2020年高考数学(文数)解答题强化专练——解析几何含答案

1、(文数)解答题强化专练一一解析几何一、解答题(本大题共 10小题，共120.0分)1 . 设曲线C： x2=2py (p>0)上一点M (m, 2)到焦点的距离为 3.(I )求曲线C方程；(n )设P, Q为曲线C上不同于原点 O的任意两点，且满足以线段 PQ为直径的 圆过原点。，试问直线PQ是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标；若不恒过 定点，说明理由.2 . 设A, B为抛物线C: x2=2py (p>0)上不同两点，抛物线 C的焦点到其准线的距 离为4, A与B的横坐标之和为 8.(I )求直线AB的斜率；(II)若设M为抛物线C上一点，C在点M处的切线与直线 AB平行，

2、过M点作直线l与曲线C相交于点M, Q,与y轴交于点P,且满足 派二2 ；,求ORQ的 rJr y面积.3 .已知抛物线 W: x2=2py(p>0)的焦点为F,点A在W上，AF的中点坐标为(2, 2).(1)求抛物线 W的方程；(2)若直线l与抛物线 W相切于点P(异于原点)，与抛物线 W的准线相交于点 Q,证 明：FP1FQ.4 .已知椭圆C的两个焦点分别为0)&(A昆0),且椭圆C过点F(l.5.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若与直线 OP平行的直线交椭圆 C于A, B两点，当OALOB时，求那OB的 面积.5 .在平面直角坐标系中， A (-2, 0) , B (2,

3、0),设直线AC、BC的斜率分别为ki、 k2 且 ki?k2=-；.(1)求点C的轨迹E的方程；(2)过F (_、3 0)作直线 MN交轨迹E于M、N两点，若 WAB的面积是ANAB 面积的2倍，求直线MN的方程.6 .设椭圆C： (a>b>0)的左右焦点分别为 F1, F2,椭圆的上顶点为点 B, n D点A为椭圆C上一点，且3f t+fj,= .(1)求椭圆C的离心率；(2)若b=1,过点F2的直线交椭圆于 M, N两点，求线段 MN的中点P的轨迹方程.7 .已知O为坐标原点，椭圆3+x2=1的下焦点为F,过点F且斜率为k的直线与椭圆相交于A, B两点.(1)以AB为直径的圆

4、与x=.、2相切，求该圆的半径；(2)在y轴上是否存在定点 P,使得用?此为定值，若存在，求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.8 .已知椭圆C：+ + y2=1 (a>1)的左顶点为 A,右焦点为F,斜率为1的直线与椭 a'圆C交于A B两点，且OBLAB,其中O为坐标原点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设过点F且与直线AB平行的直线与椭圆 C交于M、N两点，若点P满足0P = 3 且NP与椭圆C的另一个交点为Q,求鬻的值. ar tIrv9 .已知椭圆C：+2=1(a>b>0)的左右焦点分别为Fi,F2,抛物线y2=4x与椭圆ci， bC有相同的焦点，点 P为

5、抛物线与椭圆 C在第一象限的交点，且|PFi|= .(I)求椭圆C的方程；(n)与抛物线相切于第一象限的直线1,与椭圆交于 A, B两点，与x轴交于M点，线段AB的垂直平分线与y轴交于N点，求直线 MN斜率的最小值.10 .已知椭圆C: +y2=1,斜率为1的直线l与椭圆C交于A(X1, yi) , B (X2, y2) 两点，且X1>X2.(I )若A, B两点不关于原点对称，点 D为线段AB的中点，求直线 OD的斜率; (n)若存在点E (3, y0),使得/EBA= "EB=45 °,求直线AB的方程.第5页，共12页答案和解析1 .【答案】 解：(1) .曲线

6、C: x2=2py (p>0)上一点M (m, 2)到焦点的距离为 3.由抛物线定义得2+'；=3,解得p=2,，曲线C方程为x2=4y.2 2) .以PQ为直径的圆过原点 O, . OP1OQ,设直线OP的方程为y=kx, (kwQ ,与曲线C方程x2=4y联立，得x2=4kx,解得 x=0 (舍)或 x=4k, P (4k, 4k2),又直线OQ的方程为y=-lt,同理Q (1，5),又直线PQ斜率存在,y4k J'.pQ的直线方程为。一 1 .- y= (k) x+4,.,直线PQ恒过定点(0, 4).【解析】(1)由抛物线定义得 2+>3,由此能求出曲线 C

7、方程.(2)以PQ为直径的圆过原点 O,从而OPLOQ,设直线OP的方程为y=kx, (kwQ , 与曲线C方程x2=4y联立，得x2=4kx,求出P (4k, 4k2),直线OQ的方程为y=-,同理Q(-1)，由此求出PQ的直线方程为y=(k-：)x+4,从而直线PQ恒过定点(0,4).本题考查三曲线方程的求法，考查直线是过定点的判断与求法，考查抛物线性质、直线与抛物线的位置关系、直线方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.2 .【答案】 解：(I )由条件可知：p=4, .x2=8y.设点 A (xi, yi) , B (x2, y2),A ="说=也，. xo=4, - y

8、o=2.(n )设 M (xo, yo)设点 P (0, y3), Q(x4, y。,直线 l 为：y=k (x-4) +2,厂*，2 +32皿6=0 . xo+x4=8k, xox4=32k-16.,. -xo=2x4, . x4=-2,S 也网。Q =寸 MQ|h = 3， 5 A 0g = U Mg = 1【解析】(I )由条件可知：p=4,求出抛物线方程，设点 A(X1, yi) , B(X2, y2), 通过平方差法求解直线的斜率.(n )设 M (xo, yo) , =求出切线的斜率，设点 P (0, y3) , Q (x4, y4),直线l为：y=k (x-4) +2,联立直线与

9、抛物线方程，利用韦达定理与斜率关系，转化求解 三角形的面积.本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力， 是中档题.3 .【答案】(1)解：抛物线 W： x2=2py (p>0)的焦点为F (0,，由点A在W上，AF的中点坐标为(2, 2),得 A (4, 4-：),可得：16=2p (4-0 ,解得：p=4.则W的方程为：X2=8y;(2)证明:由y=：x2,可得y =：x,设点P (x°,$。2),则直线l的方程为y-；xo2=xo(x-xo),即 y= xox- xo2,令 y=-2,得 Q (±4 -2),fr?F（?=xo?-4（hx

10、o2-2） =0, . FP1FQ.【解析】本题考查抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，同时考查导数的几何意义及平面向量的几何运用，为中档题.(1)求出抛物线的焦点坐标，得到 A的坐标，然后求解 p即可得到抛物线方程.(2)先求导，可得直线l的方程，求点 Q的坐标，根据向量的运算和向量的数量积即 可证明.4 .【答案】 解：(1)设椭圆C的方程为5 +了 = 15工卜。)，由题意可得口工一"二3, 13+ = I,J 4必.2 律=4r解得标=1,故椭圆C的方程为¥ + / = 1(2)直线OP的方程为y =与文,设直线AB方程为"二自十八A (xi, yi)

11、, B (x2, y2).将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得十%佰值十巾之一1 = 0,(x1 +工？= 一、：,加， 由t3m2-4 (m2-1) >0,得 m2<4,r r _ m2 .| X 12 =一，s由。”OB 得,J.”，=''= 1:吊缸二»Y =式 1) + =i=tn= 0,得疝=w|fr j.1| m II m I又|相|=*+泳/+如2_而&=?4_中上，。到直线AB的距离d = y = y工.1 r f ? 11 匹所以54flOR = d =下X至*，4m“ */=而.【解析】(1)设出椭圆C的标准方程，代入点 P

12、的坐标，列式解方程可得；(2)联立直线与椭圆，结合韦达定理、向量垂直、弦长公式、点到直线距离、面积公 式可求得.本题考查了直线与椭圆的综合，属中档题.5 .【答案】 解：(1)在平面直角坐标系中，A (-2, 0) , B (2, 0),设直线 AC、BC的斜率分别为ki、k2且ki?k2=-g.令C(x, y),则k=总，跖=从而kik2='=-亍，-1-4£整理，得1 +打由点A, B, C不共线，故yWQ.,点C的轨迹方程为y + ：=i ,(2)令 M (xi, yi) , N (x2, y2),知直线MN不与x轴重合，令直线MN : x=my- 2,联立，得(m2+

13、2)y2-2my-2 = 0,由题思得>0,尸1+»=二, yiy2=zr-;<0, fit 曾 也|Frs m'由 S»amab=2Sanab,故 |yi|=2|y2|,即 yi=-2y2,得解第9页，共i2页.,直线MN的方程为 x-?y + 、2=0 或 x+*y += 0【解析】(1)令 C (x, y),则二工,从而 kik2=4二-；,由此能求出点c的轨迹方程.(2)令 M (x1, y1) , N (x2, y2),令直线 MN : x=my-%历,联立，得(m2+2) y2-2 2my2 = 0 , 由此利用根的判别式、韦达定理、三角形面

14、积公式，结合已知条件能求出直线的方程.本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆方程、椭圆与直线的位置关系、根的判 别式、韦达定理、弦长公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是 中档题.0)6.【答案】 解：(1)设 A (xo, yo) , B (0, b) , F1 (-c,A+F宙=。得又，A(x0, y。)在椭圆 C：+ j = i上,ar b",即椭圆C的离心率为e = (2)由(1)知，又 加=1, a2=b2+c2,解得 a2=2, b2=1 ,.椭圆C的方程为：+ / = 1.当线段MN在x轴上时，交点为坐标原点(0, 0).当线段MN不在x轴上时，设

15、直线 MN的方程为x=my+1 , M (x1, y1), N (x2, y2), 代入椭圆方程+ /=1中，得(m2+2) y2+2my-1=0. 淅点F2在椭圆内部，0, Vl +=一；777，则工I + 工2=m(y + y/ + 2 =,2tn.点P (x, y)的坐标满足 戈二¥二一；7大，消去 m得，x2+2y2-x=0 (xw。.综上所述，点P的轨迹方程为x2+2y2-x=0 .【解析】(1)设 A (x。，y0), B (0, b) , F1 (-c, 0).通过 3 a+.OH = 求出 A 的坐 标，转化求解离心率.(2)求出椭圆C的方程为) + / = 1.当线

16、段MN在x轴上时，交点为坐标原点(0, 0).当 线段MN不在x轴上时，设直线 MN的方程为x=my+1, M (x1, y1) , N (x2, y2),代 入椭圆方程?十上=1中，得(m2+2) y2+2my-1=0.通过韦达定理，转化求解轨迹方程 即可.本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.7.【答案】解：由题意可设直线l的方程为y=kx-1, A(x1,y1), B(x2,y2),消去 y,得(k2+2) x2-2kx-1=0,贝U 匕4 k2+4k2+8 > 0，值成立，xi+x2=yi + y2=k (x

17、i + X2)-2=;,yiy2= (kxi-1)(kX2-i )2 2k：M十上AB|=、A + %|符京9冷工，线段AB的中点的横坐标为pA-,.以AB为直径的圆与x%相切，.盘(1 4 4。)CZ &后73/曰 I Kj =, 斛仔 k = l2 ,ft' + 2、文-十 av此时|AB|=2虚注 .,圆的半径为苧.(2)设 p (0,yo),pjpq=xix2+(yi-yo)(y2-yo)=xix2+yiy2-yo(yi+y2)+y ,r +之+2+ 上 + p +患凡士、若；;让二民工为定值，则处二卫匕 r* kv 212汨“ 5 r'付 y0=w, P4 P

18、E=-ik，,y轴上存在定点P (0, -J ,使得p屋p目为定值.【解析】本题考查直线与椭圆的相交问题，向量问题，属于中档题.设直线l的方程y=kx-i, A (xi, yi) , B (x2, y2),联立直线l与椭圆的方程得(k2+2)x2-2kx-i=0 ,贝U =4k2+4k2+8 > 0 恒成立，xi+x2=, xix2=：, yi+y2=k (xi+x2)-2=,n -T tra T 工R T" tZ7A?yiy2= (kx1-i)(kx2-i)=：匚丁(i) |AB|="+/检二G产4打=2应三，线段AB的中点的横坐标为 盘，以AB 为直径的圆与x，性

19、相切, 所以竽=，即装詈=&一/，解得k=2,此时 |AB|=24=p,进而求得圆的半径./ C、，几 C / c 一、f T、金一(2)设 P (0, yo) , pH pg=xix2+ (yi-yo) ( y2-yo) =xix2+yiy2-yo (yi+y2)+y ,要为te值，则由=-,得y0=-4 , pa Pff=/，进而得P的坐标.8.【答案】解：(i)由题意得，设直线 AB的方程：x=y-a,与椭圆联立整理得：(i+a2) y2-2ay=0,因为OBSB,1' =-1, a> 1,解得：a2=3,3日（T-fl所以椭圆C的标准方程：g + y-=1；（2）

20、由（1）得，F （,、泛，0）所以由题意得直线 MN的方程为：y = x-2, 设 M （刈，yi） , N （X2, y2） , Q （X3, y3）,将y = m-也代入/+城=1,得4工工一6%; +3=0，. 九%JXL + X2= XyX2 =-,%为二（4一 V2）（与 -"2） = -p 一 VOP PM，办二 %h，则 P（li'设丽=m，则 NF=EpQ，即"=厂产 b y厂口 1），3（»u + 1）1（与= F-*L 萨2.3（>» + 1）1»3= TT点Q （X3, y3）在椭圆C上,才笔看八笔"

21、;-弱一，整理得F二白白;+此）+占（常+的一修詈击四+力打）=1,由上知,产1町+外力=。，且曰+%=111+九=1,讯讯 + 19 _ 1. 一_ _ c 一 一 . 一 K.1一 十 7=1，即 7m2-18m-25=0,解得 m = 7 或 m=-1 （舍），故吧J【解析】（1）设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，求出点B的坐标，再根据OB必B, 建立关于a的方程，解出即可；，C、L . ，一_网 PI , （2）设 M （X1 , y1） , N （X2, y2）, Q （X3, y3）, 西二 m,由已知，将点 Q 的坐标用点M, N表示，再由点 Q在椭圆上，彳#到关于 m的方程，

22、解出即可.本题考查直线与椭圆的综合运用，考查逻辑推理能力，特别是考查了化简运算求解能力，属于中档题.9.【答案】 解：（I）抛物线y2=4X的焦点为（1,0）,可得椭圆的c=1,设P为（彳，m）,由椭圆的焦半径公式可得，PFi|=a+：?：=：,由椭圆和抛物线的定义可得，2a=：+；+1,解得 a=2, b702r2=3即有椭圆的方程为：+=1；(n )设直线l的方程为y=kx+b (k>0), 代入抛物线的方程，可得k2x2+ (2kb-4) x+b2=0,由相切的条件可得，= (2kb-4) 2-4k2b2=0,化简可得kb=1 ,B (x2, y2),可得 x1+x2=由y=kx+I和椭圆方程3x2+4y2=12, 可得(3+4k2) x2+8x+d12=0, 由 64-4 (3+4k2) (：-12) >0, 可得k>?设 A (刈,y1)，即有中点坐标为(-高，蔽法)，设 N (0, n),由由y=kx+区，设y=0,则第11页，共12页当且仅当k=q>:时，取得最小值-;.【解析】(I)求得抛物线的焦点，可得c=1,设P为咛，m),由椭圆的焦半径公式可得，PF1|=a+；阡耳 由椭圆和抛物线的定义可得，2a=4+1,解方程可得