2020年高考文科数学重难点02三角函数与解三角形(教师版)

1、精品资源备战高考重难点02三角函数与解三角形【高考考试趋势】新高考环境下，三角函数与解三角形依然会作为一个重点参与到高考试题中，其中对应的题目的分布特点与命题规律分析可以看出，三角试题每年都考，而且文理有别，或"一大一小"，或"三小"，或"二小"（"小"指选择题或填空题，"大"指解答题，解答题以简单题 或中档题为主，选择题或填空题比较灵活，有简单题，有中档题，也有对学生能力和素养要求较 高的题.三角函数的图象与性质是高考考查的重点及热点内备考时要熟练掌握三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式及正

2、、余弦定理，在此基础上掌握一些三角恒变换的技巧， 如角的变换，函数名称的变换等，此外，还要注意题目 中隐含的各种限制条件，选择合理的解决方法，灵活实现问题的转化鉴于新课标核心素养的要求，三角函数与解三角形在实际背景下的应用也将是一个考试 试点.考点主要集中在三角函数图像及其性质的应用，三角函数恒等变换，以及正弦余弦定 理的应用.本专题在以往高考常见的题型上，根据新课标的要求，精选了部分预测题型，并 对相应的题型的解法做了相应的题目分析以及解题指导，希望你在学习完本专题以后能够对三角函数以及解三角形的题型以及解答技巧有一定的提升【知识点分析以及满分技巧】三角函数与解三角形：从返几年高考情况来看，

3、高考对本部分内容的考查主要有，1.三解恒等变换与三角函数的图象、性质相结合；2.三角恒等变换与解三角形相结合；3.平面向量、不等式、数列与三角函数和解三角形相结合，难度一般不大，属中档题型三角函数图形的性质以及应用：对于选择题类型特别是对称中心，对称轴等问题选项中特殊点的带入简单方便，正确率比较高总额和性的问题一般采用换元法转化成最基本的函数问题去解答.对于三角函数有关恒等变换的题目应注重公式的变形解三角形类型的大题中， 重点是角边转化，但是要注意两边必须同时转化，对于对应的面积的最大值问题以及周长的最值问题一般转化成基本不等式去求，但是在用基本不等式的时候应注意不等式等号成立的条件 .35分

4、钟）【常见题型限时检测】（建议用时: 高频必考攻克高考精品资源备战高考（2019湖北高考模拟（文）把函数 y,1的一（纵坐标不变），再将图象向左平移2人.在（一,一）上单调递增6 6C.最小正周期为4【答案】A【解析】【分析】利用三角函数的平移伸缩变换得到新的函数，对称性，检验即可得到答案.【详解】sin（x ）的图象上各点的横坐标缩短到原来 3一个单位长度，则所得图象（）4B .关于（一,0）对称12D.关于y轴对称然后利用正弦函数的单调性、周期性、以及一个单位长度, 4得到函数y sin 2 x 一 4一,即y sin 2x 一的图象.36显然函数是非奇非偶函数，最小正周期为,排除选项C,

5、D；令 2x k k Z ,得 x 612,0对称，排除选项B;12令一2k 2x 2k262kZ 得一k x k k Z ，36，1将y Sin x 图象上各点的横坐标缩短到原来的一（纵坐标不变）32得到函数y sin 2x 的图象，再将图象向左平移3高频必考攻克高考所得函数在一,一 上单调递增，故 A正确.3 6故选：A【名师点睛】本题考查函数 y=Asin (水+4)的图象变换规律，考查正弦函数的单调性、周期性、以及 对称性，属于基础题.2. (2019山东高考模拟(文)将函数 f(x) 2sin 2x 一的图像向右平移个单位长 66度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不

6、变)得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是()A.函数g(x)的最大值为 J3 1 B.函数g(x)的最小正周期为 2C.函数g(x)的图象关于直线 x 对称D.函数g(x)在区间 一， 上单倜递增 36 3【答案】D【解析】【分析】根据平移变换和伸缩变换的原则可求得g x的解析式，依次判断 g x的最值、最小正周期、对称轴和单调性，可求得正确结果.【详解】函数f x向右平移一个单位长度得：2sin 2 x -2sin 2x 6666横坐标伸长到原来的 2倍得：g x 2sin x 一6g x最大值为2 ,可知A错误；精品资源备战高考g x最小正周期为2 ,可知B错误;,则x 不是g x的

7、对称轴，可知 C错误;632当x _, J 时，x 0,此时g x单调递增，可知 D正确.6 362本题正确选项：D【名师点睛】本题考查三角函数平移变换和伸缩变换、正弦型函数的单调性、对称性、值域和最小正周期的求解问题，关键是能够明确图象变换的基本原则，同时采用整体对应的方式来判断正弦型函数的性质.3.（2019安徽高三月考（文） ABC三内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则a b”是Cos2A cos2B”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件试题分析：在三角形中,D.即不充分也不必要条件cos2A cos2B 等价为 1 2sin 2 A 1 2sin2 B ,即a b

8、sin A sinB.若a b ,由正弦定理 ，得sin A sin B .充分性成立.若sinA sinBa b,口,人” 1sin A sinB ,则正弦定理 ,得a b,必要性成立.所以， a bsinA sinB是sinA sinB”的充要条件.即a b是cos2A cos2B成立的充要条件，故选C.考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.4. （2019湖南师大附中高考模拟（文）一艘海轮从A处出发，以每小时 40海里的速度高频必考攻克高考精品资源备战高考沿东偏南50海里方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南 20 ,在B处观察灯塔，其

9、方向是北偏东 65 ,那么B、C 两点间的距离是（）A. 1072海里 B. 10月海里C. 2042海里D. 20褥海里【答案】A【解析】如图，在 中，H = 5。一 20二 30 口出二 40十 65。二 105,则C = 180° -(30°+1050)=45:20 BC.45=4Cx- = 20；由正弦定理得 二 =,、得RC =101，即B、C两点2专m 45- sm 30"间的距离是 106 n mile .高频必考攻克高考考点：解三角形.5.2019广东高考模拟（文）在 VABC中，AB2, c '，则ac J3bc的最大A. 46B. 3币

10、C. 2币D. V7【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理得出 VABC的外接圆直径，并利用正弦定理化边为角，利用三角形内角和关系以及两角差正弦公式、配角公式化简,最后利用正弦函数性质可得出答案.VABC 中，ABABsinC4,AC .3BC4sinB4,3sinA 4sin4V3sinA 2cosA 673sinA 4"sin A 0,其中sin 014sin由于0 A一所以0 24 冗 ，一，一， L，所以最大值为4V7 .3【名师点睛】本题考查正弦定理以及两角差正弦公式、配角公式,考查基本分析计算能力，属于中等题.二、填空题6. （2019黑龙江高三月考（文）若九sin 一6

11、利用角一的关系，建立函数值的关系求解2已知sin 6冗cos 一 3sin_c 2 几22cos 一3【名师点睛】给值求值的关键是找准角与角之间的关系,再利用已知的函数求解未知的函数值7. (2019湖南师大附中高考模拟(文)ABC的内角A,B,C的对边分别为a, b,c,已知 3 acosC ccosAb,B 60【答案】75由.3 acosCccosA根据正弦定理得3 sinAcosC sinCcosAsinB,即,3sin A C, 一 1 八 sin A C ,A 2又因为A C 180所以 2A 150 ,A故答案为75 .8. (2019江西高考模拟(文)设 f(x) sin2x

12、J3cos2x,将f(x)的图像向右平移0)个单位长度，得到g(x)的图像，若g(x)是偶函数，则 的最小值为5【答案】12【分析】k先化简函数f(x),再求出g(x) 2sin(2x 2-),由题得 一 一,k Z ,给3122k赋值即得解.【详解】f (x) sin2x 、3cos2x2sin(2x -),将f(x)的图像向右平移 (0)个单位长度得到g(x) 2sin(2x 2因为函数g(x)是偶函数,一k所以 2- - k , ,k Z , (0)3 2122所以min512故答案为512【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换和图像的变换,考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识

13、的理解掌握水平和分析推理能力9. (2019广东高考模拟(文)在 ZXABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c,ABC 120 , ABC的平分线交 AC于点D,且BD 1,则4a c的最小值为【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值详解：由题意可知，Saabc Saabd Sabcd ,由角平分线性质和三角形面积公式得-acsin120 21-a 1 sin 6021，一八一1-c1 sin 60,化简得ac ac,-2a1-1,因此 c4a c当且仅当c2a 3时取等号，则4a c的最小值为9.11c(4a c)()5 a ca【名师点睛】：在利用

14、基本不等式求最值时，要特别注意拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中 芷”即条件要求中字母为正数)、罡”不等式的另一边必须为定值 )、等”等 号取得白条件)的条件才能应用，否则会出现错误 .三、解答题10. (2019山东济南外国语学校高考模拟(文)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c ,已知 a 2c cosB bcosA 0.(I)求 B；(II)若b 3, ABC的周长为3 2亚求 ABC的面积.(I) B(I ) S>A ABC3.34(I)直接利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，求出 B的值;(I)利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果.【详解】(I)Q a 2c

15、 cosB bcosA 0,sinA 2sinC cosB sinBcosA 0,sinAcosB sinBcosA 2sinCcosB 0,sin A B 2cosBsinC 0,Q sin A B sinC.1cosB 一, 2Q 0 B , B 2 .32 2-1(I由余弦th理得9 a c 2ac - ,222c2ca c ac 9, a c ac 9,Qa b c 3 2亚 b 3, a c 273,SvABCacsinB 23,34【名师点睛】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用.11. （ 2017辽宁鞍山一中高考模拟（文）

16、已知a, b, c分别为 ABC三个内角A,B,C的对边，c 、3asinC ccosA.(I求 A;(I若a=2 , ABC的面积为J3 ,求b , c.【答案】（1）A （2）b c=2 3【解析】【详解】（I由c 73asinC ccosA及正弦定理得,一 3sinAsinC cosAsinC sinC1由于 sinC 0,所以 sin A ,62又0 A ，故A . 3 1 .-.（1） ABC 的面积 S = bcsinA=73，故 bc=4, 2而 a2 b2 c2 2bccosA故c2 b2 =8,解得 b c=212. （2019绥阳县绥阳中学高考模拟 （文）在 ABC中，角A

17、,B,C所对的边分别为a,b,c,b cos A （2 c a ）cos B .（1）求角B的大小；（2）若b 6, ABC的面积为26，求 ABC的周长.2【答案】（1） B - ；（2） 2布6.3【解析】1【分析】（1）根据正弦7E理与两角和正弦公式可得cosB ,从而得到角B的大小；2（2）利用面积公式可得 ac 8,结合余弦定理可得 a c 2 d，从而得到 ABC的周长.精品资源备战高考【详解】解：（1）由正弦定理可得 sinBcosA 2sinC sinA cosB,即 sin AB 2sinCcoSB sinC.又角C为ABC的内角，所以sinC八一，10,所以 cosB -2

18、(2)又b20,由 S ABC2所以B 31一 acsinB 2ac a、3ac42c ac273，得 ac 8.36,所以a C2布，所以ABC的周长为2布6.【名师点睛】（1）在三角形中根据已知条件求未知的边或角时，要灵活选择正弦、余弦定理进行边角 之间的转化，以达到求解的目的.（2）求角的大小时，在得到角的某一个三角函数值后，还要根据角的范围才能确定角的 大小，这点容易被忽视，解题时要注意.13. （2019广东高考模拟（文）已知 a,b,c分别为ZXABC内角A, B,C的对边,cosCc 2b2a(I)求 A;（I）已知点 D在 BC 边上，DC 2BD 2, AC 73 ,求 AD

19、 .2【答案】（I） A（1）1 3【解析】高频必考攻克高考精品资源备战高考高频必考攻克高考【分析】(I)由余弦定理化简已知可得结合范围o o oI1b c a bc，可求信 cosA -2A (0,),可求A的值.(I)由已知可求得BC 3,由余弦定理求得c的值,可求cosC的值,在VADC中,由余弦定理可得AD的值.解：(I) ; cosCc 2b2a2ab.整理可得:b2bc， cosA b-2c2bcbc2bc(0,) A A2BD2, b可得：a BC3,1DC由余弦定理2.22a b c 2bccosA,可得9 3c2 区 6 0,解得：c 乖(负值舍去)，cosC2,22a b

20、c2ab9 3 3.32 3.32VADC中，由余弦定理可得:ADAC2 CD2 2AC CD cosC【名师点睛】本题主要考查了余弦定理及方程思想，还考查了计算能力及转化能力，属于中档题.14. (2019安徽合肥一中高考模拟(文)在 ABC中，a,b,c分别 为角A,B,C的 对边，且 sinB sinC sin A C .(1)求角A;(2)若a 3,求b 2c的最大值.【答案】(1) A ； (2) 2v21. 3【解析】【分析】1(1)利用sinB sin(A C)展开代入已知条件，化简得cosA再根据0 A ,求得A 一 ； 3(2)用角B这一变量来表示b 2c,转化成研究2j3(

21、2sin B J3cosB)的最大值.【详解】(1)因为 sinB sinC sin A C ,所以 sin A C sinC sin A C ,1所以 sin AcosC cos AsinC sin C sin AcosC cos Asin C cosA ,2因为0 A ，所以A（2）由（1）得 CB,由正弦定理-sin Absin B32R,所以 sinCsin 3bsinBcsin(23- B)',-2所以 b2V3sin B,c2V3sin( B),32所以 b 2c 2、.3sinB 4、,3sin(j B) 2、,3(2sinB 、,3cosB)2asin( B)，其中 t

22、an，一一 2 ._由B （0,）,存在B使得B3一,所以 sin(B 2）的最大值为1,所以b 2c的最大值为221.【名师点睛】本题考查三角恒等换、正弦定理及三角函数的最值等知识,考查逻辑推理和运算求解能力，解题过程中要特别注意，求最值的方法，即引入变量B ,构造关于变量 B的函数,接着研究函数的值域，从而得到目标式子的最值15. （2019内蒙古高考模拟（文）如图，D是直角VABC斜边BC上一点，AC J3DC .(I )若 BAD 600,求ADC的大小;(I )若 BD 2DC ,且 ABJ6 ,求AD的长.【答案】（1 ）1200（1）近【解析】（I ）由已知可求【分析】即2,的D

23、AC 30°,在VADC中，由正弦定理可得sin ADC ,2可解得 ADC 120°. ( I)由已知在VABC中，由勾股定理可得 DC 1 , BD26 AD 4 4ADcos 6AC E,令 ADB 仇由余弦定理 3 AD2 1 2ADcos 8,即可解得AD值.【详解】(I )Q BAD 60°,BAC 90°,DCACsin DAC sin ADC氏2，DAC 30°,在VADC中，由正弦定理可得：AC sin ADC -sin DACDC120°ADC 120° 或 60°, 又 BAD 60°

24、;,ADC(I )Q BD 2DC ,在VABC中，由勾股定理可得:BC 3DC,BC2 AB2 AC2,可得：9DC2 6 3DC2 ,DC 1, BD 2, AC 忑,令 ADB 9,由余弦定理：在 VADB 中，AB2 AD2 BD 2 2AD BD cos 0,22_2_在VADC 中，AC AD CD 2AD CD cos 兀 9 ,26 AD 2 4 4ADcos 62可得：3 AD 1 2ADcos 0,解得：AD2 2,可得：AD 应【名师点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题.16. ( 2019 福建高考模拟

25、(文)已知函数f(x) V3sin( x)sin( x) cos2x 1 .2(1)求函数f(x)的递增区间；(2)若 ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,角A的平分线交BC于D,3-r、八f (A) 一，AD V2BD 2，求 cosC 2【答案】(1)递增区间为k ,k-, k Z； (2)cosC 疾 五.634【解析】分析：(1)利用三角恒等变换化简函数f x的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f x的递增区间；(2)在 ABC中，利用正弦定理求得 sinB的值，可得B的值，再利用两角和的余弦公式，求得cosCcos A B的值.详解：（1）; f3sin x sin2

26、cos x 1、3sinx cosx一 2sin x3n2x21 cos2xsin2x令2k2x2k k，函数的递增区间为(2) .sin2Asin2A1,2A 一 611又AD平分BAC,BAD又AD 应BD 2,又由正弦定理得:BDADsin BADsinBsin 6sinB 一sin B2r-又 0 B ，.二 B= 一 ；，C34cosC cos 341.2、,322、,6 2 222224【名师点睛】：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦定理、两角和的 余弦公式的应用，属于中档题 .以下内容为“高中数学该怎么有效学习？”首先要做到以下两点：1、先把教材上的知识点、理论看明

27、白。买本好点的参考书，做些练 习。如果没问题了就可以做些对应章节的试卷。做练习要对答案，最 好把自己的错题记下来。平时学习也是，看到有比较好的解题方法， 或者自己做错的题目，做标记，或者记在错题本上，大考之前那出来 复习复习。2、首先从课本的概念开始，要能举出例子说明概念，要能举出反例， 要能用自己的话解释概念（理解概念）然后由概念开始进行独立推理活动， 要能把课本的公式、定理自己推 导一遍（搞清来龙去脉），课本的例题要自己先试做，尽量自己能做 的出来（依靠自己才是最可靠的力量）。最后主动挑战问题（兴趣是最好的老师），要经常攻关一些问题。（白 天攻，晚上钻，梦中还惦着它）其次，先看笔记后做作业。有的高中学生感到。老师 讲过的，自己已经听得明明白白了。但是，为什么自己一做题就困难 重重了呢？其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到 教师所要求的层次。因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关 内容和当天的课堂笔记先看一看。 能否坚持如此，常常是好学生与差 学生的最大区别。尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。如果自己又不注意对此落实， 天长日久，就会造成极大损失。做题之后加强反思。 学生一定要明确，现在正坐着的题，一 定不是考试的题目。而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方 法。因此，要把自己做过的每道