1.2第一节向量及其线性运算ppt课件

1、一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算二、向量的概念二、向量的概念三、向量的加减法三、向量的加减法四、向量与数的乘法四、向量与数的乘法五、五、 向量在轴上的投影与投影定向量在轴上的投影与投影定理理六、六、 向量的模与方向余弦的坐标向量的模与方向余弦的坐标表示式表示式x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合右手系符合右手系.即以右手握住即以右手握住z轴，轴，当右手的四个手指当右手的四个手指从正向从正向x轴以轴以2 角角度转向正向度转向正向y轴轴时，大拇指的指向时，大拇指的指向就是

2、就是z轴的正向轴的正向.一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系1、空间点的直角坐标、空间点的直角坐标xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C( 3 , 2 , 1)_,_pxoyyozzoxxyz例：点关于平面的对称点是，关于平面的对称点是关于平面

3、的对称点是，关于轴的对称点是，关于轴的对称点是，关于轴的对称点是；设设),(1111zyxM、),(2222zyxM为为空空间间两两点点xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 2、空间两点间的距离、空间两点间的距离,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo

4、1MPNQR 2M例例 1 1 求求证证以以)1 , 3 , 4(1M、)2 , 1 , 7(2M、)3 , 2 , 5(3M三三点点为为顶顶点点的的三三角角形形是是一一个个等等腰腰三三角角形形.解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 213MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成立原结论成立.例例 2 2 设设P在在x轴轴上上，它它到到)3 , 2, 0(1P的的距距离离为为到到点点)1, 1 , 0(2 P的的距距离离的的两两倍倍，求求点点P的的坐坐标标.解解设设P点坐标为点坐标为),0 , 0 ,

5、(x因因为为P在在x轴轴上上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求点为所求点为).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1M为为起起点点，2M为为终终点点的的有有向向线线段段.1M2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：二、向量的概念二、向量的概念或或或或或

6、或自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向径：向径：aba a空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量. . OMM1 加法：加法：cba abc（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：假设特殊地：假设ababc|bac 分为同向和反向分为同向和反向bac|bac （平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）三、向量的加减法三、向量的加减法向量的加

7、法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1交换律：交换律：.abba （2 2结合律：结合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa2 减法减法)( baba abb b cbabac )(ba ba ab设设 是是一一个个数数，向向量量a与与 的的乘乘积积a 规规定定为为, 0)1( a 与与a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反反向向，|aa aa2a21 四、向量与数的乘法四、向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1结合律：结合律：)()(aa a)( （2 2分配律：分配律：aaa

8、 )(baba )(.0ababa ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在唯分必要条件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量设向量设向量定理定理两个向量的平行关系两个向量的平行关系证证充分性显然；充分性显然；必要性必要性ab设设,ab 取取取正值，取正值，同向时同向时与与当当 ab取负值，取负值，反向时反向时与与当当 ab.ab 即即有有.同同向向与与此此时时ab aa 且且aab .b .的唯一性的唯一性 ，设设ab ，又设又设ab 两式相减，得两式相减，得，0)( a ，即即0 a ，0 a，故故0 . 即即同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设

9、设aa0按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.例例1 1 化化简简 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形的四边形必是平行四边形. .证证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与与 平行且相等平行且相等,BC结论得证结论得证.ABCDMabxyzo 1MPN

10、QR 2M五五.向向量量的的坐坐标标表表示示 以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正正向向的的单单位位向向量量. ijkkajaiaazyx 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影x 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影y 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxMM)()()(12121221 kzzjyyixxMM)()()(12121221 按基本单位向量的坐标分解式：按基本单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量：在三个坐标轴上的分向量：,kajaiazyx向量的坐标：向量的坐标：,zyxaaa向量的坐标表达式：向量的坐标表

11、达式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxMM 特殊地：特殊地：,zyxOM 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx . 12121212例：设M(1,3,4),M (2,1,3),求OM +OM , OMOMM M解解,111zzyyxxAM ,222zzyyxxMB 设设),(zyxM为直线

12、上的点，为直线上的点，例例 2 2 设设),(111zyxA和和),(222zyxB为为两两已已知知点点，而而在在AB直直线线上上的的点点M分分有有向向线线段段AB为为两两部部分分AM、MB，使使它它们们的的值值的的比比等等于于某某数数)1( ，即即 MBAM，求求分分点点的的坐坐标标.ABMxyzo由题意知：由题意知：MBAM ,111zzyyxx ,222zzyyxx 1xx )(2xx 1yy )(2yy 1zz )(2zz ,121 xxx,121 yyy,121 zzzM为为有有向向线线段段AB的的定定比比分分点点.M为为中中点点时时，,221xxx ,221yyy .221zzz

13、向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角),(ba ),(ab 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u AA 过过点点A作作轴轴u的的垂垂直直平平面面，交交点点A 即即为为点点A在在轴轴u上上的的投投影影.空间一向量在轴上的投影空间一向量在

14、轴上的投影uAA BB 已已知知向向量量的的起起点点A和和终终点点B在在轴轴u上上的的投投影影分分别别为为BA ,那那么么轴轴u上上的的有有向向线线段段BA 的的值值，称称为为向向量量在在轴轴u上上的的投投影影.ABjuPr.BA 向向量量AB在在轴轴u上上的的投投影影记记为为关于向量的投影定理关于向量的投影定理1 1） 向量向量AB在轴在轴u上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：轴与向量的夹角的余弦：ABjuPr cos| AB 证证uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投

15、影为负；投影为零；投影为零；uabc(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等； 0)1(,2 2)2(, )3(,2 关于向量的投影定理关于向量的投影定理2 2）两两个个向向量量的的和和在在轴轴上上的的投投影影等等于于两两个个向向量量在在该该轴轴上上的的投投影影之之和和. .PrPr)(Pr2121a ja jaaj AA BB CC （可推广到有限多个）（可推广到有限多个）u1a2a非零向量非零向量 的方向角：的方向角：a非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 xyzo 1M 2M 向量的模与

16、方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式xyzo 1M 2M 由图分析可知由图分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .222|zyxaaaa PQR向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式21212121RMQMPMMM 0222 zyxaaa当当 时，时，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式1coscoscos222 方向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos

17、,cos,cos 特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为例例 3 3 求求平平行行于于向向量量kjia676 的的单单位位向向量量的的分分解解式式.解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 或或0a|aa .116117116kji 例例 4 4 设有向量设有向量21PP，已知，已知221 PP，它与，它与x轴轴和和y轴的夹角分别为轴的夹角分别为3 和和4 ，如果，如果1P的坐标为的坐标为)3 , 0 , 1(，求，求2P的坐标的坐标.解解设设向向量量21PP的的方方向

18、向角角为为 、 、 ,3 ,4 , 1coscoscos222 .21cos ,21cos ,22cos .32,3 设设2P的的坐坐标标为为),(zyx,1cos x 21PP21 x21 , 2 x0cos y 21PP20 y22 , 2 y3cos z 21PP23 z, 2, 4 zz2P的的坐坐标标为为).2 , 2, 2(),4 , 2, 2(21 例例 5 5 设设kjim853 ，kjin742 ，kjip45 ，求求向向量量pnma 34在在x轴轴上上的的投投影影及及在在y轴轴上上的的分分向向量量.解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji ,

19、15713kji 在在x轴轴上上的的投投影影为为13 xa,在在y轴上的分向量为轴上的分向量为j7.空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的区别）（注意它与平面直角坐标系的区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限）六、小结六、小结 21221221221zzyyxxMM 向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）（注意数乘后的方向）向量的坐标表示向量的坐标表示 1 1、下列各点所在象限分别是：、下列各点所在象限分别是： _

20、;1,3,2d_4,3, 2c_4,3,2b_3,2- ,1 a在在、；在在、；在在、；在在、 ；轴轴的的对对称称点点是是，关关于于轴轴的的对对称称点点是是，关关于于的的对对称称点点是是轴轴，关关于于的的对对称称点点是是关关于于平平面面的的对对称称点点是是，关关于于平平面面的的对对称称点点是是关关于于平平面面、点点_,_)1,2,3(2zyxzoxyozxoyp 一、填空题一、填空题练习题练习题3、点点)5,3,4( A在在xoy平平面面上上的的射射影影点点为为_ _ _ _ _ _ _ _, ,在在yoz面面上上的的射射影影点点为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，在在 zox轴轴

21、上上的的射射影影点点为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _，在在轴轴上上x的的射射影影 点点为为_ _ _ _ _ _ _ _ _，在在轴轴上上x的的射射影影点点为为_ _ _ _ _ _ _，在在 轴上轴上z的的射射影影点点为为_ _ _ _ _ _ _ _ ; ;4、已知空间直角坐标系下，立方体的、已知空间直角坐标系下，立方体的 4 个顶点为个顶点为 ),(aaaA ，),(aaaB ，),(aaaC 和和 ),(aaaD，则其余顶点分别为，则其余顶点分别为_，_ _，_，_ ; ;5、已知三角形的三个顶点、已知三角形的三个顶点)4 ,1,2( A，)6,2,3( B， )2,0,5(

22、 C则则（1）过）过A点的中线长为点的中线长为_;（2） 过过点点的的B中中线线长长为为_ _ _ _ _ _ _ _ _； （3） 过过点点的的B中中 线线 长长为为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、已知平行四边形、已知平行四边形ABCD的两个顶点的两个顶点)5,3,2( A, , )2,3,1( B的及它的对角线的交点的及它的对角线的交点)7,1,4( E，则，则 顶点顶点的坐标的坐标D为为_，顶点，顶点的坐标的坐标D为为_ _；7 7、若直线段落、若直线段落AB被点被点)2,0,2(C及点及点)0,2,5( D内内 分为分为3等分， 则等分， 则A端点端点的坐标为的

23、坐标为_， B端点端点 的坐标为的坐标为_ _ . .二二、在在yoz面面上上，求求与与三三个个已已知知点点)2,1,3(A， )2,2,4( B和和)1,5,0(C等等距距离离的的点点 .一一、1 1、, , , ,； 2 2、( (- -3 3, ,2 2, ,1 1) ), ,( (3 3, ,2 2, ,- -1 1) ), ,( (- -3 3, ,- -2 2, ,- -1 1) ), , ( (- -3 3, ,- -2 2, ,1 1) ), ,( (3 3, ,2 2, ,1 1) ), ,( (3 3, ,- -2 2, ,- -1 1) )； 3 3、( (- -4 4,

24、 ,3 3, ,0 0) ), ,( (0 0, ,3 3, ,5 5) ), ,( (- -4 4, ,0 0, ,5 5) ), , ( (- -4 4, ,0 0, ,0 0) ), ,( (0 0, ,3 3, ,0 0) ), ,( (0 0, ,0 0, ,5 5) )； 4 4、),(aaa ),(),(),(aaaaaaaaa ； 5 5、7 7, ,43021, ,26221； 6 6、( (6 6, ,1 1, ,1 19 9) ), ,( (9 9, ,- -5 5, ,1 12 2) )； 7 7、( (- -1 1, ,2 2, ,4 4) ), ,( (8 8, ,

25、- -4 4, ,- -2 2) )； 8 8、 4141iixx, , 4141iiyy, , 4141iizz. .练习题答案练习题答案二二、( (0 0, ,1 1, ,- -2 2) ). .一、一、 填空：填空：1 1、 向量是向量是_的量；的量；2 2、 向量的向量的_叫做向量的模；叫做向量的模；3 3、 _的向量叫做单位向量；的向量叫做单位向量；4 4、 _的向量叫做零向量；的向量叫做零向量；5 5、 与与_无关的向量称为自由向量；无关的向量称为自由向量；6 6、 平行于同一直线的一组向量叫做平行于同一直线的一组向量叫做_，三，三个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做个或三个以上平行于同一平面的一组向量叫做_ _ _；7 7、两两向向量量_ _ _ _ _ _