2020年长沙市高中必修一数学上期末试卷(附答案)

1、2020年长沙市高中必修一数学上期末试卷（附答案）A.2.A.3.A.4.、选择题已知集合1,0已知函数设集合A0,1已知函数f (x)2,B.3 axB.x|2x1 1B.1, 0,1,2,0,1bx 3(a,bb y|y0,1x, x1,xB x|(x 1)(x 2)C.1,0,10 ,则 AI B ()D. 0,1,2R).若 f (2) 5,则 f ( 2)C.D. 110g3X,XA，则 eB AC.0,1D.0,1f Xif x2,满足对任意的实数Xi W x2都有v 0Xix2成立，则实数a的取值范围为A.(巴 2)B.138C.(一巴 2100mL5.酒驾是严重危害交通安全的违

2、法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定:血液中酒精含量低于 20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到2079mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒30%的速精含量上升到了 1mg/mL .如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车?）（参考数据：lg0.2= 0.7,1g0.3 0 0.5,1g0.7A.0.15, 1g0.8 * 0.1)B. 3C. 5D. 76.a x 4a, x的增函数，则a的取值范围是（）A.5,3B.5,3C.,3D 2,57 .对于函数在使f (x)m恒

3、成立的式子中，常数 m的最小值称为函数 f （x）的“上界值”，则函数f(x)3x3x 33的“上界值”为（）A. 28 . - 2C. 1D. 18.用二分法求方程的近似解，求得f（x） x3 2x 9的部分函数值数据如下表所示:X121.51.6251.751.8751.8125f(x)-63-2.625-1.459-0.141.34180.5793则当精确度为0.1时，方程x3 2x 9 0的近似解可取为A.1.6B. 1.7C. 1.8D. 1.99.已知函数y f(x)是偶函数，y f(x 2)在0,2是单调减函数，则()A.f( 1)f(2)f(0)B. f( 1)f(0)f(2)

4、C.f(0)f( 1)f(2)D. f(2) f( 1)f(0)10.已知y是以为周期的偶函数，且 x0,时,2sinx,则当1 ,3时,A.1 sin xB.sin xC.sin xD.1 sin x11.偶函数f满足f1,0 时,x ,cos1 ,2若函lOga x,0,a 1有且仅有三个零点，则实数a的取值范围是(A.3,5B.2,4C.1 1D. 一 ,5 312.曲线-41( 2 x 2)与直线ykx2k 4有两个不同的交点时实数范围是(/5 31A.(一，一12 4B- (152,)C.(3()、填空题13.已知 f (x)14.已知函数D- (,151,x1,xf(x)(2x a

5、x,x(ax 1,1,什 若1,则实数a的取值范围是15.已知常数aR,函数x ax2 116.已知函数f2a x2* 13a x17.若哥函数f (x) = x的图象经过点18.sin 已知f (x)f(xx (x 0)则 1)(x 0)(x 2)f(x 2) 5的解集为Xi,X2 R,Xi x2,使得 f(x1) f(x2)成立,.若f x的最大值与最小值之差为2 ,则1，的值域为R ,则实数a的取值范围是(3,，则 a21111f( 3 ”)为1119.已知函数f x3x 2,x 12x ax 1,x，若 f f 0 12a ,则实数a .x|ax 2 0, a Z ,且 BA,则实数2

6、20 .若集合 A x|x 5x 6 0 , Ba.3x 13x 1三、解答题21 .已知函数f(x)(1)证明：f(x)为奇函数；(2)判断f(x)的单调性，并加以证明;(3)求f (x)的值域.22 .已知 f x log 2 2 x log 2 2 x(1)求函数f x的定义域；(2)求证：f x为偶函数；(3)指出方程f x x的实数根个数，并说明理由23 .已知函数f x log 2 -m- 1 ,其中m为实数. x 1(1)若m 1,求证：函数f x在1,上为减函数;(2)若f x为奇函数，求实数 m的值.24 .科研人员在对某物质的繁殖#况进行调查时发现，1月、2月、3月该物质的

7、数量分别为3、5、9个单位.为了预测以后各月该物质的数量，甲选择了模型y ax2 bx c,乙选择了模型y pqx r ,其中y为该物质的数量，x为月份数，a, b, c, p, q, r为常数.(1)若5月份检测到该物质有 32个单位，你认为哪个模型较好，请说明理由(2)对于乙选择的模型，试分别计算 4月、7月和10月该物质的当月增长量，从计算结果中你对增长速度的体会是什么？一，一，2x 11 口,一,25 .已知定义域为 R的函数f (x) -1 '是奇函数.2x a 2(I )求实数a的值；(n )判断函数f(x)的单调性，并用定义加以证明.26 .设全集为 R,集合 A=x|3

8、 买<7, B= x|2<x<6,求？r(AUB), ?r(AAB), (?rA) CB, AU (?rB).【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除、选择题1 A解析： A【解析】【分析】【详解】由已知得B x | 2 x 1 ，因为 A 2, 1,0,1,2,所以 A B 1,0 ，故选 A2 D解析： D【解析】【分析】3令g x ax bx,则g x是R上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得f ( 2)的值.【详解】令g(x) ax3 bx ,则g(x)是R上的奇函数，又 f (2) 3，所以 g(2) 3 5，所以 g(2) 2， g 22，所以 f ( 2) g( 2

9、) 32 3 1 ，故选 D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题3 B解析： B【解析】【分析】先化简集合A,B,再求eB A得解.【详解】由题得 A x|2x 1 20x|x 1 ， B y|y 0 .所以eBA x |0 x 1 .故选B【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4 B解析： B【解析】 【分析】 【详解】a 2 0试题分析：由题意有，函数f X在R上为减函数，所以有1 2，解出(a 2) 2 (-)2 12133 a ，选 B.8考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要

10、考查分段函数的单调性，属于易错题.从题目中对任意的实数 x1 x2，都有f X1f x2.1 0成立，得出函数 f X在R上为减函数，减函数图象特征：从左向右看，图X1 X21.2.13象逐渐下降，故在分界点X 2处，有(a 2) 2 (-)1,解出a .本题容易出错的地方28是容易漏掉分界点 X 2处的情况.5. C解析：C【解析】【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型 0.7 X 0.2求 解.【详解】因为1小时后血液中酒精含量为(1-30%) mg/mL,X小时后血液中酒精含量为(1-30%) Xmg/mL的，由题意知100mL血液中酒精含量低于 20m

11、g的驾驶员可以驾驶汽车，X所以 130%0.2,0.7X 0.2 ,两边取对数得，lg 0.7 X lg 0.2 ,lg0.214x ,lg0.73所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.故选：C【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的 能力，属于基础题.6. A解析：A【解析】【分析】利用函数y f x是 ，上的增函数，保证每支都是增函数，还要使得两支函数在2分界点x 1处的函数值大小，即 3 a 1 4a 1 ,然后列不等式可解出实数 a的取值范围.【详解】,一，.3 a x 4a,x 1 一，一一，由于函数f x是 ， 的增函数，x2,x 1则函数

12、y 3 a x 4a在 ,1上是增函数，所以， 3 a 0,即a 3；2 一,一 2且有 3 a 14a 1 ,即 3 5a 1 ,得 a ，5因此，实数a的取值范围是 2,3 ，故选A.5【点睛】本题考查分段函数的单调性与参数，在求解分段函数的单调性时，要注意以下两点：(1)确保每支函数的单调性和原函数的单调性一致；(2)结合图象确保各支函数在分界点处函数值的大小关系.7. C解析：C利用换元法求解复合函数的值域即可求得函数的“上界值”.【详解】令 t 3x,t故函数f的“上界值”是1;故选C【点睛】本题背景比较新颖，但其实质是考查复合函数的值域求解问题，属于基础题，解题的关键是利用复合函数

13、的单调性法则判断其单调性再求值域或通过换元法求解函数的值域8. C解析：C【解析】【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解 【详解】根据表中数据可知 f 1.750.14 0, f 1.81250.5793 0,由精确度为0.1可知1.75 1.8,1.8125 1.8,故方程的一个近似解为 1.8,选C.【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区 间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解9. C解析：C【解析】【分析】先根据y f x 2在0,

14、2是单调减函数，转化出 y f x的一个单调区间，再结合偶函数关于y轴对称得0,2上的单调性，结合函数图像即可求得答案【详解】Q y f x 2在0,2是单调减函数，令t x 2 ,则t2,0 ,即f t在 2,0上是减函数y f x在 2,0上是减函数Q函数y f x是偶函数，y f x在0,2上是增函数Q f 1 f 1 ,则 f 0 f 1 f 2故选C【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判 定大小，较为基础.10. B解析：B【解析】【分析】【详解】一 5一 一 一因为y fx是以为周期，所以当x -,3 时，fx fx 3冗，2_1_

15、一一.八,八此时x 3- ,0 ，又因为偶函数，所以有 f x 3冗f 3九x ,23冗 x 0, ，所以 f 37tx 1 sin 37tx 1 sinx, 2故 f x 1 sinx ,故选 b.11. D解析：D【解析】试题分析：由f x f 2 x ,可知函数f x图像关于x 1对称，又因为f x为偶函数，所以函数 f x图像关于y轴对称.所以函数f x的周期为2,要使函数g x f x loga x有且仅有三个零点，即函数 y f x和函数y logax图形有且只0 a 111 一 一八有3个交点.由数形结合分析可知，loga31, 一 a ,故D正确.53loga 51考点：函数零

16、点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数 形结合求解.12 . A解析：A【解析】试题分析:4 x21( 2 x 2)对应的图形为以(0,1)为圆心2为半径的圆的上半5部分，直线y kx 2k 4过定点2,4 ,直线与半圆相切时斜率k 3，过点 2,1时12-3. 5 3.斜率k -,结合图形可知实数 k的范围是(一，一412 4考点：1.直线与圆的位置关系

17、； 2.数形结合法 二、填空题13 .【解析】当时解得；当时包成立解得：合并解集为故填:一一3解析：x | x 2【解析】当 x20 时，x x 2 f x 25 x x 25,解得x2 0 时，x x2fx25 x x 25,恒成立，解得:2,合并;33解集为 x x -,故填： x x -.2214 .【解析】【分析】【详解】故答案为解析："-【解析】【分析】【详解】解:由题意得，即在定义域内J不是单调的，分情况讨论(1)若工签1时,£)=-Jr2 +处不是单调的即对蝴在工二；满足解得：白6NW1时J是单调的1此时0叁2/(幻为单调递增.最大值为了= ci-l故当工 1

18、时(用=1为单调递墙最小值为/(I) = f7- 1, 因此刈在R上单调增不符条件.综合得:"2故买数日的取值范围是-孙2)故答案为-.15 .【解析】【分析】将化简为关于的函数式利用基本不等式求出的最值即可 求解【详解】当时当时时当且仅当时等号成立同理时即的最小值和最大值分别 为依题意得解得故答案为：【点睛】本题考查函数的最值考查基本不等式的 解析：3【解析】【分析】 将f x化简为关于x a的函数式，利用基本不等式，求出的最值，即可求解【详解】 当 x a 时，f(x) 0,当x?,f x a时，x a x a 1x2 1 (x a) a2 1 ,、a2 1 -，(x a) 2a

19、x a时,a2 1(x a)x a2a 2 . a2 1 2a当且仅当0 f(x)2、a21 2a同理x a时,a ,f (x) 0，f(x)2即f (x)的最小值和最大值分别为信 1 a 4a2 1 a ,22依题意得后1 2，解得a 褥.故答案为：. 3 .【点睛】本题考查函数的最值，考查基本不等式的应用，属于中档题16 .【解析】【分析】根据整个函数值域为 R及分段函数右段的值域可判断出 左段的函数为单调性递增且最大值大于等于 1即可求得的取值范围【详解】当 时此时值域为若值域为则当时为单调递增函数且最大值需大于等于 1即解得一一 1斛析：0,2【解析】【分析】根据整个函数值域为 R及分

20、段函数右段的值域，可判断出左段的函数为单调性递增，且最大 值大于等于1,即可求得a的取值范围.【详解】当x 1时，f xx 12，此时值域为1,若值域为R,则当2a x 3a为单调递增函数，且最大值需大于等于11 2a即1 2a3a故答案为：0,2，指数函数的性质与一次函数性质的应用，属于中档题.【点睛】本题考查了分段函数值域的关系及判断17 .【解析】由题意有：则：解析:4【解析】1由题思有：3-, a 2 ,9则：a 22 2 1.418. 0【解析】【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可求解【详解】因为则所以【点睛】本题主要考查了分段函数求值属于中档题解析：0【解析】【分析】根据分段函

21、数的解析式，代入求值即可求解.因为f(x)sin f(xx (x1)(x0)0)【详解】1 , 21f() f (-) f ( -) sin( -),sin(11V)1sin 一 611则 f ( )1166662所以 f( -) f(11) 0. 66【点睛】本题主要考查了分段函数求值，属于中档题.19. 2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式直接代入即可求出实 数的值【详解】由题意得：所以由解得故答案为：2【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题属于一般难度的题解析：2【解析】【分析】利用分段函数分段定义域的解析式，直接代入即可求出实数a的值.【详解】 0_2由题意得

22、：f 032 3, f 33 3a 1 10 3a,所以由f f 010 3a 2a,解得a 2.故答案为：2.【点睛】本题考查了由分段函数解析式求复合函数值得问题，属于一般难度的题20. 或【解析】【分析】先解二次不等式可得再由讨论参数两种情况再结合求解即可【详解】解：解不等式得即 当时满足当时又则解得又则综上可得或 故答案为：或【点睛】本题考查了二次不等式的解法空集的定义及集合的包 解析：0或1【解析】【分析】先解二次不等式可得 A x|2 x 3,再由B A,讨论参数a 0, a 0两种情 况，再结合a Z求解即可.【详解】解：解不等式x2 5x 6 0，得2 x 3,即A x|2 x

23、3 ,当a 0时，B ，满足B A,222_当a 0时，B ,又B A,则2 3,解得一a 1,又a Z,则 aa3a 1 ,综上可得a 0或a 1,故答案为：0或1.【点睛】本题考查了二次不等式的解法、空集的定义及集合的包含关系，重点考查了分类讨论的数 学思想方法，属基础题.三、解答题21. (1)证明见详解；(2)函数f(x)在R上单调递，证明见详解；(3) ( 1,1)【解析】【分析】(1)判断f(x)的定义域，用奇函数的定义证明可得答案；(2)判断f(x)在R上单调递增，用函数单调性的定义证明可得答案;3x 1(2)由 f(x)-一 3x 12LL 2,可得3x>0 ,可得及3x

24、 13x 12 3x-的取值范围，可得1f (x)的值域.【详解】证明：(1)易得函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,r3 x 1 1 3x -一一且 f(x)1-f (x),故 f(x)为奇函数;3131(2)函数f(x)在R上单调递增，理由如下：在R中任取x1<用，则3* - 3x2 < 0，3x11>0 ， 3x21>0 ，一3x1 13x2 1可")f(x2)M 广(122-r-) (1 -)3* 13x2 1(3x 1)(3x21)故f(Xi) f(X2)<0,函数f (x)在R上单调递增；3X 12 一 一 一(3)由 f(x) _ 1

25、一,易得 3x>0, 3X+1>1,3X 13x 1,2_2,2故 0<<2, -2<-<0,故-1 <1 -<1 ,3X 13x 13x 1故f(x)的值域为(1,1).【点睛】本题主要考查函数单调性及奇偶性的判断与证明及求解函数的值域，综合性大，属于中档题.22. (1)2,2 ; (2)证明见解析；(3)两个，理由见解析.【解析】【分析】(1)根据对数函数的真数大于0,列出不等式组求出 x的取值范围即可；(2)根据奇偶性的定义即可证明函数f(x)是定义域上的偶函数.(3)将方程 f x x 变形为 log2 4 x2x ,即 4 x2 2x

26、，设 g x 4 x2 2x(2 x 2),再根据零点存在性定理即可判断.【详解】解：(1) Q f x log2 2 x log2 2 x2x0，解得2 x 2,即函数f x的定义域为 2,2 ；2x0(2)证明：.对定义域2,2中的任意x ,都有 f x log 2 2 x log 2 2 x f x 函数f x为偶函数；(3)方程f xx有两个实数根，理由如下：易知方程f x x的根在 2,2内，方程f x x可同解变形为log2 4 x2x ,即 4 x2 2x设 gx4x2 2x(2x2).当x 2,0时，g x为增函数，且g 2 g 012 0,则在 2,0内，函数g x有唯一零点

27、，方程 f xx有唯一实根，又因为偶函数，在 0,2内，函数g x也有唯一零点，方程 f x | x有唯一实根, 所以原方程有两个实数根.【点睛】本题考查函数的定义域和奇偶性的应用问题，函数的零点，函数方程思想，属于基础题.23. (1)证明见解析(2)【解析】 【分析】(1 )对于Xi , X21,XiX2，计算f Xf x20得到证明.(2)根据奇函数得到0,代人化简得到X2 1 ,计算得到答案.【详解】(1)当 m1时，f10g2log 2对于X1 ,X21,f X1X2log 2为X1110g2X2X2 1log2X1X11X2X2lOg2X1X2XX1X2X2因为为所以X1X2 ,所

28、以X1X2X1X2X2,又因X1 ,X21, ，且 X1X2,所以X1X2X2X2 X1 10,X1X2 即qX1X1 X2X20,所以函数f(2)KX2X2X1X20.x在， 上为减函数.10g2 一 Xlog 2x为奇函数，则0.所以10g2loglog 2log 2(m 1)10g2X2 (m 1)202X 1所以X2【点睛】本题考查了单调性的证明,根据奇偶性求参数,意在考查学生对于函数性质的灵活运用24. (1)乙模型更好，详见解析(2) 4月增长量为8, 7月增长量为64, 10月增长量 为512;越到后面当月增长量快速上升 .【解析】【分析】X 5时的函数值，最接近 32的模型(1)根据题意分别求两个模型的解析式，然后验证当 好；(2)第n月的增长量是f n f n 1 ,由增长量总结结论【详解】a b c 3a 1(1)对于甲模型有 4a 2b c 5,解得：b 19a 3b c 9c 3y x2 x 3 当 x 5 时，y 23.p