线、面角的计算(讲义)

1、线、面角的计算(讲义)?知识点睛一、求异面直线所成的角的处理思路(1)平移：根据异面直线的定义，用平移法作出角；(2)证明：证明说理；(3)计算：求角度，常利用三角形求解；(4)结论：若求出的角是锐角或直角，则其即为所求角，若求出的角是钝角，则其补角为所求角.二、求线面角的处理思路1.定义法(1)找斜线上一点，过该点作平面的垂线；(2)连接垂足和斜足，得到斜线在平面内的射影，斜线与其射影所成的锐角 即为所求角；(3)把该角放在三角形中，解直角三角形，求角.注：垂足一般都是特殊点，比如中心、垂心、重心等.例：如图，在三棱锥S-ABC中，SO,底面ABC,垂足为O,则直线SB与 平面ABC所成的角

2、即为/ SBO.2.转化为点到平面的距离，利用等体积法求解例：如图，在三棱锥SABC中，设直线SB与平面ABC所成的角为，利用 等体积法求出点S到平面ABC的距离SO,则sin SO.三、求二面角的处理思路1 .定义法 方法一：直接在二面角的棱上取一特殊点，过该点分别在两个半平面中作 棱的垂线，得到平面角；例：图1中二面角P-AD-B的平面角为/ EOF,其中。为特殊点.方法二：由其中一个面上的某一特殊点作棱的垂线，过垂足作棱在另一个 平面内的垂线，得到平面角.例：图2中二面角P-AD-B的平面角为/ POM,其中P为特殊点.2 .三垂线法过其中一个面上的某一特殊点作另一个平面的垂线，过垂足作

3、相交棱在另 一个平面的垂线.例：图3中二面角P-AD-B的平面角为/ PON,其中P为特殊点，PN±¥ 面 ABCD.CB图3?精讲精练1 .如图，在直三棱柱 ABGAiBiG中，若/ BAC=90°, AB=AC=AAi,则异面直线BA与AG所成的角为（）A. 300B. 45°C. 60°D. 90°Cl第1题图第2题图2 .如图，在空间四边形 ABCD中，AB=CD,且AB与CD所成的角为30°, E, F 分别为BC, AD的中点，则EF与AB所成的角为（）A. 150°或 15°B. 150或

4、300C. 75°或 300D. 75°或 15°3 .如图，在四棱锥P- ABCD中，底面A BCD为矩形，侧棱 PA1底面ABCR AB=T3, BC=1, PA=2, E为PD的中点，则直线 BE与平面 ABCD所成角的正切值为:第3题图第4题图4 .如图，在空间四边形 ABCD中，平面ABDXT面BCR/ BAD=/ BCD=90° ,且AB=AD,贝U AC与平面BCD所成的角为5 .如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，CC与平面 A1BD所成角的余弦值为146.第5题图第6题图如图，平面ABCDL平面ABEF四边形ABCD是正方形，四

5、边形ABE支矩形,一 1且AF -AD a, G是EF的中点，则BG与平面ACG所成角的正弦值为27.如图，在三棱锥 P-ABC中，PA1底面 ABC, AC!AB, PA=AB=2, AC=1.(1)求证：PC!AB;(2)求二面角A-PC B的正弦值.8.如图，在三棱锥 P-ABC中，PC1平面 ABC, PC=3, / ACB=90°.D, E分别为线段AB, BC上的点，且CD=DE=V2 , CE=2BE=2.(1)求证：DEX平面PCR(2)求二面角A-PD-C的余弦值.9.P如图，在直三棱柱 ABGAiBiCi中，AC-1BC - AA12D是棱AAi的中点,DOXBD

6、.(1)求证：DCLBC;(2)求二面角Ai-BD-Ci的大小.CiBiA10.如图，直三棱柱ABCAiBiCi的底面是边长为2的正三角形，侧棱长为V3, D 是AC的中点.(i)求二面角Ai-BDA的大小；(2)求直线ABi与平面AiBD所成角的正弦值.11.如图，在三棱柱 ABCAiBiCi中，点Ai在平面ABC内的射影D在AC上，/ ACB=90°, BC=1, AC=CC=2.(1)求证：AGXAiB;(2)若直线AAi与平面BCCBi之间的距离为求二面角Ai-AB-C的正切12.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA，底面ABCD AC 272 , PA 2

7、, E 是 PC上一点，且 PE=2EC.(1)证明：PCL平面BED;(2)若二面角A-PBC为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.13.如图，AB是。的直径，C是。上异于A, B的点，直线PC 平面ABC, E, F分别是PA PC的中点.(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l ,试判断直线l与平面PAC的位置 关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l与。的另一个交点为D ,平面ABC上方的一点Q满1足DQ/ CP,且DQ 1CP .记直线PQ与平面ABC所成的角为 ,异面直 2线PQ与EF所成的角为面角E l C的大小为sin sin sin【参考答案】1.2.3.4.5.2 13134506.7.8.9.10.11.12.13.(2)证明略.至3(