2020年河南省中考数学压轴题专题13击破类比、探究类综合题利器之相似知识

1、专题13击破类比、探究类综合题利器之相似知识模型一、A字形(手拉手)及其旋转模型二、K字型及其旋转图2典例剖析【例1】(2019 洛阳二模)如图1 ,在 RtABC 中，/ ABG90 ,AB=BG4,点 D, E 分别是边ABAC的中点，连接 DE,将ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为a , BD EC所在直线相交所成的(1)问题发现当a =0°时,CEBD(2)拓展探究CE 一试判断：当0°2的情形给出证明.& a <360时，CE和3的大小有无变化？请仅就图BD(3)在4ADE旋转过程中，当 DE/ AC时，直接写出此时 CBE的面积.【答案】见解

2、析BD=AD=2,【解析】解：(1)由题意知，AG=4 J2 , CE=AE=2" ,- CE = B=/A=45 ,BD(2)无变化，理由如下：延长CE交BD于F,.ABC ADE等腰直角三角形，2- 应，/DA心/BAO45 AB AD / DAB/ CAE . ABDo ACE.CE AC 2BD AB '/ABD：/ACE/ CFB=45 ,即 3=ZCFB=45 .如图所示，一1 -s=2bc- be2:X 4 X （ 4-2，2 ） =8-4 22.;2如下图所示,E图1图2-1 -S=BC BE21=-X4X (4+2J2) =8+4 版； 2综上所述，在 AD

3、城转过程中，DE AC时，此时 CBE勺面积为8 4四 或8+4夜.E两点分别是【变式1-1(2019 洛阳三模)如图 1 ,在 RtABC中，Z C=90° , AG8, AB=10,AC CB上的点，且 CD=6, DB AB,将 CDE绕点C顺时针旋转一周，记旋转角为 a.(1)问题发现当 a =0° 时,-AD-=;EB一AD当 a =90°时，=.EBAD是否发生变化？根据图 2证明你的猜想.EB(2)拓展探究请你猜想当 CDE在旋转的过程中,(3)问题解决在将 CDE绕点C顺时针旋转一周的过程中，当AD=2ji3时，BE=，此时a =【答案】（1） 4

4、34; (2)见解析；(3) 3/逗；60 或 300. 32【解析】解：（1）, AB=10, AC=8,由勾股定理得:BC=6,CD CEAC BC即6 CE, 86 .CE=9 , 2b BE=3 , 2.AD 4=-；EB 3一，、-15由勾股定理得：AD=10, BE=15,2.AD 4=-；EB 3（2）不变化,理由如下:由题意知：DC& ACBCD CEAC BC由旋转性质得：/ ACB/BCE . ACH BCEADBE即ADBEAC, BC8 46 3AD(3)由(2)知 ADBEAD=2 .13 ,. be313BL ,2如图由勾股定理得2x=5FD030DC=60

5、=60°AD=2.13同理可得=300°连接3的情形给出证明备用图123(1)探究发现(2019 南阳毕业测试)如图如图1如图2D,点En,点E在线段AC上DEDFBCRtAABO, / ACB= 90 , .BC ACm , CDL AB于点 nE在线段AC上，则匹DF答案为：3蛆；60°或300°2【答案】（1） 1; （2）m;见解析. n【解析】解：（1）当m= n时，即：BO AC ./ACB= 90 , /A+/ABG= 90° ,. CDL AB ./ DCBZ ABC= 90 ,/ A= / DCB . / FDE= / ADC

6、= 90° ,/ FD曰 / CDE= / ADO / CDE即/ ADE= / CDF AD9 CDFDE AD.= 一,DF CD/ A= / DCB / ADC= / BDC= 90 ,. AD。 CDB，股二蛆=1,即昵=i,CD BC DF（2）由（1）中方法可证得： ADEo CDF AD（Co CDB.胆=殷=处/，即PE", DF CD BC m DF m成立./ACB= 90 ,，/A+/ABC= 90° ,又. CDLAR ./ DCBZ ABC= 90 ,/ A= / DCBFDE= / ADC= 90° ,. FD&ZCD

7、IE= /ADG/CDE即/ ADE= / CDFADIE3 CDF. DE 二 AD '' ?DF CD/ A= / DCB / ADC= / BDC= 90 ,. AAD(C CDB.AD AC n .-,CD BC m. DE =n .-.DF m【变式2-1(2019开封二模)如图 1,在矩形 ABC由，AB= 6, BC= 8,点E是边CD±的点，且 CE =4,过点E作CD勺垂线，并在垂线上截取 EF= 3,连接CF.将 CEF绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角 为a.(1)问题发现当 a = 0 时，AF=, BE=，"=;BE(2)拓展探究试判

8、断：当0。wa。360。时，AE的大小有无变化？请仅就图 2的情况给出证明.BE(3)问题解决当CEFI转至A E, F三点共线时，直接写出线段BE的长.图1图2备用图【答案】(1) 5痣，4褥，夕；(2) (3)见解析；4【解析】解：(1)当a=0°时，过点F作FGL AD于G,AD GBC四边形ABCD1矩形， ./ADC= Z BCE= 90 , AD= BC= 8, AB= CD= 6,由/ G= / EDG= / DEF= 90° ,知四边形 DEF境矩形,，DG= EF 3, AG= 11 ,CE4, CD= 6,FG= DE= 2,RtAAGF,由勾股定理得：

9、 AF= 5J5 ,同理，BE= 4.5,AE =5BE 4(2) AE的大小无变化，理由如下:BE连接ACB CAB= 6, BC= 8, EF= 3, CE= 4, EF 1 CE 1AB 2 ' BC 2 'EF CE=一, AB BC . / CEF= / ABC= 90° ,.CE田 CBA.CFACCEBC/ ECF= / ACBCFCEAC 5 , / ACF= / BCEBC 4. AC田 BCE蛆CF 5,即些的大小无变化;BE CE 4 BE(3)当 CE城转至A, E F三点共线时，存在两种情况:E在A、F之间，如图，连接 ACA£SC

10、RtAABO,由勾股定理得： AO 10,同理得：C口5,由（2）知：AE CE 4,RtAAEO,由勾股定理得：AE= 2回， .AF= AE-EF= 2 .21+3, .BE= 4AF= 4 (2721+3) = 8历 12 ; 555点F在A E之间时，如图所示，连接 ACVAP同理得：AF= AE- EF= 2>/2? -3,BE= 4AF= - (2后-3) = 8后 12 ;555综上所述，BE的值为8后 12或8后 1255压轴精练AB1. （2018 河师大附中模拟）如图，在RtAABO, / BA（=90 , .=1.点P是边BC上一个动点AC（不与 B 重合），/ P

11、Aa90° , / APa/ B,连接 CD填空：世=:/八。勺度数为CD（2）拓展探究如图，在Rt ABO43, ZBA（=90 , £B=k .点P是边BC上一个动点（不与B重合），/ PAB90。， AC/APH/B,连接CD请判断/ ACDW/B的数量关系以及 PB与CD之间的数量关系，并说明理由(3)解决问题如图，在 ABC中，/ B=45 , AB=4"，BC=12, P是边BC上一动点(不与B重合)， /APH/B,连接CD请直接写出所有 CD的长. / PAD= / BAC【答案】见解析.【解析】解：(1) . AB=AC / BAG90 , /

12、PA090 , / BAP=/ CAD / B=45 ,. / APB/ B, / APB/ADP=45 , . AP=AD AB国 ACDBP=CD / ACR/ B=45 ,即 EB=1, / ACD45 , CD故答案为：1, 45° .PB(2) /ACD/B, B-=k,理由如下： CD / BA090 , / PAD=90 , / APB/ B, . ABCo APD.AB=AP=k,AC AD由/ BAP+/PAG/PACVCAD90 ,得：/ BAP：/ CAD . ABA CAD / ACD/ B,PB AB . =k.CD AC(3)过A作AHL BC于H,如图所

13、示,C / B=45 , . BAH等腰直角三角形，. AB=4 隹，AH=BH=4, BC=12,.CH=8,在RtAACH,由勾股定理得： AC=4押,在RtAAPh!,由勾股定理得：PH=3,BP=1,. / PAB/BAC / APD=/B, AB6 APD,AB AP =，AC AD由/ BAR/ PA(=ZPA(+Z CAD 得：/ BAR/ CAD . AB% CAD.PB AB=，CD AC日口 14.2即=-CD 4 .5解得：C®0, 2如图所示，过 A作AHL BC于H,H.同理可得： ABm CAD.PB AB=，CD AC即L2CD 4 ,57 10 解得：

14、C9一,2综上所述，CD的值为： ,7-1022. (2018 河南第一次大联考)如图1,在等边三角形 ABC点M为BC边上异于 R C的一点，以AM为边作等边三角形 AMN连接CN NC< AB的位置关系为(2)深入探究：AMN如图2,在等腰三角形 ABC, BA=BC点M为BC边上异于 B C的一点，以AM为边作等腰三角形使/ ABB/AMN AMMN连接CN试探究/ ABCW/ ACN勺数量关系，并说明理由;(3)拓展延伸：EF点N如图3,在正方形 ADB阱，ADAC,点M为BC边上异于 R C的一点，以AM为边作正方形 AM为正方形 AME附中点，连接 CN若BG10, C附J2

15、,试求EF的长.【答案】见解析.【解析】解：(1) NC/ AR(2) / ABB/ACN理由如下:.AB=BC AM=MN 即 ABBGAMMNd,又/ AB(=Z ACN . ABCo AMN.AB ACam"前1 / BAG2 (180 -Z ABQ, 2 AMMN1 / MAN2 (180 -Z AMN, 2由/ AB©Z AMN得/ BAG/ MAN Z BAMZ CAN又胆 ACAM- Ai?' .A ABIVhA ACN/ ABGZ ACN.四边形ADBCAME的正方形,. ZABGZBAQ45 , Z MAN45 , Z BAMZ CAN由股=,BC

16、 AN.胆 BC ACAM AN AN ' A ABIVhA ACN,BM A§.CN AC 'BM 2FBM：2,CMBG- Bl410-2=8,在 RtAAM*,由勾股定理得：AIVtVAC2 MC2 2'41,.-.EF=AM=2,41.3. （2017 新野一模）如图，在ABC中，/ ACB90,BC=2,/A=30°,点E, F分别是线段BCAC的中点，连接EF(1)说明线段BE与AF的位置关系和数量关系；(2)如图，当 CEF绕点C顺时针旋转 a (0° V a<90° )时，连接 AF, BE, (1)中的结论

17、是否 仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；(3)如图，当 CE点C顺时针旋转 a (0° < a <180° )时，延长 FC交AB点D,如果AD=6-24，求旋转角a的度数.【答案】见解析.【解析】(1)解：BE!AF, AF=73bE;理由如下:在ABCK / AB090 , BG2, / A=30 , . AC=V3BC=2 技点E, F分别是线段BC AC的中点，. BE! AF BE=CE AF=CF,.蛆殷=凡BE BCAF= . 3 BE;(2)解：(1)中的结论仍然成立，理由如下：点E, F分别是线段BC AC的中点,EO1BC

18、FC=1AC22CE %,BC AC 2 / BCE=/ACFBE6 AFCAE AC =v3 , / CBE=/ CAFBE BC延长BE交AC于点O,交AF于点M如图所示:B. / BOC/ AOM / CBE:ZCAF / BCO/ AMO90 ,即 BE± AF；(3)解：. / ACB90 , BC=2, / A=30 ,，AB=2BC=4, / B=60 , . DB=AB- AD=4- ( 6 - 2 J3 ) =2 73 - 2,过点D作DHL BC于点H,如图所示:BH=-DB=73 - 1, DHDB=3- V3 , 22又. CH=BC- BH=2- ( 73-

19、1) =3- J3,. CHDH/ HCD45 , / DCA45 , a =135° .4. （2019 安阳一模）（1）问题发现:如图1,在等边 ABC4点D为BC边上一动点，DE/ AB交AC于点E,将AD绕点D顺时针旋转60°得到DF连接CF则AE与FC的数量关系是,/ ACF的度数为（2）拓展探究:如图2,在RtAABO, /ABG90。，/AC囱60°,点D为BC边上一动点，D曰AB交AC于点E,当/AE .ADf=/AC=90时，求 的值.FC(3)解决问题：D作DEI AB交AC的延长线于点 E,如图3,在 ABC中，BCAB=mi点D为BC的延长

20、线上一点，过点直接写出当/ ADf=/ACI=/ABC寸AE的值.FCEB D C822【答案】(1) AE=FC, 60; (2)（3）见解析;【解析】解：（1） .ABB等边三角形，DB AB. DCEM等边三角形,由旋转性质知，AD=DF, ZADf=60 ,.Z ADm/CDF.AD降 FDC . AE=FC / DCI=/ DE/=120 ,/ ACI=60 ;(2)DE/ AR / EDC/AB(=90 , /ADE90 , Z ADC/CDF / ACI=90 ,即 / AEB/EDG/ACB / FC®/ ACF+/ACB / AEB/ FCDDA呼 DFC,AE D

21、E CF CD,. DE/ ABEDG ABCDE AB CD BC '，空空= 73. CF BC（3）与（2）证明可得：AE AB _ 1 =.CF BC m5. （2019 南阳模拟）（1）【问题发现】如图 1, 4ABC和 CEF都是等腰直角三角形，/ BAC= / EFC= 90。，点E与点A重合，则线段 BE与AF的数量关系为 ;（2）【拓展研究】在（1）的条件下，将4 CEFg点C旋转，连接BE, AF,线段BE与AF的数量关系有无变化？仅就图2的情形给出证明；（3）【问题发现】当 AB= AC= 2, ACEFt转到B, E, F三点共线时候，直接写出线段AF的长.图1

22、图2备用图【答案】（1） BE= J2AF; （2） （3）见解析.【解析】解：（1） BE=夜AF. AFC等腰直角三角形,. AC= 2 AF. AB= AC. BE= AB= 2AF;(2) BE= 2 AF=,理由如下：在 RtAABO, AB= AC ./ABC= Z ACB= 45° ,在 RtAEFC, / FEC= Z FCE= 45° , / EFC= 90 ./ ABC= / FEG45 , .sin ZABC= sin Z FE(C= , 2即："CFBC CEFEC= Z ACB= 45 , / FEO / ACE= / ACEB- / A

23、CE即：/ FCA= / ECB. AC田 BCE. AC be= JBC AF 2BE= 2 AE(3)当E在B、F之间时，如图2,由(1)知，CF= EF=短,在 RtABCF, CF=亚,BC= 2 近,根据勾股定理得，BF= 6 ,BE= BF- EF= 66-无，. BE= 2 AFAF= J3 - 1;当F在R E之间时,由（1）可证， ACM BCE.e BE AC AFBE= . 2 AE由知：CF= 应，BC= 2立，BF= 褥，BE= BF+EF=回应，BE=" AF, .AF= 73+1.当B, E, F三点共线时，线段 AF的长为 褥-1或 4+1.6. （2

24、019 商丘二模）如图，在 ABC ADE中，/ BAC= Z DAE= 90° ,点P为射线BD, CE的交点.（1）问题提出：如图 1,若AD= AE AB= AC/ABDW/ACE勺数量关系为 ;/ BPC勺度数为.（2）猜想论证：如图 2,若/ ADE= /ABC= 30° ,则（1）中的结论是否成立？请说明理由.（3）拓展延伸：在（1）的条件中，若 AB= 2, AD= 1,若把 AD漱点A旋转，当/ EAC= 90°时，直接写出PB的长.图1图2备用图【答案】（1） / ABD/ACE 90。； （2） （3）见解析.【解析】解：（1）.一 AB/口

25、AD既等腰直角三角形，/ BAC= / DAE= 90° ,AB= AC AD= AE Z DAB= /CAE / ABC= Z ACB= 45. A ADB2A AEC ./ ABD=Z AC耳/BPG=180 -Z ABD- Z ABO Z BCP= 180° 45° - (Z BCPZ ACE=180 - 45° - 45=90 ;(2) (1)中结论成立，理由：在ABC, Z ABG=30 , AB= V3AQ同理，AD=掷AE9 AEAB CE ? / BAG=Z DAE=90° , .Z BAD=Z CAE. A ADBA AEC

26、.Z ABD=Z ACEZ BPG=180 - Z ABD- Z ABC- Z BCP= 180 - 300 - 60=90 ,(3)解：当点E在线段AB上时，在RtAAEO,由勾股定理得： CE=店,易证： ADAAECDB每/ ECA/ PEB=Z AEQPB BEAC CE 'PB 1T 5PB= 2店;5当点E在BA延长线上时,BE= ABfAE= 3.同理得：EBACBECE，,PB 32 CE.PB=睡,5综上所述，PB的长为 运或6匹.7. (2019 名校模考)问题发现:(1)如图 1,在Rt ABCP,AA= 90° ,AB= k?AC (k>1),D

27、 是 AB 上一点，DE/ BC贝 UBDEC 的 数量关系为类比探究:(2)如图2,将 AED绕着点A顺时针旋转，旋转角为 a (0° < a<90° ),连接CE BD请问(1)中BD EC的数量关系还成立吗？说明理由拓展延伸:(3)如图3,在(2)的条件下，将 AE曲点A继续旋转，旋转角为 a (a>90° ) .直线BD CE交于F 点，若 AC= 1, AB= 73 ,则当/ ACE= 15° 时，BF?CF的值为【解析】解：(1) DE/ BGD图3BDABCEAC，AD AEAB AC即BDCEADAEABAc, AB=

28、k?AGBD= k?EG(2)成立，理由如下:/ CAE.AD AB , =tan / ADEAE AC . ABDo ACE,BD AB , = k,CE AC即：BD= k?EC;(3) BF?CF的值为2或1;由(2)知 AB5AACE ./ ACE= / ABD= 15/ ABG/ACB= 90 / FBG/ FCB= 90 / BFO 90°由/ BAG= 90 , AC= 1, AB=褥，得：/ ABG= 30 , / ACB= 60 , BC= 2AC= 2,分两种情况讨论：如图，此时，/ CBF= 30° +15° =45° , BC=

29、2 .BF= CF=.:BF?CF= 2;如图在BF上取点G,使/ BCG= 15。，则 / BCF= 75 , / CBF= Z ABO / ABD= 15 , ./ CFB= 90 , / GCF= 60°. CO BG= 2CF, GF= 3CF, BF=(2+ .3)CF由勾股定理知：cF+b=bC .CU+ (2+J3) CF2=22,cF= 2 - 3z ,，BF?CF= (2+j3) C户=1,即：BF?CF= 2或 1.AB上的动点,8. (2019 枫杨外国语三模) 已知，在 ABC中，ZACB=90 , / B=30° ,点D是直线 连接CD以CD为边，

30、在CD的左侧作等边 CDE连接EB（1）问题发现:如图（1）,当CDL AB时，ED和EB的数量关系是 （2）规律论证：如图（2）当点D在线段 AB上运动时，（1）中ED EB的数量关系是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）加以证明；若不成立，请写出新的数量关系，并说明理由（3）拓展应用：如图（3）当点D在直线 AB上运动时，若 AG2 72 ,且 BCE恰好为等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的 AD的长.图1图2图3【答案】(1) ED=EB; (2) (3)见解析.【解析】解：(1) . CD里等边三角形， Z CDE60 ,. CDL AB /CDB90 , BD巨30 , . / B

31、=30° ,/ BDS/ B,ED=EB 2)成立；过点 C作 CD AB于 F,过 E作 EHL BC于 H,则/ CFB:Z EH090 ,D / CBA30 , / BCE60 ,. CE等边三角形， / DCE60 , CE=CQ / ECH/ DCF CDm CEHC仲CF在 RtACBF,由/ CBS30 ,彳#: BG2CFBH=CHCF,即 H为 BC中点，. EH=EH / BHE:Z CH巨90 ,BE摩 CEHBE=CE. CE=DEBE=DE(3)过点C作CHL AB于H,如下图所示,由题意知：AC=2 - 2 ,. A叶夜，C叶击，BG2C仲2/6, BE=

32、CE=CD=在RtACDH,由勾股定理得：DHJ6, . AD=DHk AH= 6 2 ；如图所示,于点同理可得：dh=J6, ah=J2, . AD=DHAH 6+2 ;综上所述，符合条件的 AD的长为 通应或76+J2 .9.（2017 关训一模）如图，在矩形 ABC珅，E为CD的中点，F为BEJ一点，连结CF并延长交ABMN_ C帜射线AD于点N.）当F为BE中点时，求证：A附CE、什 AB EF c - AN a古)若 2 ,求的值.BC BFDN【雷案】见解析.N n【解析】解：（1）当F为BE中点时，即BF=EF 四边形ABCD1矩形，. AB=DC AB/ DC /MBF/CEF /BMF/ECFBM=EC .E为CD的中点，八1 八1EC=-DO-A22 . AM=BMEC(2)设 MB=x,四边形ABCD1矩形,. AD=BC AB=DG / A=/AB0/BCD90 , AB/ DC. 21 EF 2, BM