2017年高等数学下试题与参考答案

1、华南农业大学期末考试试卷（A卷）20162017学年第2学期考试科目：高等数学 AH考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟学号姓名年级专业题号一二三四总分得分评阅人得分、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1 .二元函数z ln（y2 2x 1）的定义域为。rrrrr rr2 .设向量 a（2,1,2）, b（4, 1,10）, cba,且 ac,则3 .经过（4,0, 2）和（5,1,7）且平行于x轴的平面方程为。4 .设 u xyz,则 duc 15 .级数 （1）n=r，当p满足条件时级数条件收敛 pn 1 n15 / 102.3.得分、单项选择题微分方程2（xyA. y

2、 Ce2x（本大题共5小题，每小题3分，共15分）x）y' y的通解是B. y2 Ce2xC. y2e2y Cx求极限lim(x,y)(0,0)2 .： xy 4xyB.12D.C.e2 y CxyD.直线L:x3z和平面7:3x2y 7z 8 0的位置关系是A .直线L平行于平面B.直线L在平面上C.直线L垂直于平面D .直线L与平面斜交4. D是闭区域( x, y) | a2A 2(b3 a3)5.下列级数收敛的是B.3、a ) x2 y2 dD43C. (b333、a )D.？b33、 a )A.1n 1 (n 1)(n 4)B.1 nn 1 n2 1C.1n 1 2n 1D.n

3、 1 3 n(n 1)得分、计算题(本大题共7小题，每小题7分,共49分)1.求微分方程y' y ex满足初始条件x2.计算二重积分 x y2 dxdy，其中Dd x y ,222)(x, y) x y 1, x1。3.设 z z(x, y)为方程 2sin( x 2y 3z)x 4y 3z确定的隐函数,求二二。x y4.求曲线积分(x y)dx (x y)dy ,其中L沿x2y2La2(x 0, y 0),逆时针方向。5.计算y飞x2y6Ddxdy ,其中D是由y 京，x1及y 1所围成的区域。6.判断级数(1)nn2的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。7.将函数(1 x)(2

4、x)展开成x的幕级数，并求其成立的区间。得分四、解答题(本大题共3小题，每小题7分，共21分)1 .抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与 最短距离。n n2 .求幕级数(1) 的和函数n i (n 1)!3 .设函数f(x)和g(x)有连续导数，且f(0) 1, g(0) 0, L为平面上任意简 单光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D,已知?L xydx yf(x) g(x)dy yg(x)d ,D求 f (x)和 g(x)。华南农业大学期末考试试卷（A卷）20162017学年第2学期考试科目：高等数学 AR参考答案、填空题（本大题共5小题，每小

5、题3分，共15分）. 一21. (x,y)|y 2x 1 0 2. 33. 9y z 2 0 4. yzxyz 1dx zxyzlnxdy yxyz In xdz 5. 0 p 1二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1.5CM1. C2. C 3. C 4. B 5. A三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1 .求微分方程y' y ex满足初始条件x 0, y 2的特解。解：先求y' y 0的通解，得y C1e x 2分采用常数变易法，设y h(x)e x,得y' h'(x)ex h(x)e x3分代入原方程得 h'(x)

6、ex h(x)e x h(x)e x ex 4分得 h(x) 1e2x C 5 分2故通解为y 1ex Ce x 6分2将初始条件x 0, y 2带入得C 3,故特解为y 1ex -e x7分2222 .计算二重积分-xy2dxdy ,其中 D ( x, y): x2 y2 1, x y 1。d x y解：设 x r cos , y r sin 1 分一.1贝 0, r 1 3分2 sin cosx y , ,2 , 1 r cos r sin所以 -2-dxdy2 d 12rdr 5分D x y° sin cosr2 (sin cos 1)d3.设z z(x, y)为方程2sin(

7、 x 2y 3z) x 4y 3z确定的隐函数，求解：设 F(x, y,z)x 4y 3z 2sin(x 2y 3z)Fx 1 2cos( x 2y 3z), Fy4 4cos( x 2y 3z),Fz 3 6cos(x 2y 3z)Fy4cos(x 2y 3z) 4Fz 31 2cos(x 2 y 3z)zFx 2cos(x 2y 3z) 1z,xFz 31 2cos(x 2y 3z)y所以4 .求曲线积分(x y)dx (x y)dy ,其中L沿x2 y2 a2(x 0, y 0),逆时针L方向。解：圆的参数方程为：x acost, y asint (0 t ) 1分(x y)dx (x

8、y)dyo2 (acost asint)dacost02 (acost asint)dasint3 分La2 02 (cos2t sin 2t)dt 4分2a万sin 2t cos2t02八a 7分(本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解)5 .计算 y/1 x2y6dxdy ,其中D是由y Vx , x 1及y 1所围成的区域D解：D (x, y)| 我 y 1, 1 x 1 1分y/1 x2pdxdydx丫5!xpdy 2分13 xD12 13 ._6 3 1(1 x y ) "dx 4分19291.6131(|x|3 1)dx130(x 1)dx6 .判断级数(1)nn二的敛

9、散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。、.n解:(1)nnn 11：Jn")所以级数发散。 又(1)nnn 1(1)n(1)n1,n (n 1). n显然，交错级数 可n 1. n(/ 都收敛,所以原级数收敛。因此是条件 n 1 (n 1). n收敛。7 .将函数1展开成x的幕级数，并求其成立的区间。(1 x)(2 x)解:1(1 x)(2 x)一 1n-而 x , | x | 1 3分1 x n 012 xL (|x| 2)所以1 1 x x2 L 11 - (-)2 L 5分(1 x)(2 x)2221(1 -nr)x 6 分n 02成立范围|x| 1 7分 四、解答题(本大题共3

10、小题，每小题7分，共21分)1.抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最 短距离。解：设椭圆上任一点P的坐标为P(x, y, z) , P点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为x2 y2 z2, 1分构造拉格朗日函数Fx2y2 z2 (x2 y2 z) (x y z 1) 2分Fx 2x 2x0Fy 2y 2y0Fz 2z0 4分22F x y z 0F x y z 1 01 解得x -( 1 V3) 5分得两个驻点为P1( 1c，二 ， 2 、3), P2( 1C，二-c， 2. 3)222222226分所以最短距离为59 56,最短距

11、离为J95737分n n2 .求幕级数(1)的和函数n 1 (n 1)!解：因为exn,所以e x n 0 n!n n(1) xn 0 n!S(x)(1)nnxn n 0 (n 1)!(1)n(n 1 1)xn(n 1)!n nn n(1) x ( 1) x n!n 0 (n 1)!n n(1) xn 0 n!(1)nxn1( 1)nxn 1n 0 (n1)!(n 1)!(1)nxn所以S(x)故 S(x) e0时,另解:0时,0时,1(1 xn!(1)nxn(1)n 1xn 1 0 (n 1)!(1)nxnn 0 n!(x 0)x)(xn!0)1(1 xxx e )(xS(x)(1)nnxn n 1 (n 1)!S(x) 0O1 x-e x0)6分n n 1(1) nx(n 1)!(1)n(n 1)!xndxxx0 nn n(1) x(n 1)!(1)nx0 n!xe xdxxxde01 x xexx 1e exdxndx3.设函数f (x)和g(x)有连续导数,且 f (0) 1n 1 n 1(1) x dx(n 1)!，g(0)0,L为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D,已知 ?Lxydx yf(x) g(x)dy yg(x)d ,求 f (x)和 g(x)。解：由格林公式得yf'(x) g'(x) x d