1.2 第三章_复变函数的积分ppt课件

1、 内容提要：在微积分中，当引入实变量函数的内容提要：在微积分中，当引入实变量函数的积分后，可以解决很多的重要的问题，在复变函数积分后，可以解决很多的重要的问题，在复变函数中也一样，当引入复变函数的积分后，也可以解决中也一样，当引入复变函数的积分后，也可以解决很多理论及实际问题今后还可以看出用复变函数很多理论及实际问题今后还可以看出用复变函数的积分给计算某些定积分带来很大的方便的积分给计算某些定积分带来很大的方便 本章内容与实变量二元函数有紧密关系，特别本章内容与实变量二元函数有紧密关系，特别是二元函数的第二类曲线积分的概念、性质和计算是二元函数的第二类曲线积分的概念、性质和计算方法，全微分及积

2、分与的问题，格林公式等方法，全微分及积分与的问题，格林公式等 3.1 复积分的概念复积分的概念3.2 柯西积分定理柯西积分定理3.3 柯西积分公式柯西积分公式3.4 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数一、复积分的定义一、复积分的定义 有向曲线：设有向曲线：设C C为平面给定的一条光滑或按为平面给定的一条光滑或按段光滑的曲线，如果选定段光滑的曲线，如果选定C C的两个可能方向的一的两个可能方向的一个作为正方向或正向），则我们就把个作为正方向或正向），则我们就把C C称为有向称为有向曲线与曲线曲线与曲线C C反方向的曲线记为反方向的曲线记为 简单闭曲线正向：当曲线上的点简单闭曲线正向：当曲线上的

3、点P P顺此方向顺此方向前进时，邻近前进时，邻近P P点的曲线内部始终位于点的曲线内部始终位于P P点的左方，点的左方，这时曲线方向称为正方向。这时曲线方向称为正方向。 （右手法则）（右手法则） 1CC0zA1z1kzkz1nznzBOxy定义定义1 1： ( )wf zD设函数定义在 内，(1)分割：把曲线 任意分成 个小弧段，设分点为：Cn0121,kknAzz zzzzB(0,1,2, )kkkzxiykn其中，C为区域为区域D内起点为内起点为A终点为终点为B的一条有向光滑的简单曲线的一条有向光滑的简单曲线 1(2)(1,2,)kkkkkzzkni取点：在每个弧段上， 任取一点，1()(

4、)(),kkkkkfzfzz则1.kkkkkzzzxi y 其中111()()(),(3)作和：nkkkknkkkfzzfzOxyC0zA1z1kzkz1nznzBk0n(4)极限：设 表示 个小弧段的最大长度，当时，kC无论 怎样分，怎样取，如果和式则称此极限值为函数01( )dlim().记作：nkkCkf zzfz().类似于微积分中的曲线积分1()nkkkfz的极限唯一存在，C0zA1z1kzkz1nznzBkOxy( )f zCAB沿曲线 自 到 的复积分.( )d , (1)若 为闭曲线，则沿闭曲线积分为CCf zz(2)( )d积分表示沿曲线 自 到 的复积分，Cf zzCAB(

5、 )d积分表示沿曲线 自 到 的复积分.Cf zzCBA();C的正方向是逆时针方向说明：说明： 二、复积分存在条件及其计算公式二、复积分存在条件及其计算公式p55p55）定理定理1 1：( )( , )( , )f zu x yiv x yC设函数在光滑曲线 上( )d连续，则复积分存在，且有积分公式：Cf zz( )d( , )d( , )d( , )d( . )dCCCf zzu x yxv x yyiv x yxu x yy( )d( , )d( , )d( , )d( . )dCCCf zzu x yxv x yyiv x yxu x yy11() (,)(,)()nnkkkkkkk

6、kkkfzuivxi y 11 (,)(,) (,)(,)nkkkkkkknkkkkkkkuxvyivxuy 证明：证明：( )f zC由于函数在光滑曲线 上连续，( , ), ( , ),u x y v x yC在光滑曲线 上也连续0当时，上式右端极限存在，且有( )( , )( , )( , )( . )CCCf z dzu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy说明：说明：(1)( )( , )( , )f zu x yiv x y当函数在光滑曲线的曲线积分来计算.( )d上连续，则复积分存在；CCf zz(2)( )d可以通过两个二元实变函数Cf zz三、复积分

7、的性质三、复积分的性质(p58) (p58) 因为复积分的实部和虚部都是曲线积分，因而，曲线积分的一因为复积分的实部和虚部都是曲线积分，因而，曲线积分的一些基本性质对复积分也成立些基本性质对复积分也成立 (1)( )d( )d ; CCf zzf zz(2)( )d( )d ,();为常数CCkf zzkf zz k(3) ( )( )d( )d( )d ;CCCf zg zzf zzg zz1212(4)( )d( )d( )d);，(其中CCCf zzf zzf zzCCC(5)*( )d( ) d .CCf zzf zs证明性质证明性质5 5）( (不证不证) )： 1|()|nkkkf

8、z1|()|nkkkfz1|()|,nkkkfs1kkkszz其中是小弧段的长，22|kkkkzxys 22| |dzdxidydxdyds注意：，因此01lim|()|nkkkfz01lim|()|nkkkfz01lim|()|nkkkfs( )( )CCf z dzf z ds( )( )CLf zCf zM特别地，若曲线 的长度为 ，函数在 上有界，即：( )( )CCf z dzf z dsML（估值不等式） 回忆回忆:对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法),(, ),(yxQyxP设在有向光滑弧在有向光滑弧 L 上有定义且上有定义且L 的参数方程为的参数方程为)()(ty

9、tx,:t则有：则有：LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t )(ttd)(),(ttQ连续连续, 注：积分下限的参数值对应曲线的起点，积分上限的参数值对应曲线的终点下限不一定要小于上限）。( )d( , )d( , )d( , )d( . )dCCCf zzu x yxv x yyiv x yxu x yy1:( ),ddd ,( )d()(dd ).则CCf zuivzxi yf zzuivxi y利用本节公式计算复积分的基本方法：利用本节公式计算复积分的基本方法： 注：在已知曲线注：在已知曲线C的方程的条件下适合用以下的方程的条件下适合用以下方法计算复积分。方法计算复

10、积分。( )d ( ), ( ) ( ), ( ) ( )( )dCf zzu x ty tiv x ty tx tiy tt( ), :,( )Cxx ttyy t2:光滑曲线 参数方程：( )d()(dd ).CCf zzuivxi y( )d ( ) ( )d .Cf zzf z t z tt( )( )( ),:,Czz tx tiy tt3:复数形式的曲线 参数方程：例例1(p56)1(p56)d计算的值，其中 为Cz zC121(1)1.zziC沿从到点的直线段2(2)10,C沿从点 到点 的直线段30iC与从点到点 的直线段所接成的折线段.zi1z 解：法一曲线的实方程）解：法一

11、曲线的实方程）1(1):1,1. Cxyyxdd yx11,0. zxzixd()(dd )CCz zxyixi y01(1) )(dd )xx ixi x01(1) )(dd )xx ixi x01(1)(1)di xiix0011(1)(1)d(1)diix xiix12 ()12 i i2(2)10,C沿从点 到点 的直线段30iC与从点到点 的直线段所接成的折线段.zi1z 2:0,d0.Cyy11,00.zxzx3:0,d0.Cxx00,1. zyziy 注：由此题可以看出，尽管起点、终点都一注：由此题可以看出，尽管起点、终点都一样，由于沿不同的曲线积分，积分值是不同的，样，由于沿不

12、同的曲线积分，积分值是不同的，积分与路径有关。积分与路径有关。12d()(dd )()(dd )CCCz zxyixi yxyixi y0110ddx xy y0解：法二（解：法二（ 曲线的复方程）（曲线的复方程）（p56）（例（例2 2不讲）不讲）CzdzC计算的值，其中 为01(1)1(1) ,01ziCzi tt 沿从原点到点的直线段 ：12(2)1,01zCztt 沿从原点到点的直线段：1031,01zzCzitt 与从 到 的直线段：所接成的直线.01zi 11z 解：解：1010(1)()(1)21;Czdztiti dttdt（例（例2 2）01zi 11z 解：解：23(2)C

13、CCzdzzdzzdz1100(1)tdtit idt11()122ii 注意：由此题可以看出，尽管起点、终点都注意：由此题可以看出，尽管起点、终点都一样，但沿不同的曲线积分，积分值是不同的，一样，但沿不同的曲线积分，积分值是不同的，积分与路径有关积分与路径有关例例3 3解：解：2d沿下列路线计算积分，其中Czz(1)3i自原点至的直线段；(2)33. i自原点沿实轴至 ，再由铅直向上直线至3i(1)连接原点至的直线的参数方程为：(3) ,01zi tt 1220d(3) (3)dCzzi tit13 20(3)di tt3 3 13011(3)|(3) .33i ti33 i解：解：12(2

14、):0,d0,03:3,d0,01曲线方程为：，CyyxCxxy12222dddCCCzzzzzz312200d(3) d( )xxiyiy3 33 10011(3) 33xiy333311113(3)3(3)3333ii 注意：此题说明，沿不同的路径积分的结果是注意：此题说明，沿不同的路径积分的结果是相同的，即积分与路径无关，相同的，即积分与路径无关， 33 i例例3 3p57p57）00d(). 计算其中 为以 为中心， 为半径的正向圆周， 为整数nCzzzCzrn解：解：22200()()xxyyr圆周的参数方程为：00cos,02sinxxryyr00(cos )(sin ),02zx

15、ri yr复数形式的参数方程为：000()(cossin ),02izxiyrizre200dd()inninCzirezzr e22(1)1(1)100ddi nni nniierer1n 当时，200dd2;()nCziizz0d1() 当时，nCznzz210(cos(1)sin(1) )d0.nininr02,1d0,1() nCinznzz综上所述：综上所述： 注：这个积分结果以后常用，它的特点是：注：这个积分结果以后常用，它的特点是：积分结果与圆周的中心和半径无关积分结果与圆周的中心和半径无关 0.Czrn其中 为以 为中心， 为半径的正向圆周，为整数 例例4 4* *(p58)(

16、p58)34,Ci设曲线 为从原点到点的直线段解：解：(34 ) ,01Czi tt 的参数方程为：11CCdzdszizi由估计不等式：2211(34 )113(41)9(41)zii tittittC在 上1.Cdzzi试求积分绝对值的一个上界221111(34 )3(41)9(41)zii tittittC在 上21534925()2525t155255.333CCdzdszi从而有：例例5 5* *p(59)p(59)32| |0lim0.1zrrzdzz试证：证明：证明：0,1rr这里讨论故不妨设，有估计不等式：| zr因为在上，33332222,1111zzzrzrzz334222

17、| |2|2111zrzrrdzrzrr0r 上式右端当时的极限为0，故左端极限也为0,32| |0lim0.1zrrzdzz即：有估计不等式得：1、作业：练习册、作业：练习册 3.1 复积分的概念复积分的概念2、复习：（高等数学）、复习：（高等数学） 格林公式、积分格林公式、积分 与路径无关的条件与路径无关的条件今天不交作业：今天不交作业：下周第二次课交下周第二次课交3.1 和和3.2两张两张本节我们将要学习：本节我们将要学习： 2 2、复合闭路定理复连通区域内的解析函数、复合闭路定理复连通区域内的解析函数的复积分的计算）的复积分的计算） 1 1、复积分与路径无关的条件，即复积分沿闭、复积分

18、与路径无关的条件，即复积分沿闭曲线积分值为零的条件。（柯西积分定理）曲线积分值为零的条件。（柯西积分定理） 3 3、原函数单连通区域内的解析函数的复积、原函数单连通区域内的解析函数的复积分的计算）分的计算）LD区域区域 D 分类分类单连通区域单连通区域 ( 无无“洞区域洞区域 )多连通区域多连通区域 ( 有有“洞区域洞区域 )域域 D 边界边界L 的正向的正向: 右手法则。右手法则。定理定理. 设区域设区域 D 是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线 L 围成围成,则有则有, ),(yxP),(yxQyxyPxQyQxPDLdddd 函数函数在在 D 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数

19、,（1格林公式：格林公式：0：知识回顾：知识回顾（2平面上曲线积分与路径无关的等价条件平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理. 设设D 是单连通域是单连通域 ,),(),(yxQyxP在在D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(1) 沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L , 有有.0ddLyQxP(2) 对对D 中任一分段光滑曲线中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关与路径无关, 只与起止点有关只与起止点有关. 函数函数则以下四个条件等价

20、则以下四个条件等价:在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 一、柯西积分定理一、柯西积分定理 ( )f zD设函数在单连通区域 内( )f zDC那么函数在 内沿任何一条封闭曲线 的积分为零，D(1)单连通区域C(3)闭曲线(2) ( )f zD在区域 内处处解析( )0.Cf z dz 则处处解析，( )d0. Cf zz即：即：定理定理2：（柯西：（柯西古萨基本积分定理）古萨基本积分定理）(p60) 定理定理2 2的证明：的证明：( )( )因为函数在区域 内解析，故存在,f zDfz因为 与 的一阶偏导数存在且连续，uv( )( )f zfz（注：以后我们将知道只要函数

21、解析，必连续）( )(下面在连续的假设下证明fz应用格林公式得：( )()()( , )( , )( , )( . )CCCCf z dzuiv dxidyu x y dxv x y dyiv x y dxu x y dy()()GGvuuvdxdyidxdyxyxy ( ),GCf zCR其中 为简单闭曲线 所围区域，由于函数解析，方程成立( )0.Cf z dz 说明说明1 1：( )CGf zGC若曲线 是 的边界，如果函数在 内和 上解析，那么仍有：( )d0. Cf zzG(1)单连通区域C(2)闭曲线(3) ( )f zGC在 内和 上解析( )d0.则Cf zzC说明说明2(p6

22、0)2(p60)：( )f zGGGC若函数在 内解析，在闭区域上连续，仍有：( )d0. Cf zzD(1)单连通区域C(2)闭曲线(3) ( )f zGGGC在 内解析，在上连续( )0.Cf z dz 则C定理定理3(p60)3(p60)：0112011( )f zDzzDCCzzC设函数在单连通区域 内解析， 与 为内任意两点，与为连接 与 的积分路线，与2CD都含于内，则12( )d( )dCCf zzf zz 该定理表明：单连通该定理表明：单连通区域内的解析函数的积分区域内的解析函数的积分与路径无关与路径无关 1C2C0z1zD定理定理3 3的证明的证明(p60)(p60)：12(

23、 )d( )dCCf zzf zz1C2C0z1zD1212( )d( )d( )d0 CCCCf zzf zzf zz证明：依柯西证明：依柯西- -古萨基本定理古萨基本定理12( )( ).CCf z dzf z dz例例6(p61)6(p61)sin d0Cz zsin d|1| 1|1| 102.计算积分，其中(1) 是圆周的正向。(2) 是圆周的上半周，方向为从 到Cz zCzCz解：解：sin z(1)因为函数是全平面的解析函数，由柯西-古萨基本定理:sin z(2)因为函数是全平面的解析函数，由柯西-古萨基本定理,它的积分与路径无关，1,C于是可以换一条路线沿实轴从0到2积分得：1

24、sinsinCCzdzzdzoxyC1C220sin1 cos2.xdx 例例7 7ReIm| 1CCCzdzzdzzdzCz 计算积分， 其中是圆周的正向。 说明：若说明：若f (z) 的积分等于零，并非一定有的积分等于零，并非一定有Re f (z) 或或Im f (z) 的积分也为零。的积分也为零。0ReIm.CCCzdzzdzizdz ，Re d(dd )CCz zxxi y20cos ( sincos )dii二、复合闭路定理二、复合闭路定理定理定理4 4：（闭路变形定理）：（闭路变形定理） (p61) (p61) 1221设与是两条简单闭曲线，为逆时针方向，C 在 内部，CCC12域

25、 内解析，在上连续，DDDCC12( )d( )d .CCf zzf zz1C2C 一个解析函数沿闭曲线的积分不会因闭曲线在区域内作连续的变形而改变它的值，这事实称闭路变形原理 则12( )函数在与所围成的二连通区f zCC1C2CABCD1,LABBC CD DA设2,LBA AD DC CB由柯西 古萨基本定理得：12( )0,( )0LLf z dzf z dz12( )( )LLf z dzf z dz证明：证明：12( )( )0,CCf z dzf z dz12( )( ).CCf z dzf z dz推论：（复合闭路定理）推论：（复合闭路定理） (p62) (p62) CD设 为

26、多连通区域 的一条简单闭曲线，12, 是在 内部的简单闭曲线，nC CCC12,不相交，并且以为边界的区域全包含于 ，nC C CCD1( )d( )d ,knCCkf zzf zz1C2CnCCD其中 及均取正方向.kCC它们互不包含也互( )如果函数在f z内解析，则D1( )( ),knCCkf z dzf z dz( )0f z dz kCC其中 及均取正方向.(1,2, )kCCkn这里 为 及，C是 按逆时针进行，所围成的复合闭路,其方向kC按顺时针进行.证明：证明：1C2CnCCD00d2. 对包含 的任何一条正向简单闭曲线 ，都有CzCzizz解：我们分两步来说明解：我们分两步

27、来说明例例1 100d(1)(). 计算其中 为以 为中心， 为半径的正向圆周，为整数nCzzzCzrn02,1d0,1() 结论：nCinznzz（教材（教材p57 例例 3.2）0(2)根据闭路变形原理，对包含 的任何一条正向简单闭曲线 ，都有zC0d2. Czizz例例2 2p62p62）2(21)d1. 计算积分的值，其中 为包含圆周在内任何正向简单闭曲线CzzCzzz1C2CC1z 解：解：221( )因为函数在zf zzzC外是处处解析的，所以在 内0,1zz复平面内除两个奇点0,1zz以为圆心分别作两个互根据复合闭路定理，得：12不包含也互不相交的正向圆周与，CC1C2CC1z

28、2(21)(21)(1)CCzdzzdzzzz z11()1 Cdzzz111()1 Cdzzz20i211()1 Cdzzz02 i4i三、原函数三、原函数由柯西积分定理可知由柯西积分定理可知: :（p63p63）( )如果函数在单连通区域 内处处解析，f zD( ).Cf z dzC则积分与连接起点及终点的路线 无关01即：解析函数在单连通区域内积分只与曲线的起点 及终点 有关，于是：zz10( )d( )d ,zCzf zzf zz表示与积分路径无关.积分上限积分上限积分下限积分下限1 1积分上限函数积分上限函数 (p63) (p63)01zzz若固定 ，让上限变动，则积分0( )dzz

29、f zzz称为积分上限 的函数，记作：0( )( )dzzF zf zz0( )d .zzf( )( )设函数在单连通区域 内解析，则函数必为 内的一个解析函数，f zDF zD且0( )( )d( )zzF zff z定理定理5 (p63)定理的证明不作要求定理的证明不作要求证明：证明：,zzkD以 为中心作一含于的小圆zzzk取充分小，使在 内，于是00()( )( )( )zzzzzF zzF zfdfd00( )zzzfdzz由于积分与路径无关，因此的积分路线可取先从 到 ，zzz 然后再从 沿直线段到，00( )zzzzfd而从 到 的积分路线取得与积分的积分路线相同，于是有( )(

30、 )zDf zDf zD设 为 内任意一点，因为函数在 内解析，所以在 内连续，0zD总可以找到一个，使得对于满足( )( ).ff z的一切 ，都有0 因此对，根据积分估值性质：()( )1( )| ( )( )|zzzF zzF zf zff z dzz11( )( )zzzff z dszzz0()( )lim( )0zF zzF zf zz 也就是说，( )( ).F zf z即：0zzzzk小圆半径为 的圆周()( )1( )( )( )zzzF zzF zf zfdzf zzz从而1( )( )zzzzzzfdf z dz1 ( )( )zzzff z dzD2 2原函数的概念原函

31、数的概念(p64) (p64) ( )( )( )( )F zDf zF zf z定义：如果函数在区域 内的导数等于，即:，( )( ).F zf zD则称函数为在区域 内的原函数0( )( )d( )(1)积分上限函数是的一个原函数；zzF zff z( )f z(3)函数的任意两个原函数之差为一常数；( )( )f zDF z(2)如果函数在区域 内有一个原，那么( ),F zC C它就有无穷多个原函数( 为任意常数).结论：结论： 定理定理6(p64)6(p64)( )( )( )设函数在单连通区域 内解析，函数为的一个原函数，则f zDG zf z1010( )d()()zzf zzG

32、 zG z01,.zzD其中为区域 内的两点证明：证明：0( )( )( )zzF zf z dzf z因为是函数的一个原函数，0000( )()0zzzzf z dzG zC当时，0( )( )所以，zzf z dzG zC 注：定理注：定理6 6类似于微积分学中的基本定类似于微积分学中的基本定理：牛顿理：牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式 有了定理 6，复变函数的积分就可用跟实变量函数微积分学中类似的方法计算，分部积分法，换元积分法均可用在复变函数积分中 110010( )d( )()=( )zzzzf zzG zG zG z0(),CG z 00( )( )()zzf z dzG zG z于是

33、，1010( )( )().zzf z dzG zG z 有了定理 6，复变函数的积分就可用跟实变量函数微积分学中类似的方法计算，分部积分法，换元积分法均可用在复变函数积分中 110010( )d( )()=( )zzzzf zzG zG zG z例例3(p573(p57例例3.3)3.3)d求积分的值.其中C为从原点到点3+4 的直线段。Cz zi解：解：( )f zz函数在全复平面内解析，2 3 42011d|(34 )22iCz zzi例例4(p574(p57例例3.2)3.2)2(1)10d求积分的值.i nnier解：解：(1)( )i nf ze函数在全复平面内解析，2(1)102

34、(1)10d2,1,10,1.(1)i nni nnierinennr例例5(p655(p65例例3.8)3.8)d0,1,2,求积分的值.：均为有限复数。bnazzna b解：解：( ) 函数在全平面内解析，nf zz111d11()(1)(1)bnabnnnazzzbann例例6 61Im( )0,Re( )0ln(1)1d1试沿区域内的圆弧，计算积分的值.izzzzzz解：解：ln(1)( )1zf zz因为函数在所设区域内解析，2111ln(1)1ln(1) ln(1)ln (1)|12iiizdzzdzzz221ln (1)ln 22i2211( ln2)ln 2224i23ln 2

35、ln2.3288i 例例7(p657(p65例例3.9)3.9)ln(1)d计算：，其中C是从- 到 的直线段.Czzii解：解：( )ln(1)1f zzxDD 函数是在平面除去负实轴上一段的区域内单值解析，而区域是单连通的，故：ln(1)dln(1)|d1iiiCizzzzzzz( 2ln2) .2i ln(1)d的计算.Czz注：注：ln(1)dln(1)d(1)1(1)ln(1)|d1(1)ln(1)(1)ln(1)2CCiiiizzzzzzzzziiiii( 2ln2) .2i 例例8(8(备用备用) )11d求积分的值.izzez解：解：( )zf zze函数在全复平面内解析，11

36、1111|iizzizze dzzee dz111(1)|izii eee 111(1)iiii eeie(cos1sin1)ieieeii( sin1cos1).ei一、柯西积分公式一、柯西积分公式 00设 为一单连通区域， 为 中一点. 为内围绕的一条封闭曲线。DzDCDz012 (2)Cdzizz0( )=Cf zdzzz 问题：？( )( )0. (1) 如果在 内解析，则Cf zDf z dz0zC00( )f zzzz在 处不解析100( )( )CCf zf zdzdzzzzz由闭路变形定理：1C2C3CnC20( )Cf zdzzz( )f z由于函数的连续性,0( )(),f

37、 zf z0000()( )2().CCf zf zdzdzif zzzzz猜想：0( )nCf zdzzz z定理定理8 8：( (柯西积分公式）柯西积分公式）(p66) (p66) ( )f zC设函数在简单闭曲线 所围成的区0DDDCzD域内解析，在上连续， 为内任意一点，则001( )( )2 Cf zf zdzizz定理的证明不作要求定理的证明不作要求定理定理8 8：( (柯西积分公式）柯西积分公式）(p66) (p66) ( )f zCD设函数在简单闭曲线 所围成的区域内解析，0DDCzD在上连续，为 内任意一点，则001( )().2Cf zf zdzizz 证明：证明：00(

38、)f zzz由于函数在 解析，当然在 点连续，000,( )0,( )().zzf zf z 当时，都有00zk zzC作以 为中心， 为半径的圆周 ：，使其全部在 的内部，且，则0zK00( )( )Ckf zf zdzdzzzzz0000()( )()kkf zf zf zdzdzzzzz000( )()2()kf zf zif zdzzz 0000( )()( )()2kkCf zf zf zf zdzdsdszzzz而00( )2()2,kf zdzif zzz 00( )2().Cf zdzif zzz 于是0zK几点说明：几点说明：001( )(1)()2Cf zf zdzCizz

39、 公式把一个函数在内部任一点的值用它在边界上的积分值表示，这是解析函数的又一特征. （2柯西公式提供了计算积分的一个新方法：柯西公式提供了计算积分的一个新方法：00( )2().Cf zdzi f zzz （3柯西公式可表成如下形式柯西公式可表成如下形式(p67)（研究函数（研究函数的工具）：的工具）：1( )( ).2Cff zdiz 例例1 1计算下列积分计算下列积分(p68)(p68)| | 41sin(1),2zzdziz 412(2)().13zzdzzz 解：解：41sin(1)2zzdziz 0sin|0.zz223.(9)()zzdzzzi （ ）解：解：412()13zzdz

40、zz 441213zzzdzdzzz3222 |ziiz412(2)().13zzdzzz 21214.iii223.(9)()zzdzzzi （ ）解：解：22229(9)()()zzzzzdzdzzzizi 22|.95ziziz例例2 2计算下列积分计算下列积分 2,(1)Cdzz z 3.2C zi其中 ：的正向解：解：210(1)Czz z因为函数在 内有两个奇点，12104zziCC所以分别以及为圆心，以为半径作圆周及，由复合闭路定理，得：zi及，12222(1)(1)(1)CCCdzdzdzz zz zz z12211(1)()()CCzz zidzdzzzi201122(1)(

41、)zz iiizz zi122().2iii（介绍（介绍 p67 p67推论推论1 1* *：（平均值公式）：（平均值公式）00( )|f zzzRzzR设函数在内解析，在上连续，则20001()(e ).2if zf zRd这表明解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.推论推论2 2* *：12( ),f zC C设函数在简单闭曲线所围成的二连12,DC C通域 解析，并在21CC上连续，在 的内部，120001( )1( )().22CCf zf zf zdzdzizzizz0zD为 内一点，则二、最大模原理二、最大模原理( (不讲不讲) ) 由平均值公式还可以推出解析函数的一个重要性

42、质，即解析函数的最大模原理.定理9：（最大模原理） ( )( )f zDf z设函数在区域 内解析，又函数不是常数，|( )|Df z则在 内没有最大值. 这个定理表明一个解析函数的模，在区域内部的任何一点都达不到最大值，除非这个函数恒等于常数这是解析函数一个非常重要的原理 推论1：DD区域 内解析的函数，若其模在 的内点达到最大值，则此函数必恒为常数.推论2：( )f zDD若函数在有界区域 内解析，在 上连续，|( )|f zD则必在 的边界上达到最大值.说明：最大模原理不仅是复变函数论一个很重要的原理，而且在实际上也是很有用的原理，它在流体力学上反映了平面稳定流动在无源无旋的区域内流体的

43、最大值不能在区域内达到，而只能在边界上达到，除非它是等速流体 例4| |( )0( )max |( )|zrf zrM rf z设在全平面为解析函数，又对任意，令，( ).M rr求证是 的单调上升证明：0( )|rf zzr因为对于任意的，函数在上解析，( )|f zzrzr所以由最大值原理及其推论2知，函数在上的最大值必在上取得，| | |( )max|( )| max|( )|zrzrM rf zf z即：，12rr因此，当时，有：1212| | |( )max|( )| max|( )|( )zrzrM rf zf zM r( ).M rr即是 的单调上升函数课堂练习课堂练习 请同学自

44、备纸张，写清班级请同学自备纸张，写清班级 、学号、姓名。做完后交给本班学习学号、姓名。做完后交给本班学习委员。委员。21d求积分的值.其中C为从原点到点2+3 的直线段。Czzisin d|1| 12计算积分，其中 是圆周的Cz zCz02.上半周，方向为从 到223.(9)() zzdzzzi课堂练习课堂练习222293.(9)()（ ）zzzzzdzdzzzizi22|.95z iziz2 3223 2 3300111d|(23 )33iiCzzz dzzi2200sin dsincos |1cos2 2Cz zzdzz课堂练习解答课堂练习解答( )( )f zg zDCD设函数与在区域

45、内解析， 为( )( )Df zg zC内任意一条简单闭曲线，它的内部完全属于，如果在 上所有的点都成立，( )( ).Cf zg z试证明在 内所有的点处也成立例例3不讲）不讲）000()().Czf zg z在 内部任意取一点 ，只需证明即可( )( )( )F zf zg z设，( )( )( )0Cf zg zF z因为在 上有，则，( )F zD而又是 内的解析函数，由柯西积分公式，得：证明：证明：CDC为 内任意一条简单闭曲线，在( )( )( )( ).f zg zCf zg z上，现在证明在 内部0001( )()21( )( )02CCF zF zdzizzf zg zdzi

46、zz0()0,F z00()().f zg z从而0( )( )zCf zg z由于 的任意性知：在 内部有今天交作业：今天交作业：3.1 和和3.2两张两张 因咽喉疼痛，讲话困难，请同学们因咽喉疼痛，讲话困难，请同学们保持课堂安静，不要讲话、不要睡觉、保持课堂安静，不要讲话、不要睡觉、不要玩手机，认真听讲。谢谢合作！不要玩手机，认真听讲。谢谢合作！一、解析函数高阶导数公式一、解析函数高阶导数公式 一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各高阶导一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各高阶导数，它的值也可以用函数在边界上的值通过积分来表数，它的值也可以用函数在边界上的值通过积分来表示这一点跟实变函数完全

47、不同，一个实变函数在某示这一点跟实变函数完全不同，一个实变函数在某一区间上可导，它的导数在这个区间上是否连续也不一区间上可导，它的导数在这个区间上是否连续也不一定，更不要说有高阶导数存在了下面我们讨论解一定，更不要说有高阶导数存在了下面我们讨论解析函数的各阶导数的解析问题析函数的各阶导数的解析问题 柯西公式：推广：推广： 00( )d2() Cf zzif zzz0( )d?() nCf zzzz02,1,1d0,1.() nCinznzz1( )( )d2 Cff ziz1( )( )d2 我们将柯西公式：的形式在积分号下对 求导得：Cff zizz21( )( ),2()Cffzdiz 再

48、继续又可得：再继续又可得： 32!( )( ),2()Cffzdiz ( )( )nnfz依次类推， 阶导数的可能形式是：( )( )nnfz依次类推， 阶导数的可能形式是：( )1!( )( ).2()nnCnffzdiz 这是求导与积分两种运算允许交换的条件下推出的，这样作是否可行呢？我们有以下定理 定理定理10(p71)10(p71)（不证）：（不证）：( )( )f zCDDDCf zDDz设函数在简单闭曲线 所围成的区域内解析，而且在上连续，则函数的各阶导数均在 内解析，对 内任一点有：( )1!( )( )2()(1,2,).nnCnffzdizn0z定理定理1010：( )f z

49、CDDDC设函数在简单闭曲线 所围成的区域 内解析，而且在( )f zDDz上连续，则函数的各阶导数均在 内解析，对 内任一点 ，有( )1!( )( ),(1,2,).2()nnCnffzdniz证明证明( (不证不证) )：1zDn 设 为 内的任意一点，先证明的情况，即21( )( ).2()Cffzdiz 0()( )( )limzf zzf zfzz 根据导数定义：，由柯西积分公式得：1( )( ),2Cff zdiz 1( )()2Cff zzdizz ()( )111( )2Cf zzf zfdzi zzzz 1( )2()()Cfdizzz 21( )()2() ()Cfzzz

50、dizzz 221( )1( )2()2() ()CCfzfddizizzz设后一个积分为 ，那么21( )2() ()Czfdzzz 2( )12()()Cz fdszzz ( ),f zCCC因为在 上解析，所以 上连续，故在 上有界0( ).Mf zM因此一定存在一个，使12dzCzzd设 为从 到曲线 各点的最短距离，并且取适当小，使满足，11,zdzd那么有，| |,2dzzzz 于是12|zzd3,()MLzLCd 所以为 之长0z00z 当时，从而有21( )( ),2()Cffzdiz .这证明了解析函数的导数仍是解析函数nk要完成定理的证明，只需应用数学归纳法，设时公式成立，

51、1nk证明时也成立，即证明下式：( )( )()( )kkfzzfzz 221(1)!( )(1)!( )2()2()kkCCkfkfddzizziz102(1)!( )0().2()kkCkfzfzdiz 当时，有说明：（说明：（1 1此公式可理解为把柯西公式此公式可理解为把柯西公式 1( )( )2Cff zdiz zn两边对 求 阶导，右边在积分号内求导，即( )1!( )( )2()nnCnffzdiz （2高阶导数公式提供了计算一类函数的积分方法 (1)00( )2().()(1)!nnCf zidzfzzzn 例例1(p75)1(p75).求下列积分的值3| 1cos(1)d ,(

52、) z izzzi22| | 4e(2)d .(1) zzzzz3| 1cos2(1)d(cos ) |()(3 1)! z iz izizzzicos ii22112222| | 4| |1|33eee(1)(2)ddd(1)(1) zzzzzzzzzzzzzzz220122(1)zzzzeeiizz2 (3e)i例例2 2 3(1)01.zCedzzzC 计算积分，其中 是不经过 与 的简单光滑闭曲线解解:(1) 0:(1) 0，1 1都不在都不在C C 内：内：1030(1)zCedzzz 根据柯西 古萨基本定理得：根据柯西积分公式得：33(1)(1)zzCCeezdzdzzzz0322.(1)zzeiizC(2)(2)仅仅0 0在在C C 内：内：10C根据高阶导数公式得：33(1)(1)zzCCeezdzdzzzz12.2!zzee iz 根据复合闭路定