数学必修二第二章经典测试题(含答案)

1、必修二第二章综合检测题一、选择题1 若直线a 和 b 没有公共点，则 a 与 b 的位置关系是()A.相交B.平彳fC.异面 D.平行或异面2 .平行六面体 ABCD- AiBiCiDi中，既与AB共面也与 CC共面的 棱的条数为 ()A 3B 4 C 5 D 63 .已知平面口和直线1,则内至少有一条直线与1()A.平行B.相交C.垂直D.异面4 .长方体ABCD-AiBiCiDi中，异面直线AB, AiDi所成的角等于 ()A 30 °B 45 °C 60 °D 90 °5 .对两条不相交的空间直线 a与b,必存在平面 出使得()A. a %, b%

2、B. a& b 3C. aX a, bX aD. a % bX a6下面四个命题：其中真命题的个数为()若直线a， b 异面，b，c 异面，则a，c 异面；若直线a， b 相交，b，c 相交，则a，c 相交；若a/b,则a, b与c所成的角相等；若 a±b, b，c,则 a c.A 4B 3 C 2 D i7 .在正方体 ABCD- AiBiCiDi中，E, F分别是线段 AiBi, BiCi上 的不与端点重合的动点，如果 AiE= BiF,有下面四个结论：®EF± AAi； EF/AC; EF 与 AC 异面； EF/平面 ABCD其中一定正确的有()A

3、.B. C. D.8 .设a, b为两条不重合的直线， (3为两个不重合的平面， 下列命题中为真命题的是()A.若a, b与x所成的角相等，则a / b9 .若 a / & b / & all & 则 a / bC.若 a %, b& a/b,则/ BD.若 a，, b，&& 贝U a，b10 已知平面 n平面B, 1,点AS & Al,直线AB/Z|,直 线AC，l,直线m/ % nil &则下列四种位置关系中，不一定成立的 是()A. AB/1 m B. AC±mC. AB/ B D. AC± p10 .已

4、知正方体 ABCD-AiBiCDi中，E、F分别为BB、CC的中 点，那么直线AE与DiF所成角的余弦值为（）433A- -5B .5D- -511 .已知三棱锥D ABC的三个侧面与底面全等，且AB= AC=，3, BC= 2,则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的余弦值为 （）C. 0D, -212 .如图所示，点P在正方形ABCD所在平面外，PA1平面ABCQPA= AB,贝U PB与AC所成的角是（）A. 90 B. 60 C. 45D. 30二、填空题13.下列图形可用符号表示为 .14 .正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角Ci AB C的平面角等于15 .设平面%

5、/平面& A, C6 % B, D6 &直线AB与CD交于 点S,且点S位于平面 & B之间，AS= 8, BS= 6, CS= 12,则SD=16 .将正方形ABC训对角线BD折成直二面角A- BD-C,有如 下四个结论： AC，BD;4ACD是等边三角形；AB与平面BCD成60°的角；AB与CD所成的角是60:其中正确结论的序号是.三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 )17.如下图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， ABC与AiBCi都为 正三角形且 AAi上面ABQ F、F1分别是AC, A1C1的中点.求证：(1)平面ABiFi /平

6、面GBF;平面ABiFi,平面ACCAi(1)证明：CD，平面PAE(2)若直线PB与平面PA渐成的角和PB与平面ABCD所成的角相 等，求四棱锥P- ABCD的体积.19.如图所示，边长为2的等边 PCD所在的平面垂直于矩形 ABCD所在的平面，BC= 2/，M为BC的中点.(1)证明：AMXPM;(2)求二面角P- AM D的大小.20.如图，棱柱 ABC-A1B1C1的侧面BCCBi是菱形，Bid A1B.(1)证明：平面ABC平面AiBCi;设D是A1C1上的点，且 AiB/平面BiCD,求AiD DC的值.21.如图， ABC中，AC= BC=*AB, ABED是边长为1的正方形,

7、平面ABEDL底面ABQ若G, F分别是EQ BD的中点.求证：GF/底面ABC;(2)求证：AC，平面EBC(3)求几何体ADEBC勺体积V.22.如下图所示，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，AC= 3, BC= 4, AB= 5, AA1=4,点D是AB的中点.4】B/ CD(1)求证：AC! BG; (2)求证：AG/平面CDB; (3)求异面直线AG与BiC所成角的余弦值.必修二第二章综合检测题1 D 2 c AB与CC为异面直线，故棱中不存在同时与两 者平行的直线，因此只有两类：第一类与AB平行与CC相交的有：CD C1D1与CC平行且与AB相交的有：BBi、AA1,第二类与两者

8、都相交的只有 BC,故共有5条.3 C当直线l与平面口斜交时，在平面口内不存在与l平行的 直线，A错；当l册，在口内不存在直线与l异面，D错；当l / %时，在内不存在直线与l相交.无论哪种情形在平面 口内都有 无数条直线与l垂直.4 D 由于AD/AiDi,则/BAD是异面直线 AB, AiDi所成的 角，很明显/ BAD= 90 .5 B对于选项A,当a与b是异面直线时，A错误；对于选项 B,若a, b不相交，则a与b平行或异面，都存在 出使a %, b/ 出 B正确；对于选项C, a± %, b± %, 一定有a/b, C错误；对于选项 D, a& t)

9、77; & 一定有 a±b, D错误.6 D异面、相交关系在空间中不能传递，故错；根据等 角定理，可知正确；对于，在平面内，a/c,而在空间中，a与c可以平行，可以相交，也可以异面，故错误.7 D 如图所示.由于 AAi,平面AiBiCiDi, EF平面A1B1C1D1, 则EF，AAi,所以正确；当E, F分别是线段AiBi, BiCi的中点时， EF/1 AiCi,又AC/AiCi,则EF/ AQ所以不正确；当 E, F分别不 是线段AiBi, BiG的中点时，EF与AC异面，所以不正确；由于平 面 AiBiCiDi / 平面 ABCQ EF平面 AiBiCiDi,所以

10、EF/ 平面 ABCR 所 以正确.8 D选项A中，a, b还可能相交或异面，所以A是假命题；选项B 中，a, b还可能相交或异面，所以B是假命题；选项C中，%(3还 可能相交，所以C是假命题；选项D中，由于a± &&则a B或a&则B内存在直线l a,又b，&则b",所以ab.9 C如图所示：AB/H/m; ACL, m / lAC±m; AB/1 lAB/ ©310 、工511 C 取 BC 中点 E,连 AE、DE,可证 BC± AE, BC± DE, /AED为二面角A- BC- D的平面角又

11、AE= ED=® AD= 2,. / AED= 90 ,故选 C.12 B 将其还原成正方体 ABCD- PQRS显见 PB/ SC A ACS 为正三角形，/ ACS= 60 .13 %AB= AB14 45如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，由于BCL AB, BQXAB, 则/GBC是二面角GAB C的平面角.又 BCC是等腰直角三角形， 则/ C1BC= 45°.15、9如下图所示，连接AC, BD,则直线AB, CD确定一个平面ACBDDC&AC/BD,门"AS CS .8 12人 SB= SD -6 = $0 斛倚 SD= 9.16如

12、图所示，取 BD中点，E连接AE, CE则BD±AE, BDX CE,而 AEACE= E, /.BD±¥面 AEG AC平面 AEG 故 AC，BD,故 正确.设正方形的边长为a,则AE= CE=乎a.由知/ AEC= 90°是直二面角 A- BD- C的平面角，且/ AEC=90 , /. AC= a,.ACD是等边三角形，故正确.由题意及知，AE，平面BCQ故/ABE是AB与平面BCD所 成的角，而/ ABE= 45°,所以不正确.分别取BC, AC的中点为M, N,连接ME, NE, MN. -.11一 11则 MN/AB,且 MN =

13、 2AB= a, ME/CD,且 ME=CD= a,/EMN是异面直线AB, CD所成的角.在 RtzAES, AE= CE= £a, AC= a,一_ 11 NE= 2AC= 2a.MEN是正二角形，./ EMN = 60 ,故正确.17 (1)在正三棱柱ABG- A1B1G中，. F、F1 分别是 AC A1C1 的中点，. B1F1 / BF, AF1 / CE 又. B1F1 AAR = F1, C1FABF= F .平面 ABF1/平面 C1BE (2)在三棱柱 ABC- A1B1C1 中,AA1,平面 A1B1C1, /. B1F11AA1. 又 B1F1，A1Ci, A

14、1C1AAA1 = A1.B1F1,平面 ACCA1,而 B1F1 平面ABiFi平面 ABiFi，平面 ACCAi.18(1)如图所示，连接5./ABC= 90 ,彳# AC又AD= 5, E是CD的中点，所以CD±AE. PA1平面 ABCQ CD平面 ABCQ 所以 PA! CD而PA, AE是平面PAE内的两条相交直线，所以 CD，平面PAE(2)过点B作BG/ZCR分别与AE, AD相交于F, G,连接PF由(1)CD，平面PAE知，BG，平面PAE于是/ BPF为直线PB与平 面PAE所成的角，且BG± AE由PA!平面ABCDB, / PBA为直线PB与平面A

15、BCD所成的角.AB= 4, AG= 2, BG±AF,由题意,知/ PBA= /BPF,一.PABF 一一因为 sin/ PBA v sin/BPF ,所以 PA= BF PBPB由/ DAB= / ABC= 90° 知，AD/ BC,又 BG/CD,所以四边形 BCDG 是平行四边形，故GD= BC= 3.于是AG= 2.在 RtBAG中，AB= 4, AG= 2, BG±AF,所以BG= AB2 + AG2 = 2乖,BF=霹=吃=呼.于是 PA= BF= 1又梯形ABCD的面积为S= 5x(53)X416,所以四棱锥P-ABCD的体积为1V= 3 XS &

16、gt;PA= 3X 16-128 5 =1519解析(1)证明：如图所示，取CD的中点E,连接PE, EM,EA,cRPCD为正三角形，.PE!CD, PE= PDsinZPDE= 2sin60 =73.平面PCEU平面ABCQ PU平面 ABCR 而 AM 平面 ABCD. PEL AM.四边形ABC混矩形，.ADE, AECM, zABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM=B AM =V6, AE= 3EM2 +AM2= AE. AM±EM.又 PE AEM=E,.AM，平面 PEM, /. AMXPM.(2)解：由(1)可知 EMXAM, PMXAM, /PME是二面角P-

17、AM D的平面角.PE 3/.tanZPME=-=V=1,. / PME= 45 .EM43二面角P- AM D的大小为4520(1)因为侧面BCCBi是菱形，所以Bid BC, 又已知 BidAiB,且 AiBABG = B,所以BiC，平面AiBQ,又BiC平面ABiC所以平面ABC，平面AiBQ .设BG交BiC于点E,连接DE,则DE是平面AiBC与平面 BiCD的交线.因为AiB/平面BiCD, AiB平面AiBQ,平面AiBCiA平面BiCD= DE,所以 AiB/ DE又E是BG的中点，所以D为AiCi的中点.即AiD DO=i.2i解(i)证明：连接AE,如下图所示.DAADE

18、B为正方形 又G是EC的中点 . GF/ 平面 ABCAEABD= F,且F是AE的中点，.GF/ZAC,又 AC平面 ABC GF平面 ABC,(2)证明：ADEB为正方形，EB±AB,又平面 ABEDL平面ABQ 平面ABEDH平面ABC= AB, EB平面ABERBn平面 ABC,.BnAC2又AO BC= 32-AB, /. CA2+CB = AB2, aACB BC又BCABE= B,.AC，平面 BCE(3)取AB的中点H,连GH,BO AC=乎AB=*，一 一一 1.CH!AB,且CH=万，又平面 ABED1平面ABC一一11 1 GH，平面 ABCQ /. V= 3x16，22解析(1)证明：在直三棱柱 ABG- A1B1C1中，底面三边长 AC =3, BC=