2019-2020学年上海市虹口区高一上学期期末数学试题(解析版)

1、2019-2020 学年上海市虹口区高一上学期期末数学试题一、单选题1 .已知1 a 3,2 b 4,现给出以下结论：（1）3 a b 7; （2） 3 a b 1;1 a 33 2 a b 12; 4 -以上结论正确的个数是（）4 b 2A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】D【解析】根据不等式的可加性，同向不等式且为正值的可乘性即可得到答案【详解】因为1 a 3, 2 b 4,所以3 a b 7,故（1）正确.因为4 b 2,所以 3 a b 1,故（2）正确.因为1 a 3, 2 b 4,根据同向不等式且为正值的可乘性知：2 a b 12 ,故（3）正确.111因为一一一，1 a 3,

2、根据同向不等式且为正值的可乘性知：4b21 a3,故（4）正确.4b2故选：D【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于简单题八“ 一“ 1 -2 .已知a R ,则“ a 1 ”是“一 1 ”的（）aA .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分也非必要条件【答案】B1【解析】首先解不等式一1 ,再根据充分条件和必要条件即可得到答案a【详解】111 a因为一1 1 0 0 a（a 1） 00 a 1.a aa1 ,所以“ a 1”是“一1 ”的必要非充分条件. a故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件，同时考查了分式不等式的解法，属于简单题3 .已知函数y 3x

3、 2的值域是()A. RB .2,C.2,D .1,【答案】D【解析】首先令x t,根据指数函数的图像得到：3t 1,即y 1.【详解】令 X t, t 0,则 y 3t 2,因为3t i,所以y 1.故选：D【点睛】本题主要考查指数函数的值域问题，同时考查了换元法求函数的值域，属于简单题.4 .定义在R上的函数f X的图象是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间0,2和4,6内，那么下列不等式中一定正确的是()A. f 0 f 2 0 B. f 0 f 2 0C.f 2 f 40D. f 2 f 60【答案】C【解析】首先根据题意得到函数 f (x)在区间(2, 4)上没有

4、零点，即可得到f (2) f (4) 0.【详解】因为定义在 R上的函数f X的图象是连续不断的，此函数有两个不同的零点，这两个零点分别在区间0,2和4,6内，所以函数f (x)在区间(2, 4)上没有零点，若f (2)与f (4)的函数值异号，根据零点存在性定理可得以函数f(x)在区间(2, 4)上必有零点，所以f (2)与f (4)的函数值同号，即f (2) f (4) 0.故选：C【点睛】本题主要考查函数的零点存在定义和零点的区间，属于简单题5 .已知函数f X是定义在R上的奇函数，现给出以下结论：（1）此函数一定有零点；（2）此函数可能没有零点；（3）此函数有奇数个零点；（4）此函数有

5、偶数个零点.以 上结论正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【解析】 根据奇函数的定义及性质，对题目中的命题判断正误即可【详解】因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f （0）=0 .故0是函数f （x）的零点，所以（1）正确，（2）错误.根据奇函数的对称性知：函数f（x）有零点，则零点关于原点对称，再加上原点，共有奇数个零点，所以（3）正确，（4）错误.故选：B【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，同时考查了方程与零点，属于中档题 二、填空题26 .用列举法表示集合xx2 2x 3 0,x Z .【答案】0,1,2【解析】首先解不等式x2 2x 3 0 ,再用列举法表示集合即

6、可.【详解】，2x|x 2x 3 0,x Z x| 1 x 3,x Z 0,1,2.故答案为：0,1,2【点睛】本题主要考查集合的表示，同时考查了二次不等式的解法，属于简单题7 .命题“若x 2且y 3,则x y 5”的否命题是 命题.（填入“真”或“假”）【答案】假【解析】写出否命题，即可判断命题的真假.【详解】命题“若x 2且y 3,则x y 5”的否命题：“若x 2或y 3,则x y 5”是假命题，例如x 1,y 9 ,满足x 2或y 3 ,但不能推出x y 5 .故答案为：假【点睛】此题考查根据已知命题写出否命题，并判断真假，涉及含有逻辑联结词的命题的否定.8 .函数y 4 , x 1

7、,12的值域为. x1，【答案】一，43【解析】根据函数的单调性即可求出值域.【详解】一，4，一,因为函数y 一在区间1,12为减函数， 一，1所以值域为 一，4 . 3，1 ，故答案为：-，43【点睛】本题主要考查反比例函数的单调性，属于简单题.x9 .己知函数f x 2 .则f f 2.【答案】16【解析】首先计算f (2),再代入计算f (2)即可.【详解】f (2) 22 4, f(2) f (4) 24 16.故答案为：16【点睛】本题主要考查函数值的求法，属于简单题.10 .不等式|x - 1| <2的解集为 .【答案】(-1 , 3).【解析】 试题分析：由不等式|x -

8、1| <2,可得-2vx-1<2,解得-1vxv3.解：由不等式|x - 1| <2可得-2vx-1<2,-1 < x< 3 ,故不等式|x -1| <2的解集为(-1, 3),故答案为(-1,3).【考点】绝对值不等式的解法.1 1a11 .已知 2, 1, 2,2,12 3 ，若帚函数f x x为奇函数，且在0, 上递减，则a .【答案】-1【解析】由哥函数f (x) =x "为奇函数，且在(0, +8)上递减，得到 a是奇数，且a< 0,由此能求出a的值.【详解】L, c.11/ C.aC-2, - 1 , H 1，2，3,哥函数

9、f (x) =x "为奇函数，且在(0, +8)上递减，a是奇数，且a< 0 ,a= - 1 .故答案为-1 .【点睛】本题考查实数值的求法，考查哥函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.12 .已知y f(x)是定义在R上的奇函数，当x 0时，f(x) 2x 1,则f ( 2).【答案】32【解析】 由题意得，函数y f x为奇函数，所以f( 2) f 2(2 1)3.一C 一一x .一, 1 ，一，13 .已知m 2 ,且10 lg 100m lg 一则x的值为. m【答案】lg 21v【解析】首先计算lg(100m) lg lg100 2,再

10、解方程10x 2即可.m 1c 因为 lg(100m) lg lg100 2,m所以，10x 2，即 x lg2.故答案为：lg2本题主要考查对数的运算,同时考查了指数方程，熟练掌握对数的运算法则是解题的关 键，属于简单题4 . -一 4 ， r，a,，14 .已知a 0, b 0,且a 4,则一的最大值等于b b【答案】11,a .、ar,a 12 一一一，【解析】首先根据题意得到 1 ,代入一得到一二-(a 2)2 1,再利用二次函 b 4 b b 4数的性质即可彳#到最大值.【详解】4, 一 1 , a因为a 4,所以一1 一.bb 4因为a 0,b 0,所以1 一 0,即0 a 4.

11、4aa所以一 二a(1 一)b4124(a 2)1.一，一、当一 2 时，(b)max=1.故答案为：1本题主要考查二次函数的最值， 将一转化为二次函数的形式为解题的关键， 属于中档题b15 .已知函数f(x) ax b(a 0,a 1)的定义域和值域都是1,0，则a b .【答案】32a 1 b 1【解析】若a 1,则f x在 1,0上为增函数，所以广，此方程组无解；1 b 0a1 b 0 .一a若0 a 1,则f x在1,0上为减函数，所以,解得1 b 1.【考点】指数函数的性质16 .记函数f XX b , X? -2,2的最大值为g b ,则g b【答案】g b【解析】首先将f x转化

12、为分段函数，再对 b进行讨论，即可求出最大值 g b【详解】f (x) x bx b,x bx b, x b当 b 0时，f (x)x, fmax(x) 2,即 g(b) 2.当 b 0,即 b 0 时，fmax(x)f(2) 2 b,即 g(b) 2 b.当 b 0,即 b 0 时，fmax(x)f( 2) 2 b,即 g(b) 2 b.综上：g(b)2 b?b 02 b?b 0故答案为：g(b)2 b?b 02 b?b 0【点睛】本题主要考查含参绝对值函数的最值问题，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题17 .已知f x是定义在R上的偶函数，且在 0,上单调递增，则关于 x的不等式2f x

13、 f 1 x 1 0的解是【答案】1,1【解析】首先将不等式变形， 根据f(x)是定义在R上的偶函数，且在0,上单调递增，设g(x) f (x) x2,得到g(x)在R上为偶函数，且在 0,上单调递增，再解不等式即可.【详解】因为 f(x) f(1) x2 1 0,所以 f(x) x2f (1) 1 .因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在 0,上单调递增.设g(x) f(x) X2, g(x)在R上为偶函数，且在 0,上单调递增所以 f (x) X2f (1) 1 ,即 g(x) g 1 .所以|x 1 ,解得1x1.故答案为：(1,1).【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性和奇偶性，属于中

14、档题 18 .函数f xx2 2x , x 2,2的最大值为 .【答案】8【解析】 首先画出f(x)的图象，根据图象即可求出函数的最大值.【详解】函数f(x)的图象如图所示：由图可知，f(x)max f( 2) 4 4=8.故答案为：8【点睛】本题主要考查利用函数的图象求最值，熟练画出函数图象为解题的关键，属于中档题.4219 .已知f x x x ,则关于x的不等式f x 1 f 2的解是.【答案】3,1【解析】首先根据函数f(x)的解析式，得到f(x)为偶函数，且在(0,)为增函数，再利用偶函数的对称性解不等式即可.【详解】因为f (x) x4 x2 ,所以f(x)为偶函数，且在(0,)为

15、增函数.所以f (x 1) f(2)根据偶函数的对称性知：2x12,解得：3x1.故答案为：(3,1)【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性，熟练掌握奇偶函数的性质为解题的关键，属于中档题.三、解答题20 .解下列方程3;(1) 2x，一、 2- 一(2) lg x lg x 2 01【答案】(1) x 0或x 1 (2) X 100或X 10【解析】(1)首先令2x t,根据二次方程和指数方程即可解出方程的根(2)根据二次方程和对数方程即可解出方程的根【详解】2 -(1)令 2 t , t 0 ,得 t 3.t整理得：t2 3t 2 0.解得：t 1或t 2.即：2x 1 或 2x 2，x

16、 0 或 x 1 .(2)因为 lg2x lgx 2 0,所以(lgx 2)(lg x 1) 0.1解得：lgx 2 或 lg 1 , x 100 或 x .10【点睛】本题主要考查了指数方程和对数方程的求解，同时考查了二次方程的求解，属于简单题21 .设a R,函数f x2x a2x 1(1)当a 1时，判断f x的奇偶性，并给出证明;(2)当a 0时，证明此函数在 ，上单调递增【答案】(1)奇函数；证明见解析(2)证明见解析【解析】(1)首先求出函数f(x)的定义域为R,再判断 “刈与f( x)的关系即可(2)根据题意设任意 x1,x2 R,且x1 x2,作差比较f(x1) f(x2)即可

17、.【详解】t -2x - 1(1)当a 1时，f (x)=，定义域关于原点对称 2x+111 2x2x 12丁1 2x2x 1,(x) 11 1 2x 1 2x1 2x(X>-712x2x所以f(x)为奇函数.(2)当 a 0时，f(x)2x2x 1,设任意X, x2R ,且x1x2.f (x1) f(x2)2x12x22为 12x212%(2x21) 2x2(2x1 1)(2x1 1)(2x2 1)2为 2x2(2%1)(2 x21)因为 2% 2x2 0, 2. 1 0 , 2x2 1 0,所以 f(x1) f(x2) 0 .即：f (xi) f(x2).2x所以f (x)在R上为增

18、函数.2x 1【点睛】本题第一问考查函数奇偶性的判断，第二问考查了函数单调性的判断，属于中档题.22 .某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券:消费金额（兀）的范围288,488488,888888,18881888,2888获得奖券的金额（元）285888128根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如：购买标价为 400元的商品，则消费金额为 320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元.于是，该顾客获得的优惠额为：400 0.2 28 108元.设购买商品得到的优惠率购买商品获得的优惠额 商

19、品的标价.试问：（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？(2)当商品的标价为100,600元时，试写出顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式；(3)当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以得到超过30%的优惠率？试说明理由.0.2 x 100,360【答案】(1)25.8% (2) y28(3)不能，详见解析0.2 一 x 360,600 x【解析】(1)根据题意得到购买1000元商品，则消费800元，获得对应的奖券 58元, 再计算优惠率即可.(2)根据题意，分段讨论当标价为100,360)元和标价为360,600元时的优惠率即可(3)根据(2)得到

20、当顾客在买标价为 360元商品时，优惠率最大，再计算最大优惠率比较即可.【详解】(1)购买1000元商品的优惠率1000 0.2 58 100% 25.8%.1000(2)当标价为100,360)元时，则消费80, 288)元，不能获得优惠券.0.2x所以顾客得到的优惠率为：y 0.2 .x当标价为360,600元时，则消费288, 480元，获得28元优惠券.所以顾客得到的优惠率为：y 0.2x 28 0.2 ”.0.2?x100,360综上y280.2 一 ?x 360,600 x(3)当顾客买标价不超过 360元商品时，优惠率为x20%.当顾客买标价在360,600元商品时，优惠率为y2

21、8 一一0.2，为减函数.所以当顾客在买标价为 360元商品时，优惠率最大28ymax 0.227.8% 30% .360所以顾客不能得到超过 30%的优惠率.属于中档题本题主要考查函数的实际应用，弄清题意为解题的关键,223 .已知函数 f x x 2ax 2, x 1,1 .1,(1)当a 1时，求f 1 ;1 .一一 (2)当a 时，判断此函数有没有反函数，并说明理由；21(3)当a为何值时，此函数存在反函数？并求出此函数的反函数f x .【答案】(1) 1, (2)没有，详见解析，(3) a 1或a 1；当a 1时，f 1 xaJxa22, x32a,32a ,当 a 1 时，f 1

22、xaxxa22 , x32a,32a .【解析】(1)当a 1时，由互为反函数的性质可得：f 1(1)等价于f (x) 1在x 1,1求解，再解方程即可.“1 ,-2(2)当a 万时，f(x) x x 2,根据函数在区间1,1的单调性即可判定.(3)首先根据函数f(x)存在反函数，得到a 1或a 1 ,在分类讨论求反函数即可.【详解】2(1)当 a 1 时，f(x) x 2x 2.求f 1(1)即等价于f (x) 1在x 1,1求解.x2 2x 2 1,解得：x 1 .所以 f 1(1) 1.,1 ,， ， 、2 八，1、27(2)当a 一时，f(x)x x 2(x-)一.224x 1,1时，显然函数不单调，所以在区间1,1没有反函数.(3)若函数f(x)存在反函数，则函数 f (x)在区间1,1单调.一一_ 2_ 2_2f(x)x2ax2(x a)2a ,对称轴为 x a.所以当a 1或a 1时，函数f (x)存在反函数.当 a 1 时，f 1(x) a Jx a2 2, x 3 2a,3 2a .当 a 1 时，f 1 x a xx a2 2 , x 3 2a,3 2a .【点睛】本题主要考查反函数的求法，同时考查了学生的计算能力，属于中档题24.已知函数f X的定义域是使得解析式有意义的