线性代数的应用案例

1、案例一大学数学已知不同商店三种水果的价格、阵：商店 A 商店 B苹果0.100.15橘子0.150.20梨0.100.10不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩苹果 橘子 梨人员A 5 10 3人员B4 5 5人员 A 人员 B城镇1 1000 500城镇2 2000 1000第一个矩阵为A,第二个矩阵为B,而第三个矩阵为Co（ 1 ）求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？（ 2）求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？解： （ 1 ）设该矩阵为D ，则D=BA ，即：0.10 0.152.30 3.051.65 2.105 10 3D0.1

2、5 0.204550.10 0.102.30， 人员 A 在商店 B 购买水果的费用为1.65，人员 B 在商店 B 购买水果的费用为2.10。此结果说明，人员 A 在商店 A 购买水果的费用为3.50，人员B 在商店 A 购买水果的费用为（2）设该矩阵为 E,则E=CB,即：1000 500 5 10 3 E2000 1000 4 557000 12500 550014000 25000 11000此结果说明，城镇 1 苹果的购买量为7000， 城镇 1 橘子的购买量为12500， 城镇 1 梨的购买量为 5500；城镇2 苹果的购买量为14000，城镇 2 橘子的购买量为25000，城镇2

3、 梨的购买量为11000。题后说明：这是一个矩阵的具体应用问题。其实很显然在没有矩阵的知识前，我们也可以解出这一简单的问题。此题的一般提法是：现有两个城镇（城镇1 和城镇2） ；城镇 1 中有人员A（ 1000 人）和人员B（ 500 人） ，城镇 2 中有人员A（ 2000 人）和人员B（ 1000 人） ；人员 A 需苹果、橘子和梨分别5、 10 和 3，而人员B 需苹果、橘子和梨分别4、 5 和5；现不妨假设每个城镇中都有两个商店（商店A 和商店B） ，每个商店内的苹果、橘子和梨的价格均不相同。商店A中苹果、橘子和梨的价格分别为每斤0.10、 0.15 和0.10，而商店B 中苹果、橘子

4、和梨的价格分别为0.15、 0.20、 0.10。现问 : （ 1）每个商店每个人购买水果的费用是多少？（2）每个城镇每种水果的购买量是多少？解： （ 1 ）商店 A：人员 A 购买水果的费用为：5 0.10 10 0.15 3 0.10 2.30人员 B 购买水果的费用为：4 0.10 5 0.15 5 0.10 1.65商店B：人员A购买水果的费用为：5 0.15 10 0.20 3 0.10 3.05人员B购买水果的费用为：4 0.15 5 0.20 5 0.10 2.10此时如果用矩阵表示的话，有：商店A商店B人员 A 2.30 3.05人员 B 1.65 2.10显然答案与用矩阵算出

5、来的是一致的；同理对于（2）也是一样的。然而，不难看出利用矩阵求解此问题要简单明了的多。就此问题而言，数据简单且较少，如果是更为复杂的问题，如：假设这里的城镇有 10个，商店有50个的话。显然用一般解法是 很繁琐的，而用矩阵求解仍是只需要一个算式即可。案例二某文具商店在一周内所售出的文具如下表，周末盘点结账，计算该店每天 的售货收入及一周的售货总账.文具星期单价（元）一二三四五六橡皮（个）r 1585112200.3直尺（把）r 152018168250.5胶水（瓶）2001215431解由表中数据设矩阵1585112200.3, B0.52001215431则售货收

6、入可由下法算出15 15 203212.422.523.311.682000.3AT B518 120.5116 151128420 25321.5所以，每天的售货收入加在一起可得一周的售货总账，即32 12.4 22.5 23.3 11.6 21.5 123.3（元）案例三某工厂检验室有甲乙两种不同的化学原料，甲种原料分别含锌与镁10%与20%, 乙种原料分别含锌与镁10%与30%,现在要用这两种原料分别配制 AB两种试剂， A试剂需含锌镁各2克，5克，B试剂需含锌镁各1克，2克.问配制AB两种试 剂分别需要甲乙两种化学原料各多少克？解： 设配制A试剂需甲乙两种化学原料分别为 x, y克；配

7、制B试剂需甲乙两种化学原料分别为s,t克;根据题意，得如下矩阵方程0.1 0.1 ,X0.2 0.3卜面用初等行变换求A1,0.1 0.10.2 0.3,B0.1 0.1 10.2 0.3 0010rl110r2100010r22。100 r r11 r20 101 0 30100 120 10艮33201010 ，s30t201010101010010克，配制B试剂需甲乙两种化学即配制A试剂分别需要甲乙两种化学原料各 原料分别为10克，0克.案例四一百货商店出售四种型号的 T衫：小号，中号，大号和加大号.四种型号的T 衫的售价分别为：22元，24元，26元，30元.若商店某周共售出了 13件

8、T衫， 毛收入为320元.已知大号的销售量为小号和加大号销售量的总和，大号的销售 收入也为小号和加大号销售收入的总和，问各种型号的T衫各售出多少件？解 设该T衫小号，中号，大号和加大号的销售量分别为 x（i 123,4）,由 题意得x1 x2 x3 x4 1322x1 24x2 26x3 30x4 3201234x1 % x4 022x1 26x3 30x4 0下面用初等行变换把A化成行简化矩阵11111322242630320A10110111113。2 22r1,13 R024834r4 22rl012013022488286111113111113r42 0134834r3 2 r24

9、22 r202248 82861111132 0134 8001201300088004801 1 1113巾 0 120 13418r40 0 12 00 0 0 111 1 1 0 121 1 0 0 10r3 2r4r1 r40 13r2 2r3r1 r3010 0900 10200 0 110 10 0 90 0 10 20 0 0 1 122026300所以方程组解得x11x29X32X41因此T衫小号，中号，大号和加大号的销售量分别为1件，9件，2件和1件.案例五一个牧场，12头牛4周吃草10/3格尔，21头牛9周吃草10格尔，问24格尔牧 草，多少头牛18周吃完？（注:格尔一一牧

10、场的面积单位）解设每头牛每周吃草量为x,每格尔草地每周的生长量（即草的生长量）为y,每格尔草地的原有草量为a,另外设24a尔牧草，z头牛18周吃完.12 4x 10a/3 10/3 4y则根据题意得其中（x, y,a）是线性方程组的未知数21 9x 10a 10 9y z 18x 24a 24 18y144x 40y 10a 0化简得189x 90y 10a 018zx 432y 24a 0根据题意知齐次线性方程组有非零解，故 r(A) 3,即系数行列式144401018990100 ,计算得 z 36.18z43224所以24格尔牧草36头牛18周吃完.案例六田忌和齐王赛马双方约定出上、中、

11、下三个等级的马各一匹进行比赛，比赛共3场，胜者得一分，负者-1分。已知在同一等级的马进行赛跑，齐王可稳操胜券，另外，齐王的中等马对田忌的上等马，或者齐王的下等马对田忌的中等马，则田忌赢。齐王和田忌在排列赛马出场顺序时各取下列 6种策略之一：上、中、下上、下、中中、上、下中、下、上下、中、上下、上、中若将这6种策略从1到6依次编号，则可写出齐王的赢得矩阵311111131111113111A 111311111131111113案例七奶粉一奶粉二奶粉三甲超市5810抽象为矩阵A乙超市735甲乙两超市销售三种奶粉的日销售量见下表5 8 107 3 5单价与利润见下表单价利润15 1抽象为矩阵B 1

12、2 120 2奶粉一151奶粉二121奶粉三202求甲乙两超市销售奶粉总收入与总利润收入利润甲5 15 8 12 10 20 3715181 10 2 33乙7 15 3 12 5 20 2417 1 3 1 5 2 20371 33241 2015 15 8 10由此得矩阵C AB12 17 3 520 2案例八-机床定模型兴兴机械厂生产甲乙丙三种规格机床，其价格和成本见下表甲乙丙单价（万元每台）765成本（万元每台）64.54一月份，工厂收到北京上海和广东三地的订购数量如下表北京上海甲机床（台）457乙机床（台）568丙机床（台）349请计算各地订购三种机床的总价值总成本和总利润各是多少。

13、案例九军事通讯中的加密与解密军事中通讯中，需要将字符转化成数字，所以这就需要将字符与数字对应，如：a b c d . xy z1234 24 25 26如are对应的矩阵B= （1 18 5）,如果直接按这种方式传输，则很容 易被敌人破译而造成巨大的损失， 这就需要加密，通常的做法是用一 个约定的加密矩阵A乘以原信号矩阵B,传输信号时，不是传输的矩 阵B,而是传输的转换后的矩阵 C=Abt,收到信号时，再将信号还原。 如果敌人不知道加密矩阵，则他就很难弄明白传输的信号的含义。 设-1 0 1收到的信号为 C= 21 27 31T ,并且已知加密矩阵是 A= 0 1 1，问11 1大学数学原信号

14、 B 是什么？大学数学-1011000110100011-11解答 ：由加密原理知：所以先求逆矩阵：-1 0 1 1 0 00110101 110 01-10001-1010-12-10011-110 -1从而得到A-1 = -1 21 -10所以BT=A -1C= -11所以 B= 4 2 25 ，信号为BT=A-1C-1 0 1 1 0 00110100121011000-11010-12-10011-111-11-112142-127=2-113125dby.案例十 韩信点兵有兵一队，人数在500 到 1000 人之内，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问这队士兵多少人？案例十一

15、商品市场占有率有两家公司R 和 S 经营同类产品，他们相互竞争，每年R 公司保有四分之一的顾客，而四分之三转移到S 公司，每年S 公司保有三分之二的顾客，三分之一转移向R 公司。当产品开始制造时R 公司占有五分之三的市场份额，而S 公司占有五分之二的市场份额，问两年后， 两家公司占有的市场份额变化怎样？五年后又怎样？是否有一组初始市场份额分配数据使以后每年市场份额分配额定不变？解答：两年后市场份额 R和S公司分别为31%和69%,五年后市场份额 R和S公司分别为 31%和69%, R和S两家公司市场稳定的初始份额为十三分之四约为31%和十三分之九约为69%。案例十二 工人工资定价问题现有一个木

16、工、一个电工、一个油漆工三人相互同意彼此装修他们自己的房子，在装修之前，他们约定：(1) 没人总共工作10 天 ( 包括给自己家干活在内) ； (2)每人的日工资根据一般的市价在6080 元之间；(3) 每人的日工资数应使得每人根据分配方案的总收入与总支出相等，下面的表格是他们工作天数的分配方案, 表，确定他们每人的日工资.木工电工油漆工在木工家的工作天数216在电工家的工作天数451在油漆工家的工作天数443解：设Xi,X2,X3分别表示木工、电工、油漆工的日工资，根据总收入等于总支出, 建立方程组2x1X26X310x14x15x2X310X2整理得齐次线性方程组4x14x23X310X38x1X26X304x15x2X30解出方程组的全部解为4x14x27X3031XiX2X3368k 8 （其中k为任意实数）.1由于日工资在6080元之间，故取k 72布日工资分别为X1 62, x2 64, x3 72.案例十四一制造商生产三种不同的化学产品 A、B、C,每种产品都需要经过