2018北京文科数学及解析

1、2018北京文科数学及解析2018年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)(北京卷)本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。(1)已知集合 A=(? ?<2), B=-2,0,1,2,则 AI B(A) 0,1(B) -1,0,1(C) -2,0,1,2(D) -1,0,1,2 _1(2)在复平面内，复数 的共轲复数对应的点位于1 i(A)第一象限(B)第二象限(D)第四象限(C)

2、第三象限(3)执行如图所示的程序框图，输出的s值为(a)2(C)一6(4)设a,b,c,d是非零实数,(A)充分而不必要条件(C)充分必要条件(B)(D)712ad=bc”是a,b,c,d成等比数列”的(B)必要而不充分条件(D)既不充分也不必要条件(5)十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载培最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献 .十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12 2 .若第一个单音的频率为 f,则第八个单音的频率为(A) 32f(C) 12 25 f(D)版f2018北京文

3、科数学及解析(6)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为倚视网(B) 2(D) 4(A)Ab(o ?f(D) Gh设集合 A (x,y) |x y 1,ax y4,x ay 2,则(A)对任意实数a, (2,1) A(B)对任意实数a, (2,1) A(A) 1(C) 3 在平面直角坐标系中，AB,CD, EF,GH是圆x2 y2 1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角以O?为始边，OP为终边，若tan cos sin ,则P所在的圆(C)当且仅当a<0时，(2,1) A.3(D)当且仅当a 一时，(2,1) A2弧是第二部分 (非选择题 共110分)二、填

4、空题共6小题，每小题5分，共30分。(9)设向量 a= (1,0), b= (-1,m) »a (ma b),则 m=.(10)已知直线l过点(1,0)且垂直于？轴，若l被抛物线y2 4ax截得的线段长为4,则 抛物线的焦点坐标为.11 .(11)能说明 若a>b,则一 g”为假命题的一组a, b的值依次为 .(12)若双曲线x- y 1(a 0)的离心率为 ,则a=.a242(13)若？处满足x 1 y 2x ,则2y-?勺最小值是 .(14)若ABC的面积为Y3(a2 c2 b2),且/C为钝角，则/ B=； £的取值 4a范围是.三、解答题共6小题，共80分。解

5、答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)(本小题13分)设an是等差数列，且a1 ln2,a2 a3 5ln 2.(D求an的通项公式；(D 求 ea1 ea2 l ean.(16)(本小题13分)已知函数 f(x) sin2 x 3sinxcosx.(D求f (x)的最小正周期;3(I)右f (x)在区间,m上的最大值为一，求m的取小值.32(17)(本小题13分)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:电影类型第一类第F第三类第四类第五类第八,类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与

6、该类电影的部数的比值(D从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(D随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(D电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发 生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加 0.1,哪类电影的好评率减少 0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的 比值达到最大？(只需写出结论)(18)(本小题14分)如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD,平面 ABCD,PAL PD, PA=PD, E, F分别为AD, PB的中点.(D 求

7、证：PE± BC;2018北京文科数学及解析(I)求证：平面 PABL平面 PCQ(I)求证：EFT面 PCD.(19)(本小题13分)设函数 f(x) ax2 (3a 1)x 3a 2ex.(D若曲线y f (x)在点(2, f (2)处的切线斜率为0,求a；(9)1(10) (1,0)(D 若 f (x)在 x1处取得极小值，求 a的取值范围.(20)(本小题14分)2 x已知椭圆M :-2 ayy 1(a b 0)的离心率为,焦距为2，2 .斜率为k的直线l b3与椭圆M有两个不同的交点A, B.(D求椭圆M的方程;(D若k 1,求|AB|的最大值;(I)设P( 2,0),直线

8、PA与椭圆M的另一个交点为 C,直线PB与椭圆M的另一个7 1交点为D.若QD和点Q(-,-)共线，求k.4 42018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案、选择题(1) A (2) D (3) B (4) B (5) D (6) C (7) C (8) D二、填空题2018 北京文科数学及解析（11 ）11 （答案不唯一）（12）4（13）3（14）60（2,三、解答题15 （共13 分）解：（I）设等差数列an的公差为d ,a2 a35ln 2 , 2a1 3d 51n 2 ,又 aIn2 ,d 1n2.an a1 （n 1）d n In 2 .（II）由（I）知 an n1

9、n2,ann 1n 21n 2n n- e e e =2 , ean是以2为首项，2为公比的等比数列.a1a 2an1n 21n 221n 2neeLe e e Le=2 22 L2n=2n 1 2.ea1ea2 Lean =2n 1 2.16. （共 13 分）2018北京文科数学及解析Vsin2x£sin2x1 cos2x解：(I) f (x) -11冗cos2x 一 sin(2 x )226所以f (x)的最小正周期为(n)由(I)知 f (x)sin(2x *因为x -, m,所以2x -365九八兀 ,2m -.66要使得f(x)在,m上的最大值为33 一-,即 sin(2

10、x康在j,m上的最大值为1.所以2m ，即m 6 23所以m的最小值为- 317.(共 13 分)(I)由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.第四类电影中获得好评的电影部数是200X 0.25=50故所求概率为0 025 .2000(n)方法一：由题意知，样本中获得好评的电影部数是140 X 0.4+50 X 0.2+300 X 0.15+200 X 0.25+800 X 0.2+510 X 0.1=56+10+45+50+160+51=372.372 故所求概率估计为1 卫2 0,814.2000方法二：设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好

11、评”为事件 B.没有获得好评的电影共有140X 0.6+50 X 0.8+300 X 0.85+200 X 0.75+800 X 0.8+510 X 0.9=1628由古典概型概率公式得 P（ B） 1628 0 814 .2000（出）增加第五类电影的好评率 ，减少第二类电影的好评率.18.（共14分）【解析】（I） PA PD ,且E为AD的中点，PE AD.底面ABCD为矩形，BC/AD,PE BC.（n） .底面 ABCD为矩形，AB AD .平面PAD 平面ABCD, AB 平面PAD.AB PD .又 PA PD , PD 平面PAB, .平面PAB 平面PCD.（出）如图，取PC

12、中点G ,连接FG,GD . 一 1. F,G分别为PB和PC的中点，FG/BC,且FG - BC .2丁四边形 ABCD为矩形，且E为AD的中点,八1八ED/ BC,DE -BC,2ED/ FG ,且ED FG , .四边形EFGD为平行四边形,2018北京文科数学及解析EF/ GD.又EF 平面PCD , GD 平面PCD,EF/ 平面 PCD.19. (13 分)解：(I)因为 f(x) ax2 (3a 1)x 3a 2ex,所以 f (x) ax2 (a 1)x 1ex.f (2) (2 a 由题设知f (2) 0,即(2 a 1)e0,解得a -.2(n)方法一：由(i)得 f (x

13、) ax2 (a 1)x 1ex (ax 1)(x 1)ex.1若 a>1,则当 x (,1)时，f (x) 0 ； a当 x (1,)时，f (x) 0.所以f (x)在x=1处取得极小值.若 a 1 ,则当 x (0,1)时，ax 1 x 1 0,所以f (x) 0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知，a的取值范围是(1,).方法二：f (x) (ax 1)(x 1)ex.f (x), f (x)随x的变化情况如下表:x(,1)1(1,)f (x)+0-f(x)极大值. f (x)在x=1处取得极大值，不合题意.1当 a>0 时，令 f (x) 0 得 x11,x2 1.a

14、2 x当 x x2,即 a=1 时，f (x) (x 1) e 0,f (x)在R上单调递增，f (x)无极值，不合题意.当x1 x2 ,即0<a<1时，f (x), f (x)随x的变化情况如下表:x(,1)11 (1-)a1 a1(-,) af (x)+0-0+f(x)极大值极小值f (x)在x=1处取得极大值，不合题意当x1 x2 ,即a>1时，f (x), f (x)随x的变化情况如下表:x1(,一) a1 a1(一,1) a1(1)f (x)+0-0+f(x)极大值极小值 f(x)在x=1处取得极小值，即 a>1满足题意.1(3)当 a<0 时，令 f

15、(x) 0 得 x1-,x2 1.af (x), f (x)随x的变化情况如下表:x(,1) a1 a(-,1) a1(1)f (x)-0+0-f(x)极小值极大值f (x)在x=1处取得极大值，不合题意综上所述，a的取值范围为(1,).20 .(共 14 分)【解析】(I)由题意得2c 2V2,所以C又 e c Y6,所以 a73,所以 b2 a2 c2 1,a 32所以椭圆M的标准方程为y21 .3(n)设直线AB的方程为y x m,y2 x3x m2 消去y可得4x2 y 126mx 3m 30,贝U36m2 4 4(3m2 3) 48 i2m2 0,即 m2 4,23m3m 3设 A(xi,yi), B(x2,y2),则 xi x2, xix2 ,xi x2)2 4xx22 i 24则 |AB| .i k2 | xi x2 | J k2易得当m2 0时，| AB |max J6 ,故| AB |的最大值为 庭.(出)设 A(xi,y1), B(X2,y2), C(%,y3), D(m y4)，一 .22贝 U xi 3yi23 ，x2又 P( 2,0),所以可设kiJ-,直线PA的方程为 xi 2y ki(x 2),y ki(x2)消去y可得(i i一.2、 23ki )x_ 2_ 2i2kix i2ki0,