2020年中考数学三轮易错复习：专题12类比、探究类综合题之全等知识

1、CE与ADPE2020年中考数学三轮易错复习：专题 12类比、探究类综合题之全等知识【例1】(2019 济源一模)在 菱形ABCD中，/ ABG60。，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边 APE点E的位置随着点 P的位置变化而变化.(1)探索发现如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接 CE填空：BP与CE的数量关系是 AD的位置关系是.(2)归纳证明当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理)(3)拓展应用如图4,当点P在线段BD的延长线上时，连接 BE若AB=273, BE=2

2、ji9,请直接写出四边形的面积.以点【变式1-1(2019 周口二模)在 ABCK / AB勃锐角，点 M为射线AB上一动点，连接C为直角顶点，以。皿直角边在CM&侧作等腰直角三角形 CMN连接NB(1)如图1,图2,若 ABC等腰直角三角形，问题初现： 当点 M为线段 AB上不与点 A重合的一个动点，则线段BN, AM之间的位置关系是深入探究:当点M在线段AB的延长线上时，判断线段 BN, AM之间的位置关系和数量关系，并说明理由;类比拓展:(2)如图3, / AC学90° ,若当点 M为线段AB上不与点A重合的一个动点， MPLCM交线段BN于点P,且/ CBA45 ,

3、BC=4、2,当 BM,时,BP的最大值为图2图3【例2】(2018 洛阳三模)在正方形 ABCDK动点E、F分别从D C两点出发，以相同的速度在直线DC CB上移动.(1)如图1,当点E在边CD上自D向C移动,同时点F在边CB上自C向B移动时，连接 AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由;(2)如图2,当E, F分别在边CD BC的延长线上移动时， 连接AE DF (1)中的结论还成立吗？ (请你直接回答“是"或“否”，不需证明)；连接AC请你直接写出 ACE为等腰三角形时 CE CD的值;(3)如图3,当E, F分别在直线 DC CB上移动时，连接

4、 AE和DF交于点P,由于点E, F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点 P运动路径的草图.若 AD=2,试求出线段 CP的最大值.【变式2-1(2019 西华县一模)如图1,在正方形ABCW,点E,F分别是边BGAB上的点，且CE=BF连接DE过点E作EGL DE使EGDE连接FG FC(1)请判断：FG与CE的数量关系是 ,位置关系是;(1)中结论是否仍然成立?(2)如图2,若点E, F分别是边CB BA延长线上的点，其它条件不变,请作出判断并给予证明;(3)如图3,若点E, F分别是边BG AB延长线上的点，其它条件不变，(1)中结论是否仍然成立?请直接写出你的判断.图1图2图3强化精

5、炼：1. (2019 河南南阳一模) 我们定义：如图1,在 ABG把AB绕点A顺时针旋转 风(0° < “<180° )得到AB ,把AC绕点A逆时针旋转 3得到AC，连接B' C',当a+ §=180°时，我们称 AP C是 ABC的“旋补三角形"， AB C'边B' C'上的中线 AD是 ABC勺旋补中线，点 A叫旋补中心.特例感知：(1)在图2,图3中，ABC'是 ABC勺“旋补三角形"，AB，C边B'C上的中线AD>AABC的旋补中线，如图2,当 ABB

6、等边三角形时，AD与BC的数量关系是 如图3,当/ BA(=90 , BG8时，则AD的长为猜想论证：(2)如图1,当 ABC是任意三角形时，猜想 AD与BC的数量关系，并给予证明. »重福磔衿野磋理碎蹄把尾邨邈)下 呼魂西京建A 一 七 =& 二，7： X .2. (2019 郑州外国语测试) 已知如图1所示，在ABC4 Z ACB90 , AC=BQ点D在AB上，DEL AB 交BC于E,点F是AE的中点，(1)写出线段FD与线段FC的关系并证明；a (0。V a<90。)，其它条件不变，线段 FD与线段FC(2)如图2所示，将4 BD瞰点B逆时针旋转的关系是否变化

7、，写出结论并证明;（3）将 BDEg点B逆时针旋转一周，如果 BG4, BE=2"，直接写出线段 BF的范围.3. （2019 偃师一模） 特殊：（1）如图1 ,在等腰直角三角形 ABC中，/ ACB90° .作 CM平分/ ACB 交AB于点M点D为射线CM上一点，以点 C为旋转中心将线段 CD逆时针旋转 90。得到线段 CE 连接DE交射线CB于点F,连接 BD BE填空：线段BD BE的数量关系为 ;线段 BC DE的位置关系为 .一般：（2）如图2 ,在等腰三角形 ABC中，/ ACBa ,作CM平分/ ACB交AB于点 M,点D为4ABC 外部射线 CM上一点，以

8、点C为旋转中心将线段 CD逆时针旋转 a度得到线段 CE连接DE BD BE.请 判断（1）中的结论是否成立，请说明理由.特殊：（3）如图3 ,在等边三角形 ABC中，作 BM平分/ ABC交AC于点 M点D为射线 BM上一 点，以点B为旋转中心将线段 BD逆时针旋转60°得到线段 BE连接DE交射线BA于点F,连接AD AE若 AB=4,当ADM/ AFD全等时，请直接写出 DE的值.图1图2图34. （2019 省实验一模）观察猜想（1）如图，在RtA ABC, ZBAC= 90。，AB= AC= 3,点D与点A重合，点E在边BC上，连接DE 将线段D蹴点D顺时针旋转90。得到线

9、段DF,连接BF, BE与BF的位置关系是 ,BE+BF=探究证明(2)在(1)中，如果将点 D沿AB方向移动，使 AD= 1,其余条件不变，如图，判断BE与BF的位置关系，并求 B&BF的值，请写出你的理由或计算过程;拓展延伸(3)如图，在 ABC, AB= AC /BAG= a,点D在边BA的延长线上，BD= n,连接DE将线段DE交AB于点F,将A谶点D顺时针旋转 e得到ED连接BE(1)特例猜想如图1 ,当a =90°时，试猜想:(2)拓展探究(3)解决问题得到ED连接BE当BD= 3CD时，请直接写出 BE的长度.绕着点D顺时针旋转，旋转角/EDF= a,连接BF,

10、则B3BF的值是多少？请用含有 n, a的式子直接写出结图1图2图35. (2019 濮阳二模)在4ABC中，AC= BC / ACB= a，点D为直线BC上一动点，过点 D作DF/ ACAF与BE的数量关系是;/ ABE=如图(2),当0° v a <90°时，请判断 AF与BE的数量关系及/ ABE的度数，并说明理由.如图(3),在 ABC中，AC= BG AB= 8, Z ACB= a，点D在射线BC上，将 AD绕点D顺时针旋转 a6. (2019 开封二模)问题发现图1图2图3如图1, 4ABB等边三角形，点 D是边AD上的一点，过点 D作DE/ AC交AC于

11、E,则线段BD与CEW何数量关系？拓展探究如图2,将4八口或点A逆时针旋转角 a (00 < a <360° ),上面的结论是否仍然成立？如果成立, 请就图中给出的情况加以证明.问题解决如果 ABC勺边长等于2 卮 AD= 2,直接写出当 ADEt转到DE与AC所在的直线垂直时 BD的长.图1图2备用图7. (2019 安阳二模)(1)问题发现：如图 1,在四边形 ABCD, AB/ DC E是BC的中点，若 AE是 /BAD的平分线，则 AB AD DC之间的数量关系为 .(2)问题探究：如图 2,在四边形 ABCW, AB/ DC E是BC的中点，点F是DC的延长线上

12、一点，若AE是/ BAF的平分线，试探究 AB AF, CF之间的数量关系，并证明你的结论(3)问题解决：如图 3, AB/ CD点E在线段BC上，且BE EC= 3: 4.点F在线段 AE上，且/ EFD =/ EAB直接写出AB, DF CD之间的数量关系.图1图2图38. (2019 中原名校大联考)如图 1,在RtAABC, / BAC= 90° , AB= AC点D E分别在边 ABAC上，AD= AE,连接DC BE点P为DC的中点，(1)【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是 ,位置关系是.(2)【探究证明】把 AD或点A逆时针旋转到图2的位置，(1)中的猜想是

13、否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由;(3)【拓展延伸】把 ADE第点A在平面内自由旋转，若 AD= 4, AB= 10,请直接写出线段 AP长度的最大值和最小值.9. (2018 新乡一模)如图 1,在 ABC与 ADE, AB=AC AD=AE / A是公共角.(1) BD与CE的数量关系是： ；(2)把图1的 ABC绕点A旋转一定的角度，得到如图2所示的图形.求证：BD= CEBD与CE所在直线的夹角与/ DAE勺数量关系是什么？说明理由.(3)若AD=10, AB=6,把图1中的 ABCg点A顺时针旋转 风度(0 ° <5W360)直接写出BD长度的取 值范围.图1图

14、210. (2019 河南模拟)【问题探索】(1)如图1,在RtABC中，/ ACB90,AGBC点D,E分别在AC BC边上，DGCE,连接DE AE BD点M N、P分别是 AE BD AB的中点，连接 PM PN MN探索 BE与MN的数量关系.聪明的小华推理发现 PM PN的关系为,最后推理得到 BE与MN的数量 关系为.【深入探究】(2)将口£¥§点C逆时针旋转到如图 2的位置，判断(1)中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由;2020年中考数学三轮易错复习：专题 12类比、探究类综合题之全等知识【例1】(2019 济源一模

15、)在 菱形ABCD中，/ AB(=60。，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧 作等边 APE点E的位置随着点 P的位置变化而变化.(1)探索发现如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接 CE填空：BP与CE的数量关系是 , CE与 AD的位置关系是(2)归纳证明当点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理)(3)拓展应用如图4,当点P在线段BD的延长线上时，连接 BE若AB=273, BE=2ji9,请直接写出四边形 ADPE的面积.AEEBC图4 / CAD60 ,【答案】(1) BPC

16、E caAD (2) (3)见解析.【解析】解：(1)连接AC延长CE至AD 四边形 ABCO菱形，/ ABG60。， Z BAR120 , / BAG60 , / CAR60 , . ABO等边三角形， . AB=AC APEM等边三角形， . AP=AE / PAE=60 ,/ BAfaZ CAEBA国 CAEBP=CE / AB060 , / ABP=30 ,. BA国 CAEZ ABf=Z ACE=30 , ./ACE+/CAB90 ,即 CDL AD(2)结论仍然成立，理由如下：(以图2为例)连接AC设CE与AD交于点H,四边形 ABCD1菱形，/ ABB60。， .ABCF口 AC

17、*等边三角形，/ ABB/CBD30。， .AB=AC / BAB60 ,. APE等边三角形，AP=AE / PAE=60 ,/ BAfaZ CAEBA国 CAE . BP=CE /ACE=/ABP=30 , / CAH60 , /AHC90 ,即 CEL AD(3)连接AC交BDT Q连接CEC由(2)知，CELBC. AB=273, BE=2M,在RtABCF,由勾股定理得： CE=8,由 BA国 CAE得：BP=CE BD=6,DP=BP- BD=2,agH在RtAAOF,由勾股定理得：AP=2J7,S=S；A AD+&APE1 L 3 一 2=23 2 72 4=8 3.【变

18、式1-1 （2019 周口二模）在 ABCK / AB勃锐角，点 M为射线AB上一动点，连接 CM以点C为直角顶点，以。如直角边在 CM&侧作等腰直角三角形 CMN连接NB（1）如图1,图2,若 ABS等腰直角三角形，问题初现：当点 M为线段 AB上不与点 A重合的一个动点，则线段BN AM之间的位置关系是深入探究：当点M在线段AB的延长线上时，判断线段 BN, AM之间的位置关系和数量关系，并说明理类比拓展：（2）如图3, / AC序90° ,若当点 M为线段AB上不与点A重合的一个动点， MPLCM交线段BN于点P,且/ CB/=45 , BG4J2,当B的 时，BP的最

19、大值为 【答案】（1） BNLAM BN=AM （2）见解析，（3） 2, 1.【解析】解:(1)由 AGBC / ACM/ BCNCMCN 可AC降 BCNBN=AM / A=Z CBN45 , /ABN90 ,即 BNL AM(2) BNL AM BNtAM 理由如下:N AB比等腰直角三角形，AG=BC /A=/ABG45 , / ACB90 ,同理，/ NCM90 , NCMC / ACM/ BCN . AC阵 BCN BNAM / A=Z CBN45 , /ABN90 ,即 BNL AM过C作CGL BC交BA的延长线于 G过C作CHL AB于H,如图所示,易证 GCB BCN由（2

20、）知，BN!AB . CHMb MBP.CH HM , BM BP即44 BMBM BP '设 BM=x,则 BP=1 x 2 2 1, 4 当B的2时，BP取最小值，最小值为 1.【例2】（2018 洛阳三模）在正方形 ABCD动点E、F分别从D C两点出发，以相同的速度在直线DC CB上移动.(1)如图1,当点E在边CD上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接 AE和DF交 于点P,请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图2,当E, F分别在边CD BC的延长线上移动时， 连接AE DF (1)中的结论还成立吗？(请你直接回答“是"或“

21、否”，不需证明)；连接AC请你直接写出 ACE为等腰三角形时 CE CD的值；(3)如图3,当E,F分别在直线 DCCB上移动时，连接AE和DF交于点P,由于点E,F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点 P运动路径的草图.若 AD=2,试求出线段 CP的最大值.【答案】见解析.【解析】解：(1) AE=DF, AE1DF，理由如下：.四边形ABCD1正方形，AD=DC / ADE=Z DCI=90 ,由题意知：DE=CF. AD摩 DCF . AE=DF / DAE=Z FDC / ADS90 , /ADF+/CDF=90 , .Z ADF+Z DAE=90 , /APB180°

22、-90° =90° , . AE1 DF(2) (1)中的结论还成立，CE CD=J2或2,理由如下:如图，当 AGCE时，设正方形 ABCD勺边长为a,由勾股定理得： AGCE=.2a,则CE Ct="a：4& ;如图，当 AEAC时,设正方形 ABCD勺边长为a,由勾股定理得： ACAE=.2a,四边形ABCO正方形, /ADC90 ,即 AD± CEDE=C1=a,. CE CD=2a： a=2；故，CE CD：拒或2;(3)二,点P在运动中/ APD90 ,.点P的路径是以AD为直径的圆,如图，设AD的中点为Q连接Cg延长交圆Q于点P,此

23、时CP的长度最大,在RtA QD中，由勾股定理得：Q(=75,.CP=QCQP=书+1,即线段CP的最大彳1是非+1.【变式2-1(2019 西华县一模)如图1,在正方形ABCDK点E, F分别是边BC, AB上的点，且CE=BF.连 接DE过点E作EGL DE使EGDE连接FG FC(1)请判断：FG与CE的数量关系是 ,位置关系是 ;(2)如图2,若点E, F分别是边CB BA延长线上的点，其它条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)如图3,若点E, F分别是边BC AB延长线上的点，其它条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断.【答案】(1) FGC

24、E FG/ CE (2) (3)见解析.【解析】解：(1) FGCE FG/ CE. BF=CE BC=CD / FBG/ DC巨90 ,BC阵 CDE / DEC/CFB /CFB/FCB=90 , ./ DEC+Z FCB=90 ,即 CFL DE. DEL EGEG/ CFEGDE=CF,四边形FCE境平行四边形, . FGCE FG/ CE(2) . BF=C BGCQ / FBG/DCE90 ,BC阵 CDE / DEC/CFB CF=DE /CFB/FCB=90 , ./ DEC+Z FCB=90 ,即 CFL DE. DEL EGEG/ CFEGDE=CF, 四边形FCE境平行四

25、边形，FG=CE FG/ CE(3)成立.由上可证： CBm DCE得：/ BCI=Z CDE CF=DE. EGDE. CF=EG. DEL EG / DEC/CEG90/ CDE/ DE090 Z CDE/CEG ./ BCF:/CEG . CF/ EG 四边形CEG"行四边形，FG/ CE FG=CE强化精炼：1. (2019 河南南阳一模) 我们定义：如图1,在 ABCK 把AB绕点A顺时针旋转 风(0° < “<180° ) 得到AB ,把AC绕点A逆时针旋转(3得到AC ,连接B' C ,当a+ 3=180°时，我们称 A

26、B C是 ABC的“旋补三角形"， AB C'边B' C'上的中线 AD是 ABM旋补中线，点 A叫旋补中心.特例感知：(1)在图2,图3中，AB C'是 ABC勺“旋补三角形”， AB，C边B' C上的中线 AD>AABC 的旋补中线，如图2,当 ABB等边三角形时， AD与BC的数量关系是 如图3,当/ BA090。，BG8时，则AD的长为猜想论证：(2)如图1,当 ABC是任意三角形时，猜想 AD与BC的数量关系，并给予证明.KCZZJ【分析】(1)由 ABB等边三角形，得 A&BGACAB =AC , / BAG60 ,

27、/ BAC/B' AC =180 , 得/ B' =/C' =30° ,即BG2AD可利用“直角三角形中， 斜边的中线等于斜边的一半”，证彳导:BG2ADAD=4;(2)BG2AD利用倍长中线构造全等三角形， 延长AK M使DMAD,连接B' M C' M证得 ABC B AM 得 BC=AM BC=2AD【解析】解：(1).一 ABB等边三角形， . AB=BGAC=AB =AC , / BA(=60 ,. DB =DC ,. ADL B' C ,. BAG/B' AC =180 ,B' AC =120° ,

28、/ B' =/ C' =30 , BG2AD即：答案为BG2ADBA(=90 , BAG/B' AC =180 , .Z B' AC =/ BAC90. AB=AB , AC=AC , .BAC2 B, AC ,. BOB' C',. B' D=DC , . BC=2AQBC=8, . AD=4;(2)结论：BC=2AD理由如下：如图，延长长 AD至M使DMAD连接B' M C M, AD=DM B' D=DC ,.四边形AC MB是平行四边形， .AC =B' M=AC/ BAG/B' AC =180 ,

29、 / AB M+/B' AC =180 , / BAB/ AB' M . AB=AB ,. .BA室 AB MBGAM即 BC=2AD2. (2019 郑州外国语测试)已知如图1所示，在ABC4 Z ACB90 , AC=BQ点D在AB上，DEEL AB交BC于E,点F是AE的中点，(1)写出线段FD与线段FC的关系并证明；(2)如图2所示，将4 BD段点B逆时针旋转a (0。V a <90。)，其它条件不变，线段 FD与线段FC 的关系是否变化，写出结论并证明；(3)将 BDEg点B逆时针旋转一周，如果 BG4, BE=2 J2 ,直接写出线段 BF的范围.【解析】解：

30、(1) FD=FQ FD! FC,理由如下:由题意知：/ ADEZACE=90 , AF=EF,DF=AF=EF=CF / FAD=/ FDA / FAG/ FCA/ DFE:Z FDA/ FAD=2/ FAD / EFC=2/ FACCA=CB / AC&90 , / BAB/ B=45 , Z DFG/ EFD/ EFG2 (/ FAD/ FAC =90 ,. FD=FC FD! FC(2)结论不变，理由如下：延长AC至M使得CMAC延长ED至N,使DN=DE连接BN BM EM AN,延长ME交ANT H,交AB于O,如图所示，. BCL AM AC=CM .AB=BM 同理得：

31、BE=BN / ABM/ EBN / NBA/ EBM. .AB星 MBEAN=EM / BAN=/BME. AF=FE AC=CM八 1八.CF=- EM CF/ EM21 同理，FD=，AN FD/ AN2 . FD=FC / BMEZ BOIM90 , / BOMZ AOH / BAN/AOH90 , / AHO90 ,即 AN! MH. FU FC（3）由题意知，当点 E落在线段AB上时，BF的长最大，如图所示,此时BF=3 J ,当点E落在AB的延长线上时，BF的长最小，如图所示,此时，bf=-，2,2 WBF<3 2.3. （2019 偃师一模） 特殊：（1）如图1 ,在等腰

32、直角三角形 ABC中，/ ACB90° .作 CM平分/ ACB 交AB于点M点D为射线CM上一点，以点 C为旋转中心将线段 CD逆时针旋转 90。得到线段 CE 连接DE交射线CB于点F,连接 BD BE填空：线段BD BE的数量关系为 ;线段 BC DE的位置关系为 .一般：（2）如图2 ,在等腰三角形 ABC中，/ ACBa ,作CM平分/ ACB交AB于点 M,点D为4ABC 外部射线 CM上一点，以点C为旋转中心将线段 CD逆时针旋转 a度得到线段 CE连接DE BD BE.请判断（1）中的结论是否成立，请说明理由.特殊：（3）如图3 ,在等边三角形 ABC中，作 BM平分

33、/ ABC交AC于点 M,点D为射线 BM上一 点，以点B为旋转中心将线段 BD逆时针旋转60。得到线段 BE连接DE交射线BA于点F,连接AD, AE若 AB=4,当 ADM与 AFD全等时，请直接写出DE的值.图1图2图3【答案】(1) BD=BE, BCLDE (2) (3)见解析.【解析】解：(1)由题意知：/ ACM/ BCIM45 ,由旋转知，/ DC=90° , CHCE / ECBZ DCB45 ,. BGBCBCD2 BCEBD=BE. CD=CE.BC是线段DE的垂直平分线，BCL DE(2)成立，理由如下， CMF分/ ACB / ACB a , Z ACM/

34、BCM, 2由旋转知，/ DC=a , CD=CE / BCD/ BCE： 2又.BC=BQBCD2 BCEBD=BE. CD=CE.BC是线段DE的垂直平分线, BCL DE(3)如图 3,可证得：/ ABE=ZABD=30 , AB±DE由AAD阵 ADI5 得：/ FAD：/MAD30 , . AF=BF=2,DE=2DF在 RtAADF,DFAF - tan / DAI： 233即 DE=4-.3如下图所示,同理，得/ FBD=30 , AB=AD=4,/ADF=/ADM30 ,DE=2DF=4 病综上所述，DE的长为： ±3 , 4 3.34. (2019 省实验

35、一模)观察猜想连接DE；5. )如图，在RtA ABC, /BAC= 90° , AB= AC= 3,点D与点A重合，点E在边BC上, 将线段D蹴点D顺时针旋转90。得到线段DF,连接BF,BE与BF的位置关系是 ,BE+BF=探究证明(2)在(1)中，如果将点 D沿AB方向移动，使 AD= 1,其余条件不变，如图，判断BE与BF的位置关系，并求 B&BF的值，请写出你的理由或计算过程；拓展延伸舞卷式仪甲；*图1【答案】(1) BF±BE; BC (2)【解析】解：(1) .一/ EAF=/ EAF- / BAE= / BAC- / BA.Z BAF= / CAE

36、, AF= AE AB= ACBAB CAE ./ ABF= / C, BF= CEAB= AC / BAC= 90 , Z ABO / C= 45° , ./FBE= /ABF+/ABC= 90° ,故答案为：BF± BE BC过D作DH/ AC交BCT H,. DH/ AC图2图3(3)见解析.BAG= 90 ,、EBC= BEEO BRBF,BDR / A= 90° , DBK等腰直角三角形,(3)如图，在 ABC, AB= AC /BAG= a,点D在边BA的延长线上，BD= n,连接DE将线段DE 绕着点D顺时针旋转，旋转角/ EDF= a,连

37、接BF,则B3BF的值是多少？请用含有 n, a的式子直接写出结 论.由（1）可证得：BF，BE BF+BE= BH . AB= AC 3, AD= 1,BD= DH= 2,BH= 2 2 ,BF+BE= BH= 2应；(3)过D作DH/ AC交BC的延长线于 H,彳DM_ BC于M. AC/ DH/ ACH= / H, / BDH= / BAC= a ,AB= AC ./ ABG= / ACB .Z DBH= / H,DB= DH. / EDF= / BDH= a , ./ BDF= / HDEDF= DE DB= DHBD阵 HDEBF= EHBF+BE= EH+BE= BH. DB= D

38、H DML BHBM= MH / BDMt / HDMBM= MH= BD?sin .2BF+BE= BH= 2n?sin .25. (2019 濮阳二卞篁 在 ABC中，AC= BC / ACB= a，点D为直线BC上一动点，过点 D作DF/ AC交AB于点F,将A谶点D顺时针旋转a得到EQ连接BE（1）特例猜想如图1 ,当a =90°时，试猜想：AF与BE的数量关系是 ;/ ABE=;（2）拓展探究如图（2）,当0。v a <90。时，请判断 AF与BE的数量关系及/ ABE的度数，并说明理由.（3）解决问题如图（3）,在 ABC中，AC= BG AB= 8, Z ACB=

39、 a，点D在射线BC上，将 AD绕点D顺时针旋转 a得到ED连接BE当BA 3CD时，请直接写出 BE的长度.【答案】（1） AF= BF, 90。；（2） （3）见解析.【解析】解：（1）设AB交DE于O. ./ABC= 45 , DF/ AC ./ FDB= / C= 90° , ./ DFB= / DBF= 45° ,DF= DBADE= / FDB= 90° , ./ ADF= / EDB . DA= DE . AD目 EDBAF= BE / DAM / E,. / AOD= / EOB .Z ABE= / ADO= 90 ,所以答案为AF= BF, 90

40、。.(2)结论：AF= BE, / ABE= a .理由如下：. DFII AC / ACB= / FDB= a , / CAB= / DFB. AC=BC ./ ABC= / CAB ./ ABC= / DFBDB= DF. / ADF= / AD曰 / FDE / EDB= / FDEB- / FDE即/ ADF= / EDBAD= DE . AD目 EDBAF= BE / AFD= / EBD. / AFD= / ABG/ FDB / DBE= / ABD/ ABE ./ ABE= / FDB= a .(3)分两种情况讨论：当点D在线段BC上时，由(2)可知：BE= AF, DF/ AC

41、,AF CD 1一一,BA BC 4AB= 8,AF= 2,BE= A曰 2,当点D在BC的延长线上时,. AC/ DF,AF CD 1 一,BA BC 2AB= 8, . AF= 4,即 BE=4,综上所述，BE的长度为2或4.6. （2019 开封二模）问题发现如图1, 4ABO等边三角形，点 D是边AD上的一点，过点 D作DE/ AC交AC于E,则线段BD与CE有 何数量关系？拓展探究如图2,将4AD或点A逆时针旋转角 a （0° V a <360° ）,上面的结论是否仍然成立？如果成立，请就图中给出的情况加以证明.问题解决如果 ABC勺边长等于2芯,AD= 2

42、,直接写出当 AD或转到DE与AC所在的直线垂直时 BD的长.图1图2备用图【答案】见解析.【解析】解：（1）如图1, BD= CE,理由是：.ABO等边三角形,AB= AQ DE/ BQ.ADEM等边三角形，即 AD=AE,BD= CE(2)结论仍然成立，由图1得：AD= AE由旋转性质得：/ BA氏/CAE. AB=AQBA国 CAEBD= CE(3)分两种情况讨论，如图所示，过 D作DGL AB,垂足为 G. AF，DE ADAE / DAM / EA已 30° , .Z BAD= 30° ,由 AD= 2,得：DG= 1, AG= .3,由 AB= 2 J3,得：B

43、G= J3,由勾股定理得：BD= 2.如图，DD! IV ooan «1由（2）中证明可知： BA挈 CAE BA CE. AA AE DEI AC Z ADE= 60 EA展 / FAD= 30 ,1 .EF= FD=AD= 1, 2AF=事,.CF= A（+CF= 3 V3 ,在RtA EFC43,由勾股定理得： EC= 2 ",BD= EO 2 .7 ,综上所述，BD的长为2或2 J7 .7. （2019 安阳二模）（1）问题发现：如图 1,在四边形 ABC珅，AB/ DC E是BC的中点，若 AE是/BAD的平分线，则 AB AD DC之间的数量关系为 .（2）问题

44、探究：如图 2,在四边形 ABCW, AB/ DC E是BC的中点，点F是DC的延长线上一点，若AE是/ BAF的平分线，试探究 AB AF, CF之间的数量关系，并证明你的结论（3）问题解决：如图 3, AB/ CD点E在线段BC上，且BE EC= 3: 4.点F在线段 AE上，且/ EFD=/ EAB直接写出AB, DF CD之间的数量关系.图1图2图3【答案】(1) AD= ADCD (2) (3)见解析.【解析】解：(1)结论：AD= A8CD理由： . AB/ CF ./ CFE= / EAB. CE= EB / CEF= / AEB . CE咯 BEA, . AB= CF. AF平

45、分/ DAB ./ DAF= / EAB. / EAB= / CFE .Z DAF= / DFAAD= DF. DF= DGCF= CBARAD= ARCD(2)结论：AB= AF+CF.理由：延长AE DC交于G. AB/ DG. . / G= / EAB. CE= EB / CEG / BEA.CE与 BEAAB= CG / G= / EAB. AE平分/ FAB ./ FAG= / EAB . Z G= / EAB/ FAG= / G, .CG= CF-FG= CF+AF, . AB= AF+CF3(3)结论：AB= 3 (Ct+DF). CGI AB.BE 竺 3, /G=小CE CG

46、 43 一一 . AB= 2 CG 4. / DFE= / A, ./ DFG= / G,DF= DGCDOF= Ct+DO CG3 . AB= - (CDDF).48. (2019 中原名校大联考)如图 1,在RtAABC, / BAC= 90° , AB= AC点D, E分别在边 AB AC上，AD= AE,连接DC BE点P为DC的中点，(1)【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是 ,位置关系是.(2)【探究证明】把 ADEg点A逆时针旋转到图2的位置，(1)中的猜想是否仍然成立？若成立请证 明，否请说明理由；(3)【拓展延伸】把 ADE第点A在平面内自由旋转，若 AD

47、= 4, AB= 10,请直接写出线段 AP长度的 最大值和最小值.1 _ _ 一 一一【答案】(1) AP,BE PAL BE (2) (3)见解析. 2【解析】解：(1)设PA交BE于点O.AD= AE AC= AB / DAG= / EABDAC2 EABBE= CD / ACD= / ABE/ DAC= 90° , DA PC1八八PA= 1 CD= PC= PD21PA= 1 BE Z C= / PAE2 /CAP/BAO= 90 , /ABO/BAO= 90 , ./AOB= 90 , PAL BE(2)结论成立.理由：延长 AP至M 使PM= PA 连接 MC延长PA交BE于OPA= PM PD= PC / A