2020届高考数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题第14讲圆锥曲线练习文

1、第14讲圆锥曲线考情分析圆锥曲线是高考的重点和热点，选择、填空题主要以考查圆锥曲线定义、 标准方程和几何性质(特别是离心率)为主，属于中偏上难度.热点题型分析热点1圆锥曲线的定义及标准方程方法结论x<-11 .圆锥曲线的定义(1)椭圆:|PF| +| PE| =2十2 a>|FiF2|);(2)双曲线：| PF|PF2| =2a(2a<| F1F2I);(3)抛物线：| PF =|PM,点F不在直线l上，PMLl于M2 .圆锥曲线的标准方程 2222(1)椭圆的标准方程：02+ b2= 1或1，其中a>b>。；(2)双曲线的标准方程： £<=1或：

2、=1 ,其中a>0, b>0； a b a b(3)抛物线的标准方程：x2=±2py, y2=±2px,其中p>0.I【题型分析】221 .(2019 广州测试)已知双曲线 C：9y=1(a>0)的一条渐近线方程为 2x+3y=0,F1, a 4F2分别是双曲线 C的左、右焦点，点 P在双曲线上，且| PF| =7,则|P£| =()A.1 B . 13 C . 4 或 10 D . 1 或 13答案 D解析 由一条渐近线方程为 2x+ 3y = 0和b= 2可得a= 3, | F1F2I = 2d9 + 4 =2JT3,由点 P在双曲线

3、C上，贝U| PF| -| P4| =6,可得 | PE| =1 或 13,根据 | PF| =7,| PR| =1,|FF2|=2小3或| PF| =7, | PE| =13, | F1F2I =253均能满足三角形成立的条件.故选D.x2y242 .椭圆弓+ 4yl = 1的离心率为g,则k的值为()B. 21A. 21C. 19或 212519D. 15或 21答案 C解析 若 a2= 9, b2=4+k,则 c= J5- k,由'=1,艮0 .5 卜=4 得 k=黑；若 a2 a 53525= 4+k, b?=9,则 c= /k 5,由=?,即 Y ? = 解得 k = 21.

4、故选 C.中a 54+k 5【误区警示】1 .运用双曲线定义时， 容易忽略距离差的“绝对值”这一条件.如第1题，忽略此条件可能因为| PF| =7,2a=6,而直接根据| PF| |PF| =2a,得出| PF2| =1,错选A.因此对于各 圆锥曲线的定义，要熟练掌握，特别是双曲线的定义，不要忽略距离差的“绝对值”这一重 要信息；除此之外，对于椭圆定义中|PF|+|PF2|>| F1F2|、双曲线定义中| PF|PF2|<| F1F2I , 满足这样点的轨迹才能是椭圆和双曲线也是非常重要的信息点，这也是第1题后续需要验证的原因.2 .求标准方程时不考虑焦点位置，如第2题，不考虑焦点

5、在y轴上的情况，而导致漏解.因此求圆锥曲线方程时，当焦点位置不明时要注意根据焦点位置进行分类讨论.热点2圆锥曲线的几何性质I方法结论1 .椭圆、双曲线中，a, b, c三者之间的关系(1)椭圆：a2= b2+ c2,离心率 e= a(2)双曲线：c2= a2+b2,离心率为 e=c = a2 .确定离心率的值或范围时，充分利用椭圆和双曲线的几何性质或者点坐标等,b得到关于a, c的关个关于a, b, c的方程(组)或不等式(组)，再根据a, b, c的关系消掉系式.3 .双曲线 x y2= 1( a>0, b>0)的渐近线方程为 y=±bx,双曲线 2-2= 1(a>

6、;0, b>0) a baa b的渐近线方程为y=±ax；同时注意渐近线斜率与离心率 e的关系.bI【题型分析】221.设椭圆C： x2+y2= 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1, F2, P是C上的点，PRXF1F2, a bZPFF2=30 ,则C的离心率为()3A.至B. 1 C. 2 D.乎323答案 D解析解法一：如图,在 RtPEFi 中,/ PFF2=30 , | F1F2I =2c,| PF = 2c - tan30 °| PF| + | PE| = 2a,即43c+ 2'c= 2a 可得/c=a.，e=33c ：3故选D.

7、解法二：（特殊彳1法）在 RtPEFi 中,令 |PE| =1,/ PFF2=30° , . . |PF|=2, | FiF2| =/3.c 2c| FiF2|13 为以.e=a=2T|PF|+|PF| = 3 .故选 D.222.（2017 全国卷I ）已知双曲线 C：'=19>0，b>0）的右顶点为A,以A为圆心，b为半径作圆 A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于 M N两点.若/ MAN= 60。，则C的离心率答案2,33解析如图，取 MN43点P,连接AP则API MN所以/ MAP 30° .因为A（ a,0） , M Nb| ab|ab为丫=上

8、的点，则 ap| =-jL=L=-c-15 -在RfPAW , cos Z PAM端 嘘=a呼,所以e哈芈3.(2019 全国卷I）已知双曲线C：b>0）的左、右焦点分别为F1, F2,过Fi的直线与C的两条渐近线分别交于A B两点.若FiA= AR FiB- F2B= 0,则C的离心率为答案 2解析 解法一：由FiA= AB,得A为FiB的中点.又O为F1F2的中点,OA/ BE.又FiB F2B= 0, ./ FiBR=90 . OF=OB/ OBF= / OFB.又/ FiOA= / BOF, / FiOA= / O田/ BOF= / OFB= / OBF,.OBF为等边三角形.如

9、图i所示，不妨设B为2,乎c .点 B在直线 y=bx 上，. b=d3, a a. c 离心率e=-=2.a解法二： FiB- FzB= 0,，/FiBE=90 .在 Rt"iBE中,O为 F1F2的中点，| OF| = | OB = c.如图 2,作 BH，x 轴于 H,由 l 1为双曲线的渐近线，可得 LBHHr=b, H| BFH2+| OlH2 = |OB2=c2, .|BF|=b,| oh a|OH = a,B(a, b), F2( c, 0).又FiA= AB，A为F1B的中点. OA/ F2B, . . / FQA= / FF2B,又/ FQA= / BOF, . .

10、 / BOF= / F1F2B,v.c.离心率e=- = 2. ab b-=, c= 2a, a caI【误区警示】1.双曲线的渐近线方程是,bay= ± -x,还是 y = ± x,ab2是最容易混淆出错的点.如第2题,如果将MN/f在渐近线错写为yax,则 | AR = -a2.再根据 cos / PAM= bJa2+b2I API 品得到关于e的方程3e4-3e2-4=0,从而形成错解.因此双曲线渐近线可以根据双曲线方程进行推导，即对222于双曲线92,令，一2b222b”则a=±b即y=±ax而不要死记硬背也可以选2 .解决有关几何性质问题时，既

11、可以使用曲线方程与点坐标有关的代数运算, 择利用平面图形的几何性质求解.二者比较起来，代数运算的计算量较大，出错率较高.因 此求解此类问题时，要根据题目给出的已知条件，准确画出平面图形，并充分挖掘图形中隐 含的几何性质，从而简化计算过程.3 .求解离心率的值或范围的问题时，要注意不同圆锥曲线的离心率范围不同.热点3交汇题型方法结论V解析几何与其他知识相结合，各种题型均有可能出现， 要求较高，其中最常见的是与平面向量和不等式结合考查.解决此类问题，关键在于能“透过现象看本质”，从而选择相应 方法求解.交汇点一与不等式交汇典例1 （2017 全国卷I ）已知F为抛物线C： y同理可得| DE =

12、4(1 + k).=4x的焦点，过F作两条互相垂直的 直线11, 12,直线11与。交于 A B两点，直线12与。交于D, E两点，则|AB+|DE的最小 值为（ ）A.16 B . 14 C . 12 D . 10解析 因为F为y2=4x的焦点，所以F（1,0）.1 , 由题意直线11, 12的斜率均存在，且不为 0,设11的斜率为k,则12的斜率为故k直线1 1, 12的方程分别为y= k x1由2y = 4x,设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 x+x2=2k2+4k2，xx2= 1,1 y=k(x-1), y= px1).得 k2x2 (2 k2+4)x+ k2= 0.所

13、以 | AB =71 + k2 | x1 x2|= 41+ /. 7 x1 + x2 24x1x2222k +4 24 1 + k-72_ 4= T2kk一 .2. r.4 1 + k, 21,/,/,12 一 ,2,1 一 一所以 | AB +| DE| =k2 31AB1A2T 2><3|AB2+ 4(1 + k)=4p+ 1 + 1 + k =8 + 4 k+p >8 + 4X2 =16,c 1当且仅当k2=p,即k=±l时，取得等号.故选 A.答案 A【类题通法】解析几何与不等式交汇，主要体现在运用不等式的相关知识，解析或证明几何图形的某 些特征.交汇点集中

14、在利用不等式的解法求参数范围，或构造函数利用均值不等式求最值等【演练冲关】（2 019 江西南昌一模）抛物线y2=8x的焦点为F,设A（xi,yi）,Rx2,y2）是抛物线上的两个动点，若xi + X2+ 4 =2,33| AB ,则/ AFB的最大值为（）B.D.答案解析因为 x1 + x2+4 = 23| AB, |AF| + | BF =x1 + x2+4,所以 | AF + | BF| =| AB , 33在 AFB中,由余弦定理得:cos / AFB-|AF| 2+|BF2-|AB2I AF + | BF|2| AF - I BF| 22|AF I BF | AB 2| AF I B

15、F|3| AB2|AB2 32|AF I BF3| AB23T, 1 =2| AF - I BF又 | AF +| BF =乎| AB 又加 AF I BF , 3_1_2所以 | AF - I BF| <-| AE|2, 3则 cos Z AFB-3 AB2 ;-12| AF - I BF一一，一， 2 兀 ，所以/ AFB的最大值为一,故选D.3交汇点二与向量交汇2典例2 （2019 吉林四平质检）经过椭圆x2+y2= 1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ,交椭圆于 A, B两点.设O为坐标原点，则 OA- O匿于（）一 八一 1A. 一 3B. 一 3C. 一 W或一3

16、D. ± T33解析 依题意，当直线l经过椭圆的右焦点（1,0）时，其方程为y- 0 = tan450 （ x1）, 即y = x 1.代入椭圆方程x+y2=1并整理得3x24x= 0,解得x= 0或x=£所以两个交点坐 23标为A（0, 1） , B4, 1 ,所以OA OB= （0 , -1） -1 J同理，直线l经过椭圆的3 33 331 ，一左焦点时，也可得 OA OB= 3故选B. 3答案 B【类题通法】平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理.解决此类问题基本思想：一是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；二是

17、考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题I【演练冲关】x22设F1, F2分别是椭圆-+y =1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P,使（O丹OE） P桎= 0（0为坐标原点），则4 F1PE的面积是（）A.4 B . 3 C . 2 D . 1答案 D解析 .（0丹 0F） P桎=（0丹 F1O） - PF2=F1P- PF>=0, PFXPE, / F1PF2=90 .设| PF| = rm | PF = n,则 mm- n = 4, m2+ n2 = 12,1- 2mn= 4, mn= 2,1)S；A F1PF2 = 2mn= 1.真题自检感悟1.(2019 全国卷I）已知椭

18、圆C的焦点为Fi（1,0） , F2（1,0），过F2的直线与C交于AB两点.若 | AE| = 2| F2B| ,A x22 .a. 2" + y = 1| AB = |BF| ,则C的方程为（）2_ xb.3+=4a.a,2c/4-答案解析2卜上12d.X52设椭圆的标准方程为| AB = | BF| , | AF =2| F2B| ,3 一. . | AB = | BF| = 2| AE| ,.，点A是椭圆的短轴端点,9b由点B在椭圆上，得42+42=1, a b2= 1(a>b>0).由椭圆的定义可得| AE| + |AB+| BF| AF| + 31A同=4a.

19、又 | AF| 十 | AR| =2a, . . | AF| = | AF>| =3 b如图.不妨设 A(0 , b),由 F2(1,0) , AF；= 2F2B,得 B1, 2 .得 a2= 3, b2= a2 c2= 2.22.椭圆C的方程为X +5=1.32故选B.2.（2019 全国卷I ）双曲线C:2 x -2 a2y2= 1（a>0, b>0）的一条渐近线的倾斜角为130° ,则C的离心率为（）A.2sin40B . 2cos40° C.1_1sin50 ° D. cos50°答案 D解析由题意可得=+tan 2130

20、76; =3.（2019 全国卷na= tan130 ，所以 e=1 +'sin 1301 + cos2130° =|cos130° |1_cos50° .故选 D.22）设尸为双曲线C：b2= 1（a>0, b>0）的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2 = a2交于P, Q两点.若| PQ = | OF ,则C的离心率为（）A.小B.4C . 2 D.根答案 A解析设双曲线C:2 x22 a2yb2=1（a>0, b>0）的右焦点F的坐标为（c, 0）.由圆的对称性及条件| PQ=| OF可知，PQ是以OF为直径

21、的圆的直径， 且PQL OF设垂足为 M 连接OP如图,一.C , o O CcCcc,.CL则|OP = a, | OM = |MP = 2.由| OM2+| MP2=|OP2得-2+2 2=a2,故鼻=斓，即 e=g.故选A.22* 一 ,一一一 x yA是C的左4.（2018 全国卷n ）已知F1, F2是椭圆C： a2+b2=1（a>b>0）的左、右焦点,顶点,点P在过A且斜率为平的直线上，口正为等腰三角形,/诏=12。，则C的离心率为（）A.3 B. 2 C3 口.答案 D解析 依题意易知| P同=| F1F2I =2C,且P在第一象限内，由/ FEP= 120。可得P点

22、的坐标为（2 C,、/3c）.又因为6p=晅，即=凄,所以a=4C, e=,故选D.62c+ a 64专题作业、选择题221.（2017 全国卷出）已知椭圆C：，+（=1（a>b>0）的左、右顶点分别为 A, A,且以线段A1A2为直径的圆与直线 bx- ay+ 2ab=0相切，则C的离心率为（）B.13 C 理 d.3答案解析由题意知以 AA为直径的圆的圆心为（0,0）,半径为a.又直线bx-ay+2ab=0与圆相切,2ab圆心到直线的距离d=2：ba2+ b=a,解得 a=J3b,c a - be= _= a a1- b2aA.2.（2019 全国卷出）双曲线C:=1的右焦点为

23、F,点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若| PO = | PF ,则4 PFO勺面积为（）A.3.2 R4 B. 2答案解析2 x 双曲线了422= 1的右焦点坐标为（、/6, 0）,一条渐近线的方程为y=#x,不妨乎，纵坐标为设点P在第一象P由于|PQ = |PF,则点P的横坐标为PFO的底边长为 乖，高为 坐，所以它的面积为,5V= 22*。6*=乎.故选a.2b2=1（a>0, b>0）的一条渐近线方程为x,且与椭圆2xA. 8'一2C.X5-2 2 x y_ 12十32 j 102 y-= 1 41有公共焦点，则C的方程为（）22x yB.7-5 = 1D.x2

24、 匕 143答案解析由题意可得b=坐，c=3,又 a2+b2=c；解得 a2= 4, b2 = 5,则 C 的方程为 x a 242y=1,故选5B.4.（2017 全国卷n ）若双曲线C：x?y2= 1（a>0, b>0）的一条渐近线被圆（x2）2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为A.2 B. .'3 C. '2 D. 233答案 A解析设双曲线的一条渐近线方程为b y=?, a因为圆的圆心为（2,0）,半径为2,由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22-12= 13根据点到直线的距离公式得|2 b|_a2+b：解得 b2=3a2.所以C的离心率e =ca5

25、.（2019 长沙市高三一模）八是抛物线y2=2px（p>0）上一点，F是抛物线白焦点，O为坐标原点，当|AF=4时，/ OFA= 120。，则抛物线的准线方程是 （）A.x = - 1 B. y= - 1C.x=- 2 D. y=- 2答案 A解析如图，过A作ABLx轴，A5直于准线，因为/ OFA= 120° , |AF=4,所以/AFB= 60° , | BF = 2,根据抛物线定义知| AC = 4且|AQ = | BF +p,所以p+2=4即p=2.即抛物线的准线方程为x= - 1 ,6.（2019 河北武邑中学调研）已知直线l ： y=k（x + 2）（

26、k>0）与抛物线 C： y2=8x相交于A B两点,1A. 一 3F为C的焦点，若|FAB.应 C. 2 D.333=2| FB ,则k等于（）答案 Dy=k x+2 ,解析由y2_ 8x消去y得k2x2+(4 k2-8)x+4k2=0, = (4 k28) 216k4>0,又 k>0,解得 0<k<1,8. G设 a(Xi, y1) , B(X2, y2) , Xi + X2=4,XiX2 = 4,根据抛物线定义及|尸丹=2产曰得*1+2=2（*2+2）,即 xi= 2x2+2,且 xi>0, X2>0,28由解得xi = 4, X2= 1，代入得

27、k =-, 9,0<k<1,k = 22.故选 D.37.(2019唐山模拟22）双曲线E： X2卷=1（a>。，b>0）的渐近线方程为 y=± V7x,则E的离心率为（A.2 B.答案解析22b由题意，双曲线 %b2=1（a>°，b>0）的渐近线方程为y=±J7x,即£=巾，所以双曲线的离心率为e=a=32Tb2b二寸+ a 22=2 2,故选 C.8.（2019 河北衡水中学模拟）已知双曲线 :2y2= 1（a>0, b>0）的左、右焦点分别为Fi ,bF2,过Fi作圆x2+y2=a2的切线，交双曲线右

28、支于点M若/ FiMF= 45° ,则双曲线的渐近线方程为（）A. y = ± *xC.y= 土 xD. y= ±2 x-19 -答案 A解析如图，作OAL FiM于点 A F2BX FiM于点 B因为 FiM与圆 x2+y2=a2相切，/ FiMF= 45° ,所以 |OA = a, | F2BI =| BM = 2a, | F2M =2也a, | FiB| =2b.又点M在双曲线上，所以 | FiM -| EM =2a+2b2 2a=2a.整理，得b=y2a.所以»=。2. a所以双曲线的渐近线方程为y=±娘x.故选A.229.（

29、2019 华南师大附中一模）已知双曲线E：$* i（a>0, b>0），点F为E的左焦点， 点P为E上位于第一象限内的点， P关于原点的对称点为 Q且满足|PF = 3|FQ,若|Op = b, 则E的离心率为（）A. 2 B.小 C . 2 D.乖答案 B解析 设双曲线的另一个焦点为 Fi,连接FiP, FiQ因为P关于原点的对称点为 Q所 以FiPFQ是平行四边形，所以| PF| =|FQ.根据双曲线定义知| PF | PF| =2a,又| PF =3| FQ =3| PF| ,所以 | PF| =a, | OP = b, | OF| =c,因为 c2=a2+b：所以/ OPF

30、= 90° .又因为 | PQ = 2b, | QF| = 3a, | PF| = a,所以（3 a）2 = a2 + （2 b）2,整理得 b2= 2a2即 c2 = 3a2,所以 e=C = J3, a ,故选B.i0.（20i9 湖北八校二模）设尸是抛物线x2=4y的焦点，A B, C为该抛物线上三点， 若FA+ FB+ FC= 0,贝U | FA + | FB + | FC 的值为（）A.3 B . 6 C . 9 D . i2答案 B解析 因为FA+ FB+ FC= 0,所以F为ABC勺重心，设 A, B, C三点的纵坐标分别为_ f yi + V2+ V3一一、一,yi,

31、 y2, y3,则=yF=1,所以 yi + y2+y3= 3.由抛物线te义可知 | FA = yi+1, | FB =3y2+1, |FC=y3+1,所以 | FA + | FB + |FC =yi + y2+y3+3 = 6,故选 B.11.(2019 郑州第三次质量预测22)椭圆沁=1的左焦点为F,直线x= m与椭圆相交于点M, N当 FMN勺周长最大时， FMN勺面积是(A. B.手C.手匕答案 C解析设椭圆的右焦点为Fi,由椭圆定义知FMN勺周长为|MN+|MF + |NF =|MN +(29一|MF|) +(25|NF|)=气心+| MN| MF| | NF|.因为 | MF|

32、十 | NF| R | MN,所以 |MN | MF| | NF| W0,当MNi Fi时取等号，即直线x=m过椭圆的右焦点时，FMN勺周长最大，此时 | MN= 5- , | FFi| =2,所以 S>a FMk 2 X 5 X 2 = 5" ,故选 C.2212 .(2 019 汕头市一模)已知双曲线，一步 1(a>0, b>0)的右焦点为F(c, 0),右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于 B, C两点，过B, C分别作AC AB的垂线，两垂线交于点D,若D到直线BC的距离小于a+c,则双曲线的渐近线余率的取值范围是()A.( 8, 1) U (1 ,+8

33、)B.( -1,0) U (0,1)C.( °°, 2) U (2, +°0)D.(啦，0) U (0 ,正)答案 B解析b2所以B c,- a如图，因为 ABL BD且 BF± AD 所以 | BF2=| AF - I DF.因为 A(a, 0) , F( c, 0), ，则1"=爵=ad.又因为D到直线BC的距离即为|DF，所以b4a2ca<a+c,即 b4<a2(c a)( a+c),整理得 b4<a2b2,所以 k2<1,解得一1<k<1.又因为 kw0,故选B.二、填空题13 .(2019 新乡模拟)设P为曲线2x= 14+y2上一点，.0) , B(4,0),若| PB =2,则 | PA =.答案 4解析 由 2x = 14+ y2,得 4x2 = 4+ y2(x>0),2即 x2 (= 1(x>0),故P为双曲线x29=1右支上一点，4且A, B分别为该双曲线的左、右焦点，则|PA |PB=2a=2, |PA = 2+2 = 4.14.(2017 全国卷n )已知F是抛物线C: y2=8x的焦点