2020年高二数学上册单元复习训练题6

1、一、选择题1. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与 它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60° 另一灯塔在船的南偏西75°，那么这只船的速度是每小时A . 5海里B. 5 ' 3海里C. 10海里D. 10 '3海里答案C解析 依题意有/ BAC = 60° / BAD = 75° 所以/CAD = Z CDA=15°从而CD = CA = 10,在直角三角形ABC中，可得AB = 5,于5是这只船的速度是05= 10海里/小时.2. 如下图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在 A所在

2、的河岸 边选定一点C,测出AC的距离为50m, / ACB = 45° / CAB = 105°后，就可以计算A、B两点的距离为B. 50 3mA. 50 2mC. 25 2m 答案A解析由题意知/ ABC = 30由正弦疋理ss/ ABC = sin/ ACB ABAC-sin/ ACB sin/ABC50 ：2(m).2这只船的航行速度为A. %*海里/小时C.号海里/小时B. 34 '6海里/小时D. 34 '2海里/小时解析如下图，在 PMN中,PM _ MN sin45 =sin120，3. 船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75

3、° 距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的 N处，那么.mn = 68晋=34&,二 v = MN=号倔海里/小时).M,V4. 为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶D处测得塔顶A的仰角为30°,测得塔基B的俯角为45°,那么塔AB的高度是A . 20 1 +20 1 + 中C. 20(1 + 3)m答案AD. 30m解析如下图，四边形20m,所以 BM = 20m.又在RtAAMD中，CBMD为正方形，而CB =f 20m®DM = 20m,/ ADM = 30°20 AM = DMtan30 = 3 m

4、), AB = AM + MB = 20 $3+ 20 = 20 1 + f m.asin a sin |3AsinBa亠 acos a cos BC. sin as in a sin BB.COS B- a-acos a cos B D-cos B a5. 如下图，D, C, B三点在地面同一直线上，DC = a,从C、D 两点测得A点的仰角分别是 仅a ( a v,B那么点A离地面的高AB等于解析在厶ADC中，/ DAC = B a,由正弦定理,AC =a 得 AC = asin asin = sin B a '得 sin B aasin a sin 在 Rt ABC 中，AB =

5、 AC，sin =-sin B a6. 2021潍坊A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C距离为2km,B船在灯塔C北偏西40° AB两船距离为3km,那么B到C的距离为B.6 1kmD. 7km()A. .19kmC. ,：6+ 1km答案B解析由条件知，/ ACB = 80° + 40° = 120°设BC = xkm，那么由余弦定理知 9=x2 + 4 4xcos120°° ° x>0，二 x =：6 1.7. 如图，在坡度一定的山坡 A处测得山顶上一建筑物 CD的顶端C 对于山坡的斜度为15°

6、向山顶前进100米到达B后，又测得C对于 山坡的斜度为45°假设CD = 50米，山坡对于地平面的坡角为 0,那么A穿cos =()B. 2 ,3解析在厶ABC中,BC=ABsin / BAC=sin/ ACB100s in15sin 45 ° 15=50( .'6 2),CDI BCD 中，sin/ BDC =他CBD = 50 &护 弘45 =3 1,由图知 cos 4 sinZ ADE = sin/BDC = '3- 1.8空中有一气球，在它的正西方 A点测得它的仰角为45°同时在 它南偏东60°的B点，测得它的仰角为30&

7、#176;假设A，B两点间的距离 为266米，这两个观测点均离地1米，那么测量时气球到地面的距离 是()A咛米8.警+ 1米C. 266米D. 266 ,'7米答案B解析如图，D为气球C在过AB且与地面平行的平面上的正投影， 设 CD = x 米，依题意知：Z CAD = 45° Z CBD = 30° 那么 AD = x 米,BD = 3x米.在 ABD 中，由余弦定理得 AB2 = AD2 + BD2 2ADBDcosZ ADB ,即 2662= x2 + (3x)2 2x (a/3x) cos150= 7x2, 解得x = 26； ' 7,故测量时气球

8、到地面的距离是 26訂+ 1米，应选9. 海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60° 的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，贝S B、C的距离是答案5 6海里IObc解析在厶ABC中由正弦定理得sin45°°SB60， BC = 5 610. 我舰在岛A南50°西12海里的B处，发现敌舰正从岛沿北10°西的方向以每小时10海里的速度航行，假设我舰要用2小时追上敌舰，那么速度为 .答案14海里/小时解析设我舰在C处追上敌舰，速度为V，那么在 ABC20, AB = 12,/ BAC = 120° BC2

9、= 784,二 V = 14 海里/小时.11. 2021年8月9日，莫拉克台风即将登陆福建省霞浦县，如图，位于港口 O正东方向20海里的B处的渔船回港避风时出现故障.位 于港口南偏西30°方向，距港口 10海里的C处的拖轮接到海事部门 营救信息后以30海里/小时的速度沿直线CB去营救渔船，那么拖轮到 B处需要小时.tut分析求解此题的关键是把实际应用问题转化为数学问题，然后再 利用余弦定理解决.答案解析 由题易知，/ BOC = 120°，因为 BC2 = OC2 + OB2 2 OC-OB-cos120 = 700,所以BC = 10/7,所以拖轮到达 B处需要的时间t

10、=100737小时三、解答题12. 如图某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°距离为12 .；6n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西 30°距离为8/3n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°求:1A处与D处的距离；灯塔C与D处的距离.结果精确到1n mile 解析(1)在厶ABD 中，/ ADB = 60° / B =45°由正弦定理得ADSA5ADB=24(n miie)-2在厶ADC中，由余弦定理得CD2 = AD2 + AC2 2AD ACcos30°,解得 CD = 8 '3 14

11、(n mile)即A处与D处的距离为24n mile,灯塔C与D处的距离约为14n mile.13. 某海域内一观测站A,某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于 点A北偏东50°且与A相距80海里的位置B，经过1小时又测得该 船已行驶到点A北偏东50° + B其中si门皓斗5, 0° < 0 <9且与A相距60海里的位置C.(1) 求该船的行驶速度；(2) 假设该船不改变航行方向继续向前行驶，求船在行驶过程中离观测 站A的最近距离.解析(1)如图，AB = 80, AC = 60,/ BAC = 0, sin =晋由于0< 0 <90

12、6;所以 cos A'/l 2=7由余弦定理得 BC = d AB2 + AC2 2AB- ACcosB40,所以船的行驶速度为40海里/小时.BC( ABC 中，由正弦定理得 sin/CAC = sin/ABC'AC sin/ABC = S' BACBC15(海里),；15_=60d0 =谙,自A作BC的垂线，交BC的延长线于D，那么AD的长是船离观测站 的最近距离.船在行驶过程中离观测站 A最近距离为15；15海在 Rt ABD 中，AD = ABsin / ABD = 80里.14. 2021陕西理如图A , B是海面上位于东西方向相距 53 +羽 海里的两个观测

13、点，现位于 A点北偏东45° B点北偏西60°的D点 有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海 里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救 援船到达D点需要多长时间？解析此题考查正余弦定理在实际问题中的应用，此题要结合图像 确定恰当三角形进行边角的求解，求解过程中三角函数的变形，转化 是易错点，注意运算的准确性.由题意知AB = 53 + 3海里，/ DBA = 90° 60° = 30° / DAB = 45°ADB = 105°在厶DAB中，由正弦定理得,DB = A

14、Bsin/ DAB = sin/ ADBABsin/ DABsin/ADB3 + '3 sin45 sin 105 °5 3+V3 sin45 ° sin45 °cos60 + sin60 °cos45=10 3海里.又/ DBC = / DBA + / ABC = 30° + 90 60°= 60°BC = 20 3海里,在厶DBC中，由余弦定理得CD2= BD2 + BC2 2BD-BC-cos/ DBC1=300+ 1200-2 X10书 X20© >2= 900, CD = 30海里,30那么

15、需要的时间t=3°= 1小时.答：救援船到达D点需要1小时.点评：1解决实际应用问题，要过好语言关，图形关和数理关，考生在平时训练中要注意加强.2此题假设认定 DBC为直角三角形，由勾股定理正确求得CD，同样 可以.15. 2021福建文某港口 O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在 航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小里的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇.1假设希望相遇时小艇的航行距离最小，那么小艇航行速度的大小应为 多少？2为保证小艇在3

16、0分钟内含30分钟能与轮船相遇，试确定小艇航 行速度的最小值.3是否存在v,使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？假设存在，试确定v的取值范围；假设不存在，请说明理由.解析本小题主要考查解三角形，二次函数等根底知识，考查推理论证能力，抽象概括能力，运算求解能力，应用意识，考查函数与方 程思想，数形结合思想，化归与转化思想.(1)设相遇时小艇的航行距离为 S海里，那么S= .900t2+ 400 2 30t20cos 90°-30°=；900t2 600t+ 400 = . 900 t ； 2+ 300故当 t= 3时，Smin = 10

17、3 v= 10 3= 30 3即小艇以30 3海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B处相遇.由题意可得：(vt)2 = 202 + (30t)2 2 20 30t cos(90 - 30°化简得：v2 =習600 + 900= 400(? 4)2 + 675 由0<t兮，即1 >2所以当1 = 2时，vmin = 113.即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时.由(2)知 v2 = 400竽+ 900,设* = u(u>0),于是 400u2 600u + 900 v2= 0(*)小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程

18、(*)应有两个不等正根，即：6002 1600 X 900 v2 >0900v2>0解得 15 3<v<30.所以v的取值范围是(15 3, 30).教师备课平台三角函数综合应用，主要是指三角函数与函数、平面几何、平面向量 等知识的综合应用及三角函数在解决实际问题中的应用.三角函数与其他数学知识都有着密切的联系，为此，对三角函数的综合运用问题， 应该在复习中给予足够的重视.三角函数不仅常和其他的数学知识，如函数、几何、向量等相结合命 题，而且也常和其他学科及现实生活中的实际问题相结合命题，并随着新课程改革的深入，逐渐成为新课标高考的一个热点，三角函数与 其他数学知识的综

19、合运用问题，将仍然是命题的一大热点.一、三角函数与函数的综合例1-亠自3x . 3x ,向量 a= cos, sin , b =xCOS2 ,sin|.n(1)当 I 0, 2 时，求 a b, |a + b|;3假设f(x) = ab 2m|a + b| 2对一切实数x都成立，求实数m的取值范围.分析(1)利用向量的坐标运算以及三角函数和角、倍角公式进行运算，注意结果化为最简形式.(2)利用条件，根据题意，把问题转化为函数问题需讨论，做到不重不漏.3x x . 3x . x解析(1)a b= cosycos sinsinq=cos2x,|a+ b|2= a2+ 2a b + b2= 2+ 2

20、cos2x= 4cos2x.nt x 0, 2 , - |a + b|= 2cosx.f(x) = a b 2m|a + b| = cos2x 4m|cosx|=2cos2x 4m|cosx 1,3假设f(x) = a b 2m|a+ b| a2对一切实数x都成立，1即2cos2x 4m|cosx|+空?0对一切实数x都成立，当cosx= 0时，不等式显然成立；1当cosx>0时，可得4m< 2cosx+ 2cosx对一切实数x都成立，14际 2cosx+ 2cosxmin，1 1而2cosx + 2cosx>2当且仅当cosx= 2时取等号，1故 4m<2,即 m&l

21、t;2；1当cosx<0时，可得4mcosx<2cos2+ 2对一切实数x都成立，C14mC 2cosx 2cosxmin，1 1而2cosx2cosx支，当且仅当cosx= 2时取等号，故 4niC2,即 rnCg1综上，m的取值范围为g,Q.二、三角函数与平面几何的综合例2用a、b、c分别表示厶ABC的三个内角A，B，C所对边的 边长，R表示 ABC的外接圆半径.(1) 如图，在以0为圆心，半径为2的O O中，BC和BA是O O的弦, 其中BC = 2,Z ABC = 45°求弦AB的长；(2) 给定三个正实数a, b, R,其中b< a可：a, b, R满足怎

22、样的关系 时，以a, b为边长，R为外接圆半径的厶ABC不存在、存在一个或 存在两个(全等的三角形算作同一个)？在厶ABC存在的情况下，用a, b, R表示c.分析(1)利用三角函数与平面几何的内在联系，构造 ABC，应用 正弦定理求出/ A和边AC的长，再利用余弦定理求边 AB.(2)需对构成三角形的条件的各种情况进行讨论，在讨论过程中应熟 练地应用正、余弦定理.解析(1)因为 ABC的外接圆半径为2,在厶 ABC 中，AC = 2RsinB= 2 2,那么 sinA = BC = 1, A = 30°又 AB2 = BC2 + AC2 2BC AC cosC=4 + 8 + 8

23、'2cos(A + B) = 4( '3 + 2) = 2( '3 + 1)2,AB = 6+ ：;2(2)当a>2R或a= b= 2R时，所求的厶ABC不存在； 当a= 2R且b<a时，A = 90° 所求的 ABC只存在一个，且 c =;a2 b2;a b 当a<2R且b= a时，A = B，且A、B都是锐角，由sinA = R= 2r=sinB, A、B唯一确定；因此，所求的厶ABC只存在一个，且c =2a cosA= R 4R2 a2; 当b<a<2R时，B总是锐角，A可以是钝角也可以是锐角，因此，所求的 ABC存在两个，

24、由si nA = 2R，si nB=2R得，1 当 A<90° 时，cosA= 2R 4R2 a2，c= , a2+b2+ 2abcos A + B=a2 + b2+ 2寫 4R2 a2 4R2 b2 ab ;A当 A>90° 时，cosA= 2R 4R2 a2，c=a2 + b2 2r2 4R2 a2 4R2 b2 + ab .三、三角函数与平面向量的综合例 3 向量 m= (f(x)，cosx)， n = ( ,3sinx+ cosx,1),且 m/n.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)假设函数f(x)的图像关于直线x = x0对称，且0<x0<1，求x0的值.分析对于(1)利用求出函数f(x)的解析式，转化为三角函数知识，进一步解决问题；对于(2)根据对称坐标之间的关系求x0即可.解析(1)由 m/n得,f(x) cosx3sinx + cosx)= 0,那么 f(x) = 311. c n 1sinxcosx+ co