高考数学二轮复习专题限时集训8空间向量与立体几何理

1、-7 -专题限时集训（八）空间向量与立体几何专题通关练（建议用时：20分钟）AiC的中模)在直三棱柱 ABCABiCi, / BCA= 90° , M N分别是 ABb.£点，BC= AO CC= 1,则AN与BM所成角的余弦值为（）1A.102C.5D 建立如图所示的空间直角坐标系:则 A(1,0,0) , B(0,1,0)'2，212，。，1 !,BMM=12, 1cosAN BMAN- BMI AN BM1 1-2X2+14+0+1X114+4+13430苴x范10 .22故选D.2.二面角的棱上有 A, B两点，直线AC BD分别在这个二面角的两个半平面内，

2、且都垂直于AB已知 AB= 2, AO 3, BD= 4, CD=/,则该二面角的大小为 （）A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°， 一 _.一 DLT>, 一C 由已知可得CA- AB= 0, AB- BD= 0,如图， CD=C/VAB+ BQ 1 Cid2=(CAAb+ BD)2= |CA2+|AB2+| bd2+2Cav Ab+ 2AB be>2亦 bd= 32 + 22 + 42+ 2 X 3 X 4cos Ck BD> =(师)： 1 一 .cosCA BD = 2,即CA BD =120 ,，所求二面角的大小

3、为 60° ,故选C.3. (2018 全国卷I )在长方体 ABCDABCD中，AB= BO2, AC与平面BBCC所成的角 为30° ,则该长方体的体积为 ()A. 8C. 8 2D. 8 3C 在长方体 ABCDABCQ中，ABL平面BCCB,连接BC, AC,则/ ACB为直线 AC与 ，一 ，AB平面 BBCC 所成的角，/ACB= 30 .又 AB= BC= 2,所以在 RtABC 中，BC=2g tan / ACB "在RtA BCC中，CC=q 纳 2_22 = 2y2,所以该长方体体积 V= BO CCx AB= 8>/2.4 .(2019

4、 汕头模拟)如图，在正方体 ABCDABCD中，M N分别是BC, CD的中点，则 下列判断错误的是()A. MNL CCB. MNL平面 ACCA1C. MN/平面 ABCDD. MIN/ AiBiD 在正方体 ABCEAiBGD中，M N分别是BC, CD的中点，以D为原点，DA为x轴， DC为y轴，DD为z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCDABCD的棱长为2,则M121), N0,1,1) , C(0,2,0) , C(0,2,2) , MN= ( -1, 1,0) , CC= (0,0,2) , MIN CC= 0, .MNLCC, ， 故 A正确；A(2,0,0) , AC

5、= (2,2,0), MN AC= 0,MNLAC.AS CC= C,，MN_ 平面 AC(A1,故 B 正确；平面ABCD勺法向量n= (0,0,1), 一 一一 一 一一 一 _ 一MN- n=0,又 MN¥面 ABCD MN/平面 ABCD 故 C正确；A(0,2,2) , B(2,2,2). AB = (2,0,0),MNW A1B1不平行，故D错误.故选 D.5 .(2019 全国卷出)如图，点 N为正方形 ABCD勺中心， ECD正三角形，平面 ECDL 平面ABCD M是线段ED的中点，则()A. BM= EN,且直线 BM ENf交直线B. BW EN,且直线BM &

6、#163;可相交直线C. BM= EN且直线 BM EN面直线D. BW EN,且直线 BM EN面直线B 取CD的中点Q连接ON EQ因为乙ECM正三角形，所以 EO_CD又平面ECDL 平面ABCD平面ECm平面ABCD： CD所以ECL平面 ABC似正方形 ABCD勺边长为2,则EO =班，ON= 1,所以EN=EO+ ON= 4,得EN= 2.过M作CD的垂线，垂足为 P,连接BP,则 M2 坐，C鼻|,所以 BM= MP + BP2=斗：+，|；+22=7,得 BM=诟,所以 BWEN 连接BD BE因为四边形 ABC西正方形，所以 N为BD的中点，即EN MB均在平面BDEJ,所以

7、 直线BM EN是相交直线，选 B.6 .一题多解如图，AB是。的直径，PA垂直于。所在平面，点 C是圆周上不同于 AB两点的任意一点，且 AB= 2, PA= BC= ® 则二面角 A-BCP的大小为 .法一：（几何法）由题意可知 ACL BC 3又PAL平面ABC PAL BC. PAH AC= A,BCL平面 PACBCL PC / PC曲二面角 A BC P的平面角.在 RtBCA中，AB= 2, BC= & AC= 1.在 RtPCA中，PA= 73, tan / PCA= 77 AC / PCA= y.法二：（坐标法）以A为原点，AP为z轴，AC为y轴，过A且垂直

8、于AC的直线为x轴, 建立空间直角坐标系，如图所示.由AB= 2, PA= BC= 73,可知AC= 22-3 =1. R0,0 ,出），R小，1,0）, qo,i,0）,PB=（m，1, - ® PC= （0,1 , -回设平面PBC勺法向量n=（x, v，z），则|n PB= 0,n , PC= 0,取 z=1 得 n=(0, 6 1).平面ABC勺法向量m （0,0,1）设二面角A-BGP的平面角为0 ,则cos| mv n| _ 1 Iml n| =2,兀,9 =不3能力提升练（建议用时：15分钟）7.如图，在各棱长均为 2的正三棱柱 ABCABC中，D, E分别为棱 AB与

9、BB的中点，MN为线段GD上的动点，其中，M更靠近D,且MN= GN.(1)证明：AE，平面 ACD;(2)若NE与平面BCCB所成角的正弦值为 嚓，求异面直线BM与N即成角的余弦值.解(1)证明：由已知得 ABG为正三角形，D为棱AB的中点，:.GDI AB,在正三棱柱 ABCABG中，AA，底面 ABC, CD底面 ABC,则AACD又 ABAAA=A, AB, AA平面 ABBAi, CD，平面 ABBA,又AE平面ABEAi,GDI AiE.易证AiE± AQ又 Am CiD= D, AD, CD平面 ACD, 二AE，平面 ACD.(2)取BC的中点Q BG的中点O,连接A

10、Q则AQL BC OO1 BC OO1 AQ以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Qxyz,则 R0,i,0) , E(0,i,i),0(0, T，2),喏,2, 2 j,设CN= xcd=侵入，3入，0 j. 则 NE=C E GN= (0,2 , 一：平入,2入,0)易知n = (i,0,0)是平面BCCB的一个法向量,乌一2(T0 |cos N nr 入 26 入 +5 =20,i解得入=式负值舍去)， 3*,1一)Cm= 2入Cb=电,i, 0)BM= BC+ GM=.cos NE, BM_11 10=40，异面直线NE与BM所成角的余弦值为吗10408.如图，CD AB分别是圆

11、柱的上、下底面圆的直径，四边形ABCO边长为2的正方形,E是底面圆周上不同于 A, B两点的一点，AE= 1.(1)求证：BE1平面DAE(2)求二面角 CDB E的余弦值.解(1)证明：由圆柱的性质知，DAL平面ABE又BE平面ABEBE! DA又AB是底面圆的直径，E是底面圆周上不同于 A B两点的一点，BE!AE又 DAO AE= A, DA AE平面 DAEBE!平面 DAE(2)过A在平面AE卧作垂直于 AB的直线，建立如图所示的空间直角坐标系，, AB= AD= 2, AE= 1, . . BE= &.E竽,2, 0 j D(0,0,2) , B(0,2,0), 3 x/3

12、1' 一. ED=1%, -2, 2 , BD= (0, -2,2),取平面CDB勺一个法向量为n1= (1,0,0),设平面EBD勺法向量为n2=(X2, y2, Z2),n2 - ED= 0,则彳TI2 - BD= 0,Px2 y2+2z2= 0,厂即:22取Z2=1,则氏=(，3, 1,1)为平面EBD勺一个法向量.12y2+2z2= 0,m n2315cosm, n2> = -=,|m| 丘|55又易知二面角C-DBE为钝角,，二面角GDB-E的余弦值为一平.每日押题内容押题依据探索性问题，线面平行的性质、线面角的求法探索性问题图考还未考查， 可以较好的考查考 生的思维，

13、逻辑推理、运算等核心素养【押题】如图，在四棱锥 P-ABCD3,底面ABCD平行四边形，PDL平面ABCD PAAD- BD- 2, AB= 2加，E是棱PC上的一点.(1)若 PA/平面 BDE 证明：PE= EC(2)在(1)的条件下，棱PB上是否存在点 M使直线DMI与平面BD即成角的大小为30° ? 若存在，求PM： MB的值；若不存在，请说明理由.解(1)连接AC交BD于点F,连接EF,则EF是平面PACW平面BDE勺交线，因为PA/平面BDE PA平面PAC所以PA/ EF.又因为F是AC中点，所以E是PC的中点，所以PE= EC(2)由已知条件中，aD+bD= Ad,所以AD± BD以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系.一， -则 以0,0,0) ,7200) ，口0,2,0) ,R0,0,2) ,C( 2,2,0)，及一1,1,1) ,DE= (-1,1,1),DB= (0,2,0). ， ,. 假设在棱PB上存在点 M设PM= XPB：0W入W1),17得 M0,2 入，2 2 入)，DM= (0,2 入，2 2 入)，记平面BDE勺法向量为 m=(X1, y, Z1),n1 , DE= 0, X1+