，马一4）一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标,2 .数量积：即 a -b = ab +a2b23b33 .夹角：/-* r a baxby + ajcos(ab) = ,.、/ 卬 31 忖+才+短析+蜡+叱4 .模长公式

39、：若。=(4,生,“3)，则 I a 1= yja- a = Jaj +4'.5 .平行与垂直：a/b<=>aA =Ab1.a2 =Ab2,a3 =Ab3(AeR) aJL/?oa- = Oo ab + a2b2 + 613b3 = 06,距离公式：若，B(x2,y2,z2),则 I/1Q1= J aS =>/(x2-A1)24-(y2-.yl)2+(z2-z1)2 ,或dAB =一再)2+(乃一片)2+«2-马)2 .例1.如图，在正方体AB8 44GR中，E,工分别是44，G2的一个四等分点，求8片与。工所成的 角的余弦值。三.典例讲练将空间向量的运算与

40、向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单。解：不妨设正方体的棱长A1 为1,分别以丽，皮，丽; 为单位正交基底建立空间直角坐标系Oryz,AB31则 8(1,1,0), £,(1,-,1), 0(0,0,0), K(0,1l)1 1所以8£=(0, w，D，Df；=(0,-,l) VF7 -J715I BE. 1= -， I DFX1= -， BE DF 1 4141 16' ' 'I d所以cos v BE. , DF、=, 1117例2,如图，正方体A8C£)- A81GQ 中，E, a

41、厂分别是8名，2月的中点,求证：EF ± DAla 4：,证明：不妨设正方体的棱长为1,分别以加，DC , 西为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz ,又4(1,0,1), £)(0,0,0),所以而；=(1,0,1),所以诉西=0,因此而_L两，即四.练习巩固课本P105练习1, 2, 31.如图在正方体AG中，M、N分别是AA1、BB的中点, 求直线CM与DN所成的角。五.拓展与提高学习注意触类旁通,举一反 三，引进向量的坐标运算式 把定性的向量定量化的有 效办法。这样可以把向量问 题转化为代数问题2.已知三角形的顶点A (1, -h 1), B (2, 1, -1)

42、,C (-L - 1, -2),这个三角形的面积是()B.V101C.2V10T因此，8与与。居所成角的余弦值是匕3.己知点 A (1, 2, 3), B= (2, 1, 2), P (1, 1, 2)在 直线OP (或延长线上)取一点P,使©豆最小，求S 的坐标及最小值.解:设 S (k,k,2k)为 OP 上一点，则初二(1一工2-k,3-2k)SB =(2kJ k.2- 2k)：.SASB=(l-k)(2-k)+(2-k)(l-k)+(3 - 2k)(2 - 2k) 4?=6k2 16k+10=6(k )2 334, ,?4 4 8k= 一时,(SASB)nin =一二此时OS

43、=333 3 33六.小结1 .空间向量的直角坐标运算律2 .数量积与夹角3 .模长与距离4 .平行于垂直七.作业课本P106习题3.1, A组第8、9、11题.练习与测试：(基础题)1.已知向量2 = (021)3 = (-1,一2),贝后与坂的夹角为()A. (TB. 45°C. 90° D. 180°2 .已知,;= (4 + 1,0,2出= (6,2-1,2),若力；，则4与的值分别为()A. ,B. 5 2C.，D5, -25 25 2(中等题)3已知A(3J,3), 8(1,0,5),求：(1)线段A8的中点坐标和长度：(2)到A, 8两点的距离相等的

44、点P(x, y, z)的坐标 y z满足的条件.* 1 3解：(1)设M是线段A8的中点，则OM=z(QA + O3) = (2,3,彳). 223J AB的中点坐标是(2,3,5)，AB = (-2,4,3)I AB 1= 7(-2)2 +42 +(-3)2 =回.(2) ;点尸(x,y,z)到A,8两点的距离相等，则 7U-3)2+(y-D2+(z-3)2 = 7(x-l)2+(y-5)2+(z-0)2 ,化简得：4x-8y + 6z + 7 = 0,所以，到48两点的距离相等的点尸(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件是4x-8.v + 6z + 7 = 0.点评：到4B两点的距离相等

45、的点尸(x,y,z)构成的集合就是线段AB的中垂而，若将点P的坐标x、y, z满足的条件4x -8y + 6z + 7 = 0的系数构成一个向量1 = (4-8,6),发现与AB = (-24,3)共线。4,已知三角形的顶点是A。,1,1), B(2,l-1), C(-l-1-2),试求这个三角形的而积。分析：可用公式5=1|人后|.|从口16亩人来求而积.2解：:丽= (1,2,-2), 衣=(-2,0,-3),：.AB 1= 2+22+(-2)2 = 3 , I AC 1= 7(-2)2+0 + (-3)2 = 713 ,Ad = (1,2, 2).(-2.0, -3) = -2 + 6

46、= 4,.*=网<而,恁>=型辿=3=处.ABAC 3x71339，所以阿 213xMT-39sin A = sin < AB. AC >= 5/l-cos2 < AB. AC >则向量a +否与a-B的夹角是5 .已知。=(cos8,1,sin6),5 = (sin6,1,8s6)，A. 90°B. 60° C. 30° D. 0°6 .已知 = (，),！ = (2),则-臼的最小值是 ()A右 B屈55D.7 .已知。=(3cosa,3sina,l)和Q =(28s/7,2sin/7,l),则|PQ|的取值范围是

47、()A. 0,5B.0,25§ 3. 2. 1直线的方向向量与平面的法向量【学情分析工教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本门课是通过这些知 识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示，并且用向量及其运算表示线线、线而、面面间 的位置关系,可以比较顺利地进行教学.在教学中，师生共同探索发现用向量及其运算表示线线、线面、面 而间的位置关系并予于应用，在起点高的班级中是可行的.【教学目标】：（1）知识与技能：理解直线的方向向量和平而的法向量：会用向量及其运算表示线线、线面、而面间的 位置关系.（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法

48、，加深对相关知识的理解。（3）情感态度与价值观：开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势。【教学重点工平面的法向量.【教学难点】：用向量及其运算表示线线、线而、面而间的位置关系.【课前准备】：Powerpoint课件【教学过程设计工教学环节教学活动设计意图一、复习引 入1. （3 .两个非零向量共线的充要条件是什么？4 .什么叫直线的方向向量？5 .回顾平面向量基本定理。为探索新知识做准 备.二、探究新 知一、点、直线、平面的 p位置的向量表示1.思考：如何确定一 7个点在空间的位置？如图，在空间 / 中，我们取一点0作为基点，那么空间中任意 一点P的位置就0 可以用向量而来表示.称向量而为

49、点的位置 向量。要求学生自己寻找 空间中的几何元素 点、直线、平面的 位置的向量表示方 法。2思考：在空间中给定一个定点A和一个定方向（向量），能确定一条直线在空间的位置吗？-/a7*/AP=Aa(AR)A如图，点A和Z不仅可以确定直线1的位置，还可以具体表示出上的任意一点P。3.思考：给定一个定点和两个定方向（向量），能确定一个平面在空间的 位置吗？2S/OP = xa + yb(x. ye/?)如图，点。和3、b不仅可以确定平面。的位置，还可以具体表示出。内的任意一点P.*4.思考：给定一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间的 位置吗？联系平面向量基本 定理来理解。法向量：若7

50、,2，则a叫做平面。的法向量。一彳 a学生记住法向量的概念。A如图，过点A,以Z为法向量的平面是完全确定的.二、线线、线面、面面间的位置关系与向量运算的关系设直线1、m的方向向量分别为力、b,平面2,/的法向量分别为工 探究1:平行关系1,线线平行：/机。a/b<a = Ab通过对对称轴不同 作法的探讨，拓展 学生的思维.让学生对每一种关 系都进行探究，找2,线面平行：/a <=> 7 JL 丘 o 7 日=03,面面平行：a/3<>u/v<=>u=Ay探究2：垂直关系L线线垂直：2,线面垂直:1 1 a <=> ci Hu <>

51、;a = AH3,面面垂直：a±/7<=> m ±v <=>m-v =0探究3：夹角(0<<)1，线线夹角：/,?的夹角为acosd = Ue ab2,线面夹角：的夹角为夕sin = M 1 a II u 13,面面夹角：e,a向夹角为8, cos 0 =1 U II V 1到相应的向量关系 和运算公式。通过向量理解这些 关系式，而不是机 械记忆它们。三、练习巩 固(1 .设直线九s的方向向量分别为B，根据下列条件判断，m的位置 关系：(1)。 (2,1,2), Z> = (6,3,6)(2-= (1,2,-2), 3 = (-2,

52、3,2)(3)7 = (0,0,1),/? = (0,0,-3)答案：(1)平行；(2)垂直：(3)平行。2 .设平面。,尸的法向量分别为根据下列条件判断平面。,万的位置 关系：巩固知识，培养技 能.(l)w = (-2,2,5), v = (6,-4,4)(2)i7 = (l,2,-2),v = (-2,-4,4)(3)万=(2,3,5),/ = (3,1)29答案：(1)垂直：(2)平行；(3)相交，交角的余弦为，° 2,247四、拓展与 提高1.已知点P是平行四边形A8c。所在平面外一点，如果 而=(2,-1,4), 而= (4,2,0), 而=(-1,2,-1).(1)求证：

53、A户是平面A8CD的法向量；(2)求平行四边形A8CD的面积.(1)证明：丽丽=(-1,2, 1)(2, 1,-4) = 0,丽丽=(-1,2,-1)(4,2,0) = 0,AP±AB, APYAD,又48nAO = A, AP_L平面A8C0,4户是平面A8C。的法向量.(2) 1 而匕“2尸+(1)2+(7)2=0，IAZ5|=V42+224-02 =25/5 ,. A反 A万=(2, -1, -4) (4,2,0) = 6,.63x/105笫 4 题 cos(AB, AD)=，105. sin /BAD =层,$ Sums T A*l 1A5 1 sin ABAD = 876 引导学生进行应 用.对法向量作理解.巩固以