(完整word版)高中数学基本不等式知识点归纳及练习题

1、高中数学基本不等式的巧用，a+b1 .基本不等式：abib< 2(1)基本不等式成立的条件：a>0, b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号.2 .几个重要的不等式c bb aa+ b c(1)a2+b2>2ab(a, bCR)； (2)- + ->2(a, b 同号)；(3)ab<2(a, bCR)；a b2a2一b2a b 2(a, bC R).3 .算术平均数与几何平均数 a b设a>0, b>0,则a, b的算术平均数为一丁，几何平均数为 朝，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数.4 .利用基本不

2、等式求最值问题已知x>0, y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时、x+ y有最小值是2yp.(简记：积定和最小)如果和x+y是定值p,那么当且仅当xy时，xy有最大值是pp(简记：和定积最大)一个技巧运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a2+b2>2ab逆用就是ab&%2:一.%b至MOb(a-bN0)逆用就是abf. ayb 2(a.b>.0)等一还要注意:孤拆项:. 技巧和公式等号成立的条件等.两个变形(1)a2J|b2>, a2b 2之ab缸b£R,当县仅当包亍,b.Ml.等号).；.一丐1b&g

3、t;. ayb>. Vab>彳2彳(a 20M b> Q,当且仅当a三一 b 一时取笠号， a b这两个不等式链用处很大一注意掌握它们 三个注意9(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆” “拼” “凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正” “定” “等”的条件.(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.应用一：求最值例1:求下列函数的值域,2.1(1) y= 3x +芽一、1(2) y=x+-x解题技巧：技巧

4、一：凑项5例1 ：已知x ,求函数y4y4x21的最大值。4x 5技巧二：凑系数例1.当0C克U4时，求y x(8 2x)的最大值。技巧三：分离2例3.求y x一7x10(x1)的值域。x 1技巧四：换元技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况,应结合函数a f (x) x 的单倜性。x例：求函数yx2 5=5=的值域。x2 4练习.求下列函数的最小值，并求取得最小值时,x的值.(1) yx2 3x 1 /-,(x 0) yx2x1,xx 33 (3) y12sin x ,x (0,) sin x2,已知0x 1,求函数y "x(1 x)的最大值.；3. 0y Jx

5、(2 3x)的最大值.条件求最值1.若实数满足aa bb 2 ,则33的最小值是变式：若log 4 x技巧六：整体代换:11心log 4 y 2 ,求的最小值.并求x, y的值x y多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。192：已知x 0,y 0,且1,求x y的最小值。 x y变式：(1)若x,y R且2x y 1,求11的最小值 x y(2)已知a,b, x, y R且a b ，求x y的最小值x y2技巧七、已知x, y为正实数，且x 2 + y =1,求x/ + y 2的最大值.1技巧八：已知 a, b为正头数，2b+ab+a= 30,求函数丫=元 的取小

6、值.技巧九、取平方5、已知x, y为正实数，3x+ 2y=10,求函数 W=4 +2y的最值. 应用二：利用基本不等式证明不等式2221.已知a,b,c为两两不相等的实数，求证： a b c ab bc ca1)正数 a, b, c 满足 a+b+c=1,求证：(1 a)(1 b)(1 - c) >8abc111例 6：已知 a、b、c R ,且 a b c 1。求证：一 1 一 1 一 18abc应用三：基本不等式与恒成立问题19例：已知x 0, y 0且一 一 1,求使不等式 x y m恒成立的实数 m的取值范围。 x y应用四：均值定理在比较大小中的应用：1a b、例：若 a b

7、1,P dlga lgb,Q (1g a 1g b), R lg()，则 P,Q, R的大小关系是 22解:(1) y=3x 2 + 2x7 封 2(2)当 x>0 时，y=x +j 3x 2 - 122 = J6 ，值域为乖1 > x - 1 =2; xx+oo)当 x<0 时， y=x+x= ( x-x ) w 2，值域为(一00, 2 U 2 , +8)解：因4x0 ,所以首先要“调整”符号，又(4xQx4x 0， y4x 21 5 4x 52)小 不是常数，所以对4x 2要进行拆、凑项,4x ,32 3 15 4x当且仅当4x1r,即x 1时,5 4x上式等号成立，故

8、当x 1时，丫由耿1。评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。解析：由口工,4知，2工 口，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2x (8 2x) 8为定值，故只需将y x(8 2x)凑上一个系数即可。y三以”2力三g2广部一2初1干号-2亍三2当2或二8-2其，即x=2时取等号 当x=2时，y x(8 2x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值。解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项，再将其分离。# l+10 _

9、S+1广十“二十力十42.：(x 1)4. x 19 (当且仅当x=1时取“=”号)解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t =x+ 1,化简原式在分离求最值。(t 1)2 7(t 1)+10 t2 5t 4=t当 x n -1 ,即 t=x + 1 2 口 时,(当t=2即x=1时取“=”号)。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为y mg(x)Ag(x)B(A0,B0) , g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。t(tx2 411t (t 2)x2 4 t因为10,t - t1不在区间2,故等号不成立

10、，考虑单调性。1 -、-在区间t1,单调递增，所以在其子区间2, 为单调递增函数，故 y也。2所以，所求函数的值域为52,分析：“和”到“积”个缩小的过程，而且3a3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值,解：3a 和3b 都是正数，3a 3b >2J3a 3b 2'3a b 6当3a 3b时等号成立，由a b 2及3a19错解：Qx 0, y 0,且 1 1, x y错因：解法中两次连用基本不等式，在x y2'xy等号成立条件是x3b得a b 1即当a b 1时，3a 3b的最小值是6.-9 x y 2庐2a 12 故 x y min 12。 x y. xy19 条件是即

11、y 9x,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出 x y等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解：Q x0, y 0,- x9x10 6 10 16 y当且仅当yx9x , 时，上式等号成立，又y1,可得4, y 12 时，xy min 16。分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab<同时还应化简q + y 2中y2前面的系数为x1+y 22分析:卜面将x,1 +y2分别看成两个因式:x 2 +(A 4 )2x 2 +匕22即 x1 + y 2 =2 x2这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径,性或基本不等式求解，

12、对本题来说，这种途径是可行的； 件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值, 的途径进行。一是通过消元，转化为一元函数问题二是直接用基本 不等式，对本题来说，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式,再用单调因已知条2b 2+30bb+ 1讣30-2b法. a- b+1 '302b-2ab= b=b+1令 t = b+1, 1 vt v 16, ab=一 .2 一. 一2t +34t31由 a>0得，0vb<1516、，16-，16 八=2 (t +-t- ) + 34 /t +-t- >2、/t =8 ab< 181 y y 18当且仅当t = 4,即

13、b=3, a=6时，等号成立。法二：由已知得：30-ab=a+2b-a + 2b>2-xj2abu2+22 u-30<0, -5啦 WuW3啦1ab< 18, . y>一1830 -ab>22-0b点评：本题考查不等式dab (a,b R )的应用、不等式的解法及运算能力； 如何由已知不等式 ab a 2b 30(a,bR)出发求得ab的范围，关键是寻找到a b与ab之间的关系，由此想到不等,、a b式 jab (a,b R ),这样将已知条件转换为含 ab的不等式，进而解得 ab的范围.2变式：1.已知a>0, b>0, ab (a+b) = 1,求

14、a+ b的最小值。2.若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。a+ b a 2+ b 2解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，一g <2,本题很简单啊 +V2y w* y(声)2+ (的)2=小=3x+ 2y =25解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和 为定值”条件靠拢。此0, W= 3x+2y+2啊必=10+2弧- 2y2 < 10+ h/3x ) 2 - (2y ) 2 = 10+(3x+2y) = 20 此窜=2邓变式：求函数y '2- 5-2x(- x 5)的最大值。2 2解析：注意到2x 1与5

15、2x的和为定值。y2 ( 2x 1 ,5 2x)2 4 2, (2x 1)(5 2x) 4 (2x 1) (5 2x) 8又y 0,所以0 y 2也3当且仅当2x 1=5 2x ,即x -时取等号。故ymax 2衣。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等"，同时还要注意一些变形技巧，积 极创造条件利用基本不等式。分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又1 1 L_a b_c 2 bc,可由此变形入手。 a a a a1 / 1 a b c 2 bc斛.Qa、b、c R , a b c 1。 一 1 a a a a上述三个不等