(word完整版)高中导数练习题

1、导数11【考点透视】1 . 了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等）；掌 握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念.2 .熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导 法则，会求某些简单函数的导数.3 .理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最 小值.【例题解析】考点1导数的概念 对概念的要求：了解导数概念的实际背景， 掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义,解导函数的概念.例 1. f (x)是 f

2、 (x)2x 1的导函数，则f （ 1）的值是解答过程Q f （x）2, f ( 1)212 3.例2.设函数f（x），集合M=x| f (x)0,P=x| f'（x） 0,若M区P,则实数a的取值范围是A.(-8 ,1)B.(0,1)C.(1,+OO)D. 1,+ 8)解答过程由4a 0,x 1/x a / x aQ y , y x 1x 1当a>1时,1a;当a<1 时,a x 1.0.a 1.综上可得M宴P时，a1.例3.若曲线y x4的一条切线l与直线x4y 80垂直，则l的方程为（）B.x 4yD.x 4y解答过程与直线x 4y 80垂直的直线l为4x y m 0

3、 ,即yx4在某一点的导数为 4,而y 4x3,所以yx4 在(1 ,1）处导数为4,此点的切线为4x y3 0.故选A.例4.已知两抛物线 G ： y x2 2x,C2：yx2 a, a取何彳1时Ci , C2有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.解答过程：函数y x2 2x的导数为y' 2x 2 ,曲线Ci在点P(x1,x12 2x1)处的切线方程为y (x122x1)2(x12)(xx1),即 y2(x11)xx12曲线C1在点Q(x2,x22a)的切线方程是y (x2a)2x2 (xx2)即y2x2x x22 a若直线l是过点P点和Q点的公切线，则式和式都是 l的方程，故得

4、x1 1 x2,x12x221 ,消去 x2 得方程，2x122x11 a 0若 =4 42(1a)0,即a 1时，解得x1，此时点P、Q重合.212，当时a 1，C1和C2有且只有一条公切线，由式得公切线方程为y x 1 .24考点3导数的应用1.求函数的解析式；2.求函数的值域；3.解决单调性问题；4.求函数的极值(最值)；5.构造函数证明不等式.典型例题例5.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x) 在开区间(a,b)内有极小值点()A. 1个B. 2个C. 3 个fD. 4 个一解答过程由图象可见，在区间(a,b)内的图象上有

5、 2个极小值 ;点.故选B.例6 .设函数f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值.(I )求a、b的值；(n)若对于任意的x 0,3,都有f(x) c2成立，求c的取值范围.a、思路启迪：利用函数f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在X 1及X 2时取得极值构造方程组求b的值.解答过程：(I) f (x) 6x2 6ax 3b,因为函数f(x)在x 1及x 2取得极值，则有f(1) 0, f (2) 0.H 6 6a 3b 0, 即24 12a 3b 0.解得a 3 , b 4.(n)由(i)可知， f(x) 2x3 9x2 12x 8c,f (x) 6x2 1

6、8x 12 6(x 1)(x 2).当 x (01)时，f (x) 0;当 x (1,2)时，f (x) 0；当 x (2,3)时，f (x) 0.所以，当 x 1 时，f(x)取得极大值 f(1) 5 8c,又 f(0) 8c, f(3) 9 8c.则当x 0,3时，f(x)的最大值为f(3) 9 8c.因为对于任意的x0,3 ,有f(x) c2恒成立，所以 9 8c c2,解得 c 1或c 9,因此c的取值范围为(，1)U(9,).例7.设函数f(x)=ax (a+1)ln( x+1),其中a -1,求f(x)的单调区间.考查目的本题考查了函数的导数求法，函数的极值的判定，考查了应用数形结

7、合的数学思想 分析问题解决问题的能力解答过程由已知得函数f(x)的定义域为(1,)，且f'(x) .(a 1), x 1'(1)当1 a 0时，f'(x) 0,函数f(x)在(1,)上单调递减，(2)当a 0时，由f'(x) 0,解得x二 af '(x)、f (x)随x的变化情况如下表x(1,1) a1a1(,)af (x)一0+f(x)极小值从上表可知当 x ( 1,1)时，当x (1,)时，a综上所述：当 1f(x) 0,函数f(x)在(1,1)上单调递减.f (x) 0,函数f(x)在(1,)上单调递增.a'a 0时，函数f (x)在(1,

8、)上单调递减.当a 0时，函数f(x)在(1)上单调递减，函数f(x)在(1,)上单调递增aa，典型例题例8.用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2： 1,问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？析和解决实际问题的能力.解答过程设长方体的宽为18 12xh - 4.5 3x(m)故长方体的体积为 一 22V(x) 2x (4.5 3x) 9x从而 V(x) 18x 18x2(4.5令V' (x) = 0,解得考查目的本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分x (m),则长为2x(m),高为0Kx<3

9、.23336x (m )(0<xv ,).3x) 18x(1 x).(舍去)或 x=1 ,因此x=1.当 0vxv1 时，V' ( x) >0;当 1 vxv 2 时，V' ( x) v 0,3故在x=1处V (x)取得极大值，并且这个极大值就是V (x)的最大值。从而最大体积 V = V' (x) = 9X 12-6 x 13 ( m3),此时长方体的长为 2 m ,高为1.5 m.答：当长方体的长为 2 m时，宽为1 m ,高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m 3。、选择题1. y=esinxcos(sin x),贝U y' (0)等于(

10、)A.0B.1C. 1D.22.经过原点且与曲线y=X 9相切的方程是x 5A.x+y=0 或 _x_+y=025B.x y=0 或 _x_ +y=025C.x+y=0 或二y=025D.x y=0 或 _x_ y=03.设f(x)可导,且f'(0)=0,又 limx 0L(x.=1，则 f(0)()A.可能不是f(x)的极值B.一定是f(x)的极值C. 一定是f(x)的极小值D.等于04.设函数 fn(x)=n2x2(1 x)n(n 为正整数),则fn(x)在0,1上的最大值为()A.0B.1C 2 nC.(1D nD.4C)5、函数 y=(x2-1)3+1 在 x=-1 处(A、有

11、极大值B、无极值C、有极小值D、无法确定极值情况6.f(x)=ax 3+3x2+2, f' (-1)=4 ,则 a=(D、19万7.过抛物线y=x2上的点M ( 1 1)的切线的倾斜角是(2, 4A、30 0B、450C、600D、9008.函数f(x)=x 3-6bx+3b在(0, 1)内有极小值，则实数的取值范围是()A、 (0, 1)B、(Q, 1) C、(0,+ 8) D、(0,1)29.函数 y=x 3-3x+35上的最小值是 2A、898B、D、510、若 f(x)=x 3+ax2+bx+c,且f(0)=0为函数的极值，则(A、C、b=011、已知函数B、当a>0时，

12、f(0)为极大值D、当a<0时，f(0)为极小值y=2x 3+ax 2+36x-24在x=2处有极值，则该函数的一个递增区间是 (A、(2, 3)B、(3, +8)C、(2, +8)D、(-8, 3)12、方程6x5-15x4+10x3 + 1=0的实数解的集合中(A、至少有2个元素B、至少有3个元素 C、至多有1个元素 D、恰好有5个元素二、填空题13 .若(xo)=2, lim f(x0 k) f(x0)=. k 02k14 .设 f(x)=x(x+1)(x+2) (x+n),贝U f' (0)=.15 .函数 f(x)=log a(3x2+5x2)(a > 0 且 a

13、 w 1)的单调区间 .16 .在半彳空为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为 时它的面积最大.三、解答题17 .已知曲线 C: y=x33x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点仅。0。)的 w 0),求直线l的方程及切点坐标.18 .求函数f(x尸p2x2(1-x)p(p C N+),在0, 1内的最大值.19 .证明双曲线xy=a 2上任意一点的切线与两坐标轴组成的三角形面积等于常数20 .求函数的导数(1)y=(x2 2x+3) e2x;(2)y=3 x . .1 x21 .有一个长度为5 m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3 m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开

14、墙脚1.4 m时，梯子上端下滑的速度.22 .求和 Sn=1 2+22x+32x2+n2xn 1,(xw0,nCN*).23 .设f(x尸ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间.24 .设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x=1,x=2是函数f(x)的极大值还是极小值，并说明理由.25 .已知a、b为实数，且b>a>e,其中e为自然对数的底，求证： ab>ba.26 .设关于x的方程2x2 ax 2=0的两根为a、p(av B),函数f(x)= 4x a. x2 1(1)求 f(a)

15、 f(B)的值；(2)证明f(x)是a , 口上的增函数；(3)当a为何值时，f(x)在区间a , 3 ：上的最大值与最小值之差最小？【参考答案】 一、1.解析：y' =esinx cosxcos(sin x)cosxsin(sin x) ,y' (0)= e0(1 0)=1.答案：B2.解析：设切点为(xo,yo),则切线的斜率为k= y0 ,另一方面，v' =( x 9)' =4 故22xox 5 (x 5)y ' (xo)=k,即 4 V。X0 9 或 xo2+18xo+45=0 得 xo(1)= 3,丫0出=15,对应有(xo 5)x0 x0 (

16、x0 5)¥0(1)=340(2)=15 9 3,因此得两个切点A(-3, 3)或B(15, S从而得 y'(A尸4_=15 5 55( 3 5)31及y' (B尸 41 ，由于切线过原点，故得切线：lA：y= x或lB：y=_x .(15 5)22525答案：A3 .解析：由|im f (0) = 1，故存在含有0的区间(a,b)使当xC (a,b),xw0时f <0，于是当xC x 0 xx(a,0)时 f' (0)>0,当 xC (0,b)时,f' (0) <0,这样 f(x)在(a,0)上单增,在(0,b)上单减.答案：B得

17、x1=0,x2 = 1,x3= _2_，易知 fn(x)在2 n4 .解析：: f' n(x)=2xn2(1 x)n n3x2(1 x)n-1=n2x(1 x)n-1 2(1x) nx，令 f n(x)=0,x=2 时取得最大值，最大值fn(二 尸n2(工)2(1 2 n2 n 2 n3)n=4 (3)n+1.2 n2 n答案：D9、B 10、C 11、B 12、C13.解析：根据导数的定义:5、 B 6、 A 7、 B 8、 Df (x0)=1im f(x0 ( k) f(x0)(这日x k)k 0kkim0f(x° k) f(x0)2kkim01 f(x0 k) f(x0

18、%2k 1 f (x0一 lim2 k 0k) f(x0)k12 f (x0)1.答案：114 .解析：设 g(x)=(x+1)(x+2)(x+n),则 f(x)=xg(x),于是 f' (x)=g(x)+xg ' (x),f' (0)=g(0)+0 - g' (0)=g(0)=1 2 - n=n!答案：n!15 .解析：函数的定义域是x>1 或 xv2,f' (x)=logae.(3x2+5x2)' = (6x 5) e,33x2 5x 2(3x 1)(x 2)若 a>1,则当 x>1 时，logae>0,6x+5>

19、;0,(3x1)(x+2) >0,(x)>0,.函数 f(x)在(1 ,+33°°)上是增函数，xv2时，f' (x) v 0.，函数f(x)在(一8,2)上是减函数.若0vav1,则当x>1时，f' (x)<0,，f(x)在(1,+8)上是减函数，当xv2时, 33f' (x)>0, .-.f(x)在(一8,2)上是增函数.答案：(一8,2)16 .解析：设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h,那么h=AO+BO=R+ R2 x2 ,解得x2=h(2Rh),于是内接三角形的面积为S=x，h= J(2Rh h2) h

20、<(2Rh3 h4),从而S1-(2Rh3 h4) 2(2Rh3 h4)24h3)2h (3R 2h)(2R h)h3i13452-(2Rh h ) 2(6Rh令S' =0,解得h = 3R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下:2h(o, 3R) 23R 2T,2R) 2S'+o一S增函数最大值减函数由此表可知，当x=3R时，等腰三角形面积最大.2答案：3R2三、17.解：由 l 过原点，知 k=_Xo. (x0w 0),点(xo,yo)在曲线 C 上，yo=xo3 3xo2+2xo, xoYo=xo2 3xo+2,yz =3x2 6x+2, k=3x

21、。26xo+2又 k=y_，二 3xo2 6xo+2=xo2 3xo+2,2 xo2 3xo=O,xo=O 或 xo= 3 .xo2由 xw。,知 xo=3 , 2yo=( 3.)3 3( 3 )2+2 3 = 3 .，k=效=1.2228xo4 l 方程 y= lx 切点(3, W).42818. f'(x) p2x(1 x)p 12 (2 p)x,令 f' (x)=o 得，x=o , x=1 , x= 2,2 p在o, 1上，f(o)=o , f(1)=o , f(3) 4(_)P 2 .2 P 2 pf(x)max19.设双曲线上任一点 P (xo, yo)2 a k y

22、 |x xoxo切线方程y yo2a2 (xXo) ,X 0令 y=o ,则 x=2x o令x=o ,则y刍212一 S -|x|y| 2a2 .22。.解：(1)注意到y>o,两端取对数，得lny=ln(x22x+3)+ln e2x=ln(x22x+3)+2 x,(x2 2x 3)y 2 0:rx 2x 3一，2一、2(x x 2)27 yx 2x 3c 2x 2 c 2(x2 x 2)2-22-2x2x3 x2x3.一，2一、2(xx2)22x (x22x 3)ex2x322x2( x x 2) e .(2)两端取对数，得ln|y|= 1(ln| x| ln|1 x|), 3两边解x

23、求导，得11,11、11y ，(一 ;);，y 3 x 1 x 3 x(1 x)1 11 xy - y 33 x(1 x) 3x(1 x) 1 x21.解：设经时间t秒梯子上端下滑s米，则s=5 ，25 9t2，当下端移开1.4 m时,to=U 7, 3151一 ，1又 s = (25 9t ), ( 9 , 2t)=91 1,225 9t2所以s(to)=9 X 7151=o.875(m/s).25 9 (：5)222.解：(1)当 x=1 时，Sn=1 2+22+32+ +n2=n(n+1)(2 n+1),当 xw1 时，1+2x+3x2+ -6n _ n 1、一一一+ nxn-1=1 (

24、n 1)xn,两边同乘以 x,得(1 x)2x+2x2+3x2+ + nxn= x (n 1)xn 1 nxn 2 两边对 x 求导，得 (1 x)2Sn=1，22x，32x，+n2xn-i_1 x (n 1)2xn (2n2 2n 1)xn 1 n2xn 2 .(1 x)323 .解:f' (x)=3ax2+1.若a>0,f' (x)>0对x C (8 ,+oo)恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾若 a=0,f' (x)=1 > 0,xC (8 ,+ oo),f(x)也只有一个单调区间，矛盾 .若a<0/. f, (x)=3a(x+ 1

25、 ) (x-1)，此时f(x)恰有三个单调区间.3|a|3|a|''' a v 0且单调减区间为(一00 , 一 1)和(1,+°°),3|a|3|a|单调增区间为(一J ,).3|a|,3|a|24 .解：f' (x)=f+2bx+1,x(1)由极值点的必要条件可知：f' (1)=f' (2)=0，即a+2b+1=0，且a+4b+1=0,2解方程组可得 a= 2 ,b= 1,.1. f(x)= 2 lnx lx2+x, 3636(2)f' (x)=2x-1 1x+1，当 xC (0,1)时,f' (x)<0,当 xC (1,2)时,f' (x)>0,当 xC (2,+ 338)时，f (x)<0,故在x=1处