(全国通用)高考数学二轮复习第一篇求准提速基础小题不失分第13练空间几何体练习(文)

1、第13练空间几何体明考情空间几何体是空间位置关系的载体，是高考的必考内容，题目难度为中档，多为选择题知考向1 .三视图与直观图.2 .几何体的表面积与体积.3 .多面体与球.研透考点核心考点突破练考点一三视图与直观图【要点重组】（1）三视图画法的基本原则：长对正，高平齐，宽相等；画图时看不到的线画成虚线.（2）由三视图还原几何体的步骤定底面一根据俯视图确定定棱及侧面根据正主视图确定几何体的侧棱与侧面特征，调整实线、 虚线对应棱的位置定形状一确定几何体的形状（3）直观图画法的规则：斜二测画法.1.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图1所示，则该几何体的侧（左）视图为（）答案 D的投影与右侧面

2、（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有 D项符合.2.（2017 全国H）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A.90TI B.63 兀 C.42tt D.36 兀 答案 B解析方法一（割补法）如图所示，由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱被截去上面虚线部分所得将圆柱补全，并将圆柱体从点 A处水平分成上下两部分.由图可知，该几何体的体积等于下部 ，1 221分圆枉的体积加上上部分圆枉体积的2,所以该几何体的体积 V=兀X3 X4+兀X3 X

3、6X 2 =故选B.1万法一 （估值法）由题意知，2V圆柱V几何体V圆柱.又V圆柱=兀*3 2><10= 90兀,45兀V V几何体V90兀.观察选项可知只有 63兀符合.故选B.3.如图所示是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的直观图是（）答案 D解析 先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正（主）视图和侧（左）视图可知选项D正确.4.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长为1,且侧棱 AA，平面 ABC,正（主）视图是边长为1的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱侧（左）视图的面积为（）俯觇因曲 &主）视图A.2 3 B. 3 C. -23 D.1答

4、案 C解析 由直观图、正（主）视图以及俯视图可知，侧（左）视图是宽为呼，长为1的长方形，所以面积S=乎x 1=乎，故选C.5.已知正三棱锥 V ABC勺正（主）视图和俯视图如图所示， 则该正三棱锥侧（左）视图的面积是一 2则 A0=-X2 的sin 60= 2.3所以 V0= 74 一 22 = 2J3,则 VA = 2 ：3.1所以该正三棱锥的侧（左）视图的面积为2*2耳3*2、/3=6.考点二几何体的表面积与体积【方法技巧】（1）求不规则的几何体的表面积，通常将几何体分割成基本的柱、锥、台体（2）几何体的体积可以通过转换几何体的底面和高以利于计算6 .（2016 北京）某三棱锥的三视图如图

5、所示，则该三棱锥的体积为（）答案 A解析由三视图知，三棱锥如图所示.由侧（左）视图得高h=1,口又底面积S=1x1= ?22_11所以体积v= 3sh= 6.7 .（2017 浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积 （单位：cmf）是（）小A*1-*1-回岔幌图 钟左制图Q相视困一兀_兀 一A. 2+1B.y+3C.32-+1D.32-+3答案 A解析 由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面半径为1,高为3的圆锥的一半与一个底面是直角边长为，2的等腰直角三角形，高为3的三棱锥的组合体，1 11 1该几何体的体积为 V=wX；兀xi x3+ -x-xx2x3= + 1.

6、3 23 22故选A.8 .已知某几何体的三视图如图所示，其正（主）视图和侧（左）视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）A.2 B.1 C. 1 D. 1 23答案 C解析 根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱柱，且该三棱柱的底面是直角 一 11 ,边长为1的等腰直角三角形，高为 1,所以该三棱柱的体积为V= Sh= 2><1X1X1= 2,故选C.9 .已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为颤左J视图答案2 '3解析 由题可知，该几何体是由如图所示的三棱柱ABO ABC截去四棱锥 A B

7、EDC导至IJ的,故其体积12 /311+2I(V=-X2 X2LX3-XX2Xyj3=2yj3.223210.(2017一,一 、，一 人 1山东）由一个长方体和两个4圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积iE（imisi网左1例图陆视图兀答案 2+y1 一，、解析 该几何体由一个长、宽、局分别为2, 1, 1的长万体和两个半径为 1,图为1的I圆枉体构成，-1.2,- 兀.V= 2X1X1 + 2X X 兀 XI X1=2+ 42考点三多面体与球麽点重组】（1）设球的半径为 R,球的截面圆半径为 r,球心到球的截面的距离为d,则有r= VRT7.（2）当球内切于正方体时，球的直径等

8、于正方体的棱长，当球外接于长方体时，长方体的对角 线长等于的直径.11.（2017 全国出）已知圆柱的高为 1 ,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A.兀B.4- C. 22D.714答案 B解析设圆柱的底面半径为r,球的半径为 R且R= 1,由圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上可知,r, R及圆柱的高的一半构成直角三角形，圆柱的体积为V=兀r2h= tt x 1= "44故选B.12 .如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm,将一个球放在容器口， 再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm,如果不计容器的厚度，

9、则球的体积为（）500 兀 3866 兀 31 372 兀 32 048 兀 3cm B. k cm C.cm D.cm答案 A解析 过球心与正方体中点的截面如图，设球心为点Q球半径为R cm,正方体上底面中心为点A上底面一边白中点为点 B,在 RtA OABJ43, OA= (R 2)cm, AB= 4 cm, OB= R cm,由 F2=(R- 2)2+42,得 R= 5,F3=500V兀(cm3).故选A.13 .(2016 全国出)在封闭的直三棱柱ABC/BG内有一个体积为 V的球，若ABL BC AB= 6,BO 8, AA=3,则V的最大值是()A.4 兀 B. Y C.6 兀 D

10、. 32 23答案 B解析 由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3,所以球的最大直径为 3, V,一 9兀的最大值为.14 .正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为()A.812L b.16 兀 C.9 兀 D. 27 44答案 A解析由图知，F2=(4 -F)2+2,R2=168R+ R2 + 2,9R= 4.S表=4兀公4兀X86=*,故选A.15.一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球 O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为 .答案392 32解析设等边三角形的边长为2a,球O的半径为R则V圆锥=鼻 a a ,

11、 ，3a = Tp兀a3.33又 R2= a?+(3aS2,所以 R= 心a, 3+.x/4 兀 2抵 3 3233故V球= , ra = J 兀a， 332 79故其体积比值为 32明常是非易错易混专项练1 .如图，在正四棱柱 ABCP ABGD中，点P是平面 ABCD内一点，则三棱锥 P BCD勺正（主）视图与侧（左）视图的面积之比为（）H|>*1A.1 ： 1 B.2 ： 1C.2 ： 3 D.3 ： 2答案 A1 _ 解析 由题意可得正（主）视图的面积等于矩形 ADDA面积的2,侧（左）视图的面积等于矩形1CDDC1面积的2.又底面ABC虚正方形，所以矩形 ADD1与矩形CD1C

12、的面积相等，即正（主）视图与侧（左）视图的面积之比是 1: 1.2 .圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正（主）视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20 71 ,则等于（）旧立视田便视图A.1 B.2 C.4 D.8答案 Br,圆柱的底面半径解析 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为 为r,高为2r,则表面积 S= 2X4兀产+兀2 + 42+兀r 2r=（5兀+ 4）产.又S= 16 + 20兀,.(5 兀+ 4)r2=16 + 20兀,r2=4, r = 2,故选 B.3.已知A, B是球O的球面上两点，/ AOB

13、= 90° , C为该球面上的动点.若三棱锥 O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为（A.36 % B.64 兀 C.144 兀 D.256 兀 答案 C解析 易知 AOB勺面积确定，若三棱锥O ABC勺底面OAB勺高最大，则其体积才最大 .因X R= 36,解得 R= 6.故 S球=4兀 R2=144兀.1为局最大为半径R,所以VO-ABC=W><3【解题秘籍】（1）三视图都是几何体的投影，要抓住这个根本点确定几何体的特征（2）多面体与球的切、接问题，要明确切点、接点的位置，利用合适的截面图确定两者的关系, 要熟悉长方体与的各种组合 .演陈模阳高考押题冲刺练 -

14、 - »1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A.3 兀 B.4 兀 C .2 兀 + 4 D .3 兀 + 4答案 D解析 由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1,高为2,则表面积为S= 2x1-兀 XI 2+ X 2兀 X 1X2 + 2X2=兀 + 2兀+ 4 = 3% + 4.2.（2016 山东）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）1'2B.-兀331：2C. 3+至兀D.1 +71答案 C解析由三视图知，半球的半径R=*,该四棱锥是底面边长为1,高为1的正四棱锥，V=1*1><1+!><

15、，兀>< 23=：+坐兀，故选 C.32 32363.（2016 全国I ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 好，则它的表面积是（）3A.17 % B.18 兀 C.20 兀 D.28 兀答案 A解析 由题知，该几何体的直观图如图所示， 它是一个球（被过球心O且互相垂直白三个平面），一一，17 人1 切掉左上角的鼻后得到的组合体，其表面积是球面面积的 三和三个了圆面积之和，易得球的半径 884为2,则得 S= 7- X 4兀X2 2+3X 1兀X2 2=17兀，故选 A.84A.2 B.3 C. 3 D.3答案 D解析 多面体

16、ABCD囱四黏t （如图），利用割补法可得其体积 V= 4-=8,故选D.3 35.一只蚂蚁从正方体 ABCDABCD的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点G的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正（主）视图的是（A.B.答案 D解析由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点Ci的位置，共有6种路线（对应6种不同的展开方式），若把平面 ABBAi和平面BCCB展开到同一个平面内，连接 AC,则AC是最短路线，且 AC会经过BB的中点，此时对应的正（主）视图为；若把平面 ABCD口平面 CDDCi展到同一个平面内，连接 AC,则AC是最短路线，且 AC会经过CD的中

17、点，此时对应 的正（主）视图为.而其他几种展开方式对应的正 （主）视图在题中没有出现.故选D.6 .在正三棱锥 S ABC42 3,点Ml是SC的中点，且 AML SB,底面边长 AB= 2/2,则正三棱锥 S ABC勺外接球的表面积为（）A.6 % B.12 兀 C.32tt D.36 兀答案 B解析 因为三棱锥 S- ABC为正三棱锥，所以 SBL AC又AML SB AS AMk A,所以SB，平面SAC所以SBLSA SB±SC同理，SA!SC即SA SB, SC三线两两垂直，且 AB= 2 '2,所以 SA= SB= SC= 2,所以（2R）2S= 4兀R= 12兀

18、，故选B.7 .某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为刈左）现图A.8 2兀兀C.8 2兀D.8-T答案 B解析 由三视图可知，该几何体是由一个棱长为2的正方体切去两个四分之一圆柱而成，所X2= 8兀.4,A. 2 兀 B. 25 兀 C 49 兀 D. 8116161616答案 D解析 作如图所示的辅助线，其中O为球心，设 OG= x,则OB= S0= 2-x,由正方体的性质知，BG =*，则在.。“中, 0B=说+0©,即化x)2 = x2+*2,解得x=(,所 八 9 八081以球的半径 R= 0B= ?，所以球的表面积为 S= 4兀lR= % ,故选D.8169 .现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新 的底面半径为答案 ,'7解析 设新的底面半径为r,由题意得1兀2X4+兀2><8=；兀x 5 2X4+兀X2 2x8,解得r33=17.10 .如图，侧棱长为 2/3的正三棱锥 V ABC中，/ AVB= / BVC= / CVA= 40° ,过点 A作截 面4AEF则截面 AEF的周长的最小值为答案 6解析 沿着侧棱VA把