余数的性质及其计算

1、带余除法除法公式的应用【例1】 某数被13除，商是9,余数是8,则某数等于o【考点】除法公式的应用【难度】1星 【题型】填空【关键词】2009年，希望杯，第七届，四年级，复赛，第2题，5分【解析】125【答案】回【例2】一个三位数除以36,得余数8,这样的三位数中，最大的是o【考点】除法公式的应用【难度】1星 【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，四年级，复赛，第3题【解析】因为最大的三位数为网,1999 -36 = 27幼,所以满足题意的三位数最大为: 茹 27+8 = 980|答案巫 【巩固】计算口 + 结果是：商为10,余数为如果的值是6,那么的最小值是【考点】除法公式的应用

2、【难度】1星【题型】填空【关键词】2005年，希望杯，第三届，五年级，复赛，第4题，6分【解析】根据带余除法的性质，余数必须小于除数，则有的最小值为九【答案】0【例3除法算式二208|中,被除数最小等于o【考点】除法公式的应用【难度】1星 【题型】填空【关键词】2007年，第5届，希望杯，4年级，初赛，4题【解析】本题的單和余数已经知道了,若想被除数最小，则需要除数最小即可除数最小是 |8 + 1=9|,所以本题答案为：20X (8+1) +8二 18&【答案U88【例471427和19的积被7除，余数是几？【考点】除法公式的应用【难度】1星 【题型】填空【关键词】第一届，华杯赛，初赛

3、，第14题【解析】71427被7除，余数是6, 19被7除，余数是5,所以71427X19被7除，余数就 是6X5被7除所得的余数2。【答案】 【巩固】在下面的空格中填上适当的数。 J 2°°47 口口 口 口【考点】除法公式的应用【难度】2星【题型】填空【关键词】2004年，第2届，走美杯，3年级，决赛，第10题，12分【解析】本题的被除数、商和余数C经给出，根据除法的汁算公式：被除数曰除数目商 余数，逆推讣算得到：除数丘)(2004713)宁742=27。【答案】回 【巩固】写出全部除109后余数为4的两位数.【考点】除法公式的应用【难度】2星 【题型】解答【关键词】美

4、国长岛，小学数学竞赛，第五届【解析】|109 4 = 105 = 3 x 5 x 7|因此，这样的两位数是：15： 35； 21.【答案】两位数是：15： 35； 21【例5】 甲.乙两数的和是巨画，甲数除以乙数商回余回，求甲、乙两数.【考点】除法公式的应用【难度】2星 【题型】解答【关键词】淸华附中，小升初分班考试解析(法卩因为 甲目乙|xll + 3*所以 甲田匚耳乙|xl 1 + 32 + |乙冃乙卜12 + 32 = 1画; 则乙|=(1088-32)一：2 = 88 甲|=1088-1乙用某自然数回|去除1992,得到商是46,余数是Q求回和已【考点】除法公式的应用【难度】2星 【题

5、型】解答(法2)将余数先去掉变成犁除性问题,利用倍数关系来做:从15國中减掉网以后, 礦|就应当是乙数的1(11 + 1)1倍,所以得到乙数1=056匚12 = §§厂甲数= 1088 - 88 = 1000【答案】乙数= 105612 = 88,甲数= 1088-88 = 1000【例6【关键词第五届，小数报，决赛【解析因为199孑琴冋的网倍还多口 得到|1992 一46 = 43叫 得|1992 = 46x43 + 14|,所 以卜；,3|冋肝【答案虛431 = 1/【例7有三个自然数回 0, 0,已知囚除以囤 得商3余3；已除以回，得商9余11。 则除以回 得到的余数

6、是O【考点】除法公式的应用【难度】2星 【题型】填空【关键词】2010年，第8届，希望杯，5年级，初赛，第4题 6分 【解析卩=3“ + 3|c = 9a + 1<? = (9" + 9) + 2 =站 + 2 所以应该余2。【答案】0【例8】 有两个自然数相除，商是回，余数是回，已知被除数.除数.商与余数之和为 2H3|,则被除数是多少？【考点】除法公式的应用【难度】3星【题型】解答【关键词】R回年，小学数学奥林匹克【解析】被除数+除数+商+余数二被除数+除数+17+13二2113,所以被除数+除数二2083, 由于被除数是除数的17倍还多13,则由“和倍问题”可得：除数二(

7、2083-13)三 (17+1) =115,所以被除数=2083-115=1968【答案】1968 【巩固】两数相除，商4余8,被除数.除数.商数、余数四数之和等于415,则被除数是【考点】除法公式的应用【难度】3星 【题型】填空【关键词】2002年，小学数学奥林匹克【解析因为被除数减去8后是哼数的4倍，所以根据和倍问题可知,除数为 (415-4-8-8)*(4 + 1) = 7可,所以，被除数为|79x4+8 = 324|o【答案】324【例9】一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的商是余 数的3倍，这个自然数是【考点】除法公式的应用【难度】3星 【题型】填空【关键

8、词1 2004年，福州市，迎春杯【解析】设这个自然数除以11余叵|(Odvll),除以9余也|(0"<9)|,则有 ll“ + a = 9x3/叼,即|% = 7/儿只冇|“ = 7|, b = 39所以这个自然数为|12x7 = 84|o 【答案84【例10】盒子里放有编号1到10的计个球，小红先后三次从盒子中共取出九个球，如果 从第二次起，每次取出的球的编号的和都比上一次的两倍还多一，那么剩下的球 的编号为o【考点】除法公式的应用【难度】3星【题型】填空【关键词】第五届，走美杯，四年级，初赛，第11题【解析】令第1次取的编号为/第二次取的编号为2a+l,第三次取的编号为：2

9、 (2a+l) +l=4a+3：还剩下的编号为：55-7a-4=51Q7a,当a为6时，余下的是9：当a为 7时，余下的是2【答案】回或者叵【例11】10个自然数，和为100,分别除以3。若用去尾法，10个商的和为30；若用四舍 五入法，10个商的和为34. 10个数中被3除余1的有个.【考点】除法公式的应用【难度】3星【题型】填空【关键词】2008年，第六届，走美杯，五年级，初赛，第13题【解析】由题意用去尾法，10个商的和为30：用四舍五入法，10个商的和为34"可 知，10个数中除以3余2的数有34-30=4 (个)，又知道10个自然数的和为 100,设除以3余1的数有囚个，那

10、么根据用去尾法后十个商的和与10个自然数 的和，可得关系式：X +2x4.3330,解得,【答案】【例12】国辺除以某个整数后所得的商恰好是余数的因倍，那么除数最小可能是- 【考点】除法公式的应用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】2008年，学而思杯，4年级，第2题【解析设除数为可 商为同 余数学Q,则3782子“亚三可。可以弩除式转 化为心虞+。=尹利 所热花b：l） =严2,所以鬥和炉严+ 1血阿的约数, 3證= 2x31x6“在由弩闹约数中只有|31层1 = 18冈被创除所渝勺余数为Q，所 以21“ + 1 = 1891|上90匸【答案,901【例13】在大于2009的自然数中，被5

11、7除后，商与余数相等的数共有个.【考点】除法公式的应用【难度】4星【题型】填空【关键词】2009年，第14届，华杯赛，初赛，第10题【解析】根据题意，设这样的数除以57所得的商和余数都为:（叮57）,则这个数为57Xa+a二58a。所以58a >2009,得到a >2009宁58二34壬|,由于a为整数，所 以a至少为35 又由J' a< 57,所以之最大为56,贝I &可以为35, 36, 37,， 56.由于每一个&的值就对应一个满足条件的数，所以所求的满足条件的数共有 56-35+1=22 个。【答案】22 【例14】用1、9. 8. 8这四个数

12、字能排成几个被11除余8的四位数？【考点】除法公式的应用【难度】5星 【题型】填空【关键词】第二届，华杯赛，初赛，第14题【解析】用、9、8、8 可排成 12 个四位数，即 1988, 1898, 1889, 9188, 9818, 9881,8198, 8189, 8918, 8981, 8819, 8891它们减去 8 变为 1980, 1890, 1881, 9180, 9810, 9873, 8190, 8181, 8910, 8973, 881b 8883 其中被 11 整除的仅有 1980, 188b 8910, 8811,即用 1.9、8、8可排成4个被1除余8的四位数，即198

13、8, 1889, 8918, 8819.【又解】什么样的数能被11整除呢？ 一个判左法则是：比较奇位数字之和与偶 位数字之和，如果它们之差能被11除尽，那么所给的数就能被11整除，否则就 不能够.现在要求被11除余8,我们可以这样考虑：这样的数加上3后，就能被11整除 了.所以我们得到“一个数被11除余8”的判左法则：将偶位数字相加得一个 和数，再将奇位数字相加再加上3,得另一个和数，如果这两个和数之差能被11 除尽，那么这个数是被11除余8的数；否则就不是.要把1、9、8、8排成一个被11除余8的四位数，可以把这4个数分成两 组，每组2个数字.其中一组作为千位和十位数它们的和记作小另外一组作

14、 为百位和个位数，它们之和加上3记作Z我们要适当分组，使得能被11鏗 除.现在只有下而4种分组法：请预览后下我!偶位奇位(1)1 j 89，8(2 )1 / 98 / 8(3 )9 81 , 8(4 )8 81 9经过验证，第（请预览后下找!1）种分组法满足前而的要求：川=1+8, 5=9+8 + 3=20, B-A=U能被11除尽.但其余 三种分组都不满足要求.根据判左法则还可以知道，如果一个数被11除余8,那么在奇位的任意两个数字 互换，或者在偶位的任意两个数字互换，得到的新数被11除也余8于是，上而 第（1）分组中，1和8中任一个可以作为千位数，9和8中任一个可以作为百位 数.这样共有4

15、种可能的排法：1988, 1889, 8918, 8819.答：能排成4个被11除余8的数【答案】0【例15】科学家进行一项实验，每隔5小时做一次记录。做第十二次记录时，挂钟的时针 恰好指向9,问做第一次记录时，时针指向几？【考点】找规律计算【难度】3星 【题型】填空【关键词】第一届，华杯赛，初赛，第15题【解析】从第一次记录到第十二次记录，相隔十一次，共5X11 = 55（小时）。时针转一圈是12小时，55除以12余数是7, 9-7=2答：时针指向2。【答案】只。【例16】一筐苹果分成小盒包装，每盒装色只，剩回只；每盒装国只，剩囚只。每盒装同只，剩【考点】找规律计算【难度】3星 【题型】填空

16、【关键词】2008年，第6届，走美杯，4年级，决赛，第3题，8分【巩固】有一列数：b 3, 9, 25, 69, 189, 517,-淇中第一个数是1,第二个数是3,从 第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上b那么这列数中的第 2008个数除以6,得到的余数是【考点】找规律计算【难度】3星【题型】填空【关键词】2008年，希望杯，第六届，五年级，初赛，第4题，6分【解析】这列数除以6的余数有以下规律:1,3,3,1,3,3,1,3,3,，因为2008*6 = 6691|, 所以第2008个数除以6余1.【答案】1【例17】有一串数：b E 2, 3, 5, &,从第三个数起

17、，每个数都是洞两个数之和， 在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？【考点】找规律计算【难度】3星 【题型】解答【关键词】2009年，走美，初赛，六年级【解析】由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数.所 以这串数除以5的余数分别为：b 1, 2, 3, 0, 3, 3, 1, 4, 0, 4, 4, 3, 2, 0,2, 2, 4, 1, 0, 1, b 2, 3, 0,可以发现这串余数中，每20个数为一个 循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数.由于12009 -5 = 4d阿, 所以前2009个数中，有401个是5的倍数.【答案】401【例18

18、将七位数“1357924”重复写287次组成一个2009位数“13579241357924”。 删去这个数中所有位于奇数位上的数字；按上述方法一直删除下去直到剩下一个 数字为止,则最后剩下的数字是【考点】找规律计算【难度】4星 【题型】解答【关键词】2009年，第14届，华杯赛，决赛，第3题【解析】本题考察二进制，最后剩下的数是匹1024|位值上的数字,周期为国，所以 1%严7=146巨,那么每个周期中的第二个数是3【关键词】色T【例19】30粒珠子依8粒红色.2粒黑色.8粒红色.2粒黑色的次序串成一圈，一只 蚂蚱从第2粒黑珠子起跳，每次跳过6粒珠子落在下一粒珠子上，这只蚂蚱至少 要跳次才能落

19、到黑珠子上。【考点】找规律计算【难度】3星 【题型】填空【关键词】2006年，第4届，走美杯，3年级，初赛，第12题【解析】观察可知，每次跳过6粒珠子，则隔7个珠子，现在知第1个黑珠子在10,第二 个在17,第3个在24,第4个在31-30=1,第5个在38-10二8,第6个在5,第7 个在2.第8个在30。所以这只蚂蚱至少要跳7次才能落到黑珠子上【答案】0次【例20】有这样一类2009位数，它们不含有数字0,任何相邻两位（按照原来的顺序）组 成的两位数都有一个约数和20相差1,这样的2009位数共有个【考点】找规律计算【难度】5星 【题型】填空【关键词】2009年，学而思杯，5年级，第8题【

20、解析】第一个数确定，就能确左第二个数，以此类推，整个数就左下来了，所以一共就回 个数。【答案】回个【例21在两位数10, 11,，98, 99中，将每个被7除余2的数的个位与十位之间添 加一个小数点，其余的数不变.问：经过这样改变之后，所有数的和是多少？【考点】找规律计算【难度】4星【题型】填空【关键词】1995年，第5届，华杯赛，初赛，第15题【解析】原来的总和是10+11 + +98+99=匚匝亘j=49052被7除余2的两位数是7X2+2 = 16, 7X3+2=23,.7X13 + 2 = 93110/(16+23 + +93)X(l-2 10共12个数。这些数按题中要求添加小数点以后

21、，都变为原数的，因此这一手续 使总和减少了所以，经过改变之后，所有数的和是4905-588.6=4316.4【答案】4316.4 模块四、特殊的数字9【例22】将从1开始的到103的连续奇数依次写成一个多位数：A = 135791113151719219799101103。则数a共有位，数a除以9的余数是O【考点】融数字9 【难度】4星【题型】填空【关键词】2006年，第11届，华杯赛，初赛，第12题【解析】一位的奇数有5个，两位的奇数有45个，再加两个三位奇数，所以a是一个 5+2X45+3X2=101 (位)数。从1开始的连续奇数被9除的余数依次为1, 3, 5, 7, 0, 2, 4,

22、6, 8, b 3, 5, 7, 0, 2, 4, 6, 8,，从 1 开始，每周期为 9 个数 1, 3, 5, 7, 0, 2, 4, 6, 8 的循环。因为(1+3+5+7T+2+4+6+8)被 9 除余数为0.从1-89恰为5个周期，所以这个101位数a被9除的余数为 1+3+5+7+0+2+4被9除的余数，等于4。解法2： 一个自然数被9除的余数和这个自然数所有数字之和被9除的余数相 同,利用这条性质,135791113151719219799101103中13579的数字和被 9除的余数是7,而1113151719219799所有数字之和被9除的余数是0, 101103的数字和被9

23、除的余数是6所以，a被9除的余数是(7+6)被9除的 余数，是4。【答案】画位，余数是回余数的性质【例1】幼儿园的老师给班里的小朋友送来40只桔子，200块饼干,120块奶糖。平均分 发完毕，还剩4只桔子，20块饼干，12粒奶糖。这班里共有位小朋友。【考点】余数的加减法左理【难度】1星 【题型】填空【关键词】2005年，第3届，走美杯，4年级，决赛，第3题，8分【解析】40-4=36, 200-20二180, 120-12二108。小朋友的人数应是36, 180, 108的大于20 的公约数，只有36.【答案】固【例2】从1, 2, 3, 4,2007中取N个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除.N最大为多少？【考点】余数的加减法左理 【难度】3星【题型】解答【关键词】2007年，第五届，走美杯，初赛，六年级，第8题【解析】取出的A个不同的数中，任意三个的和能被15整除.则其中任意两个数除以15的 余数相鬥,且这个余数的3倍能被15整除，甲以这f余数只能是严5或者10.在 12