2020-2021全国中考数学相似的综合中考真题汇总

1、2020-2021全国中考数学相似的综合中考真题汇总一、相似1 .如图，在矩形(1)当t为何值时，Z ANM=45 ?(2)计算四边形 AMCN的面积，根据计算结果提出一个你认为合理的结论；(3)当t为何值时，以点 M、N、A为顶点的三角形与 BCD相似？【答案】(1)解：对于任何时刻 t, AM=2t , DN=t, NA=9-t,当AN=AM时,腰直角三角形，即：9-t=2t,解得：t=3 (s),所以，当t=3s时，AMAN为等腰直角三角形ABCD中，AB=18cm, AD=9cm,点 M沿AB边从 A点开始向 B以2cm/sM、N同时出 MAN为等(2)解：在 4NAC 中，NA=9-

2、t, NA 边上的高 DC=12,Sa nac=NA?DC=a(9-t) ?18=81-9t.在 4AMC 中，AM=2t , BC=9,Saamc= : AM?BC=:？2t?9=9t .二. S 四边形 namc=Sxnac+Saamc=81 (cm2).由计算结果发现：M、N两在M、N两点移动的过程中，四边形 NAMC的面积始终保持不变.(也可提出:AB点到对角线AC的距离之和保持不变) DABCD 中：当 NA: AB=AM: BC(3)解：根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形时，NA2 4ABC,那么有：(9-t) : 18=2t: 9,解得 t=1.8 (s), 即当 t=1.8

3、s 时，NA'ABC; 当 NA: BC=AM: AB 时，MANsabc,那么有：(9-t) : 9=2t: 18,解得 t=4.5 (s),即当 t=4.5s 时， MANs ABC；所以，当t=1.8s或4.5s时，以点N、A、M为顶点的三角形与 ABC相似【解析】【分析】(1)根据题意可得：因为对于任何时刻t, AM=2t, DN=t, NA=9-t.当NA=AM时，/MAN为等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案。(2)根据(1)中.在4NAC中，NA=9-t, NA边上的高DC=18,利用三角形的面积公式， 可得Sanac= =81-9t, SaAMc=9t.就可得出 S四

4、边形namc=81 ,因此在 M、N两点移动的过程 中，四边形NAMC的面积始终保持不变。(3)根据题意，在矩形 ABCD中，可分为 当NA: AB=AM: BC时，NA24ABC; 当NA: BC=AM: AB时， MAN s ABC两种情况来研究，列出关系式，代入数据可得答 案。2.如图，在一块长为 a(cm),宽为b(cm)(a>b)的矩形黑板的四周，镶上宽为x(cm)的木板,得到一个新的矩形.v(cni)(1)试用含a, b, x的代数式表示新矩形的长和宽;(2)试判断原矩形的长、宽与新矩形的长、宽是不是比例线段，并说明理由.【答案】(1)解：由原矩形的长、宽分别为 a(cm),

5、 b(cm),木板宽为x(cm),可得新矩形的长为(a+ 2x)cm,宽为(b+2x)cma 2x b - 2(2)解：假设两个矩形的长与宽是成比例线段，则有 d - b ,由比例的基本性质，得 ab+ 2bx= ab+ 2ax,2(ab)x= 0. a>b,''' a b w q. . x= 0,又 x>0,原矩形的长、宽与新矩形的长、宽不是比例线段.【解析】【分析】(1)根据已知，观察图形，可得出新矩形的长和宽。(2)假设两个矩形的长与宽是成比例线段，列出比例式，再利用比例的性质得出x=0,即可判断。a b c3.已知线段a, b, c满足3 匕 J 且

6、a+ 2b + c= 26.(1)判断a, 2b, c, b2是否成比例;(2)若实数x为a, b的比例中项，求x的值.一一.- A【答案】(1)解：设3二3仃 ，则 a=3k, b=2k, c=6k,又 a+2b+c=26, .3k+2 x 2k+6k=26军得 k=2,a=6, b=4, c=12;.-2b=8, b求证: AD是。B的切线; AD=AQ; BG=CF?EG【答案】(1)证明：连接BD,=16,. a=6, 2b=8, c=12, b2=16 .2bc=96, ab2=6X 16=962bc=ab2a, 2b, c, b2是成比例的线段。(2)解：:x是a、b的比例中项，x

7、2=6ab,1 .x2=6X 4内62 .x=12.【解析】【分析】(1)设已知比例式的值为 k,可得出 a=3k, b=2k, c=6k,再代入a+2b+c=26,建立关于 k的方程，求出 kl的值，再求出 2b、b2,然后利用成比例线段的定 义，可判断a, 2b, c, b2是否成比例。(2)根据实数x为a, b的比例中项，可得出x2=ab,建立关于x的方程，求出x的值。4.设C为线段AB的中点，四边形 BCDE是以BC为一边的正方形.以 B为圆心，BD长为 半径的。B与AB相交于F点，延长 EB交。B于G点，连接 DG交于AB于Q点，连接 AD.G 四边形BCDE是正方形，/ DBA=4

8、5 ； / DCB=90，即 DC± AB, .C为AB的中点， .CD是线段AB的垂直平分线，.AD=BD,/ DAB=Z DBA=45 ；/ ADB=90 ；即 BDXAD,. BD为半径，.AD是。B的切线(2)证明：BD=BG,/ BDG=/ G,1. CD/ BE,/ CDG=Z G,1/ G=Z CDG=Z BDG=2 / BCD=22.5 , °/ ADQ=90 - / BDG=67.5，/ AQB=Z BQG=90 - / G=67.5 ,/ ADQ=Z AQD, .AD=AQ(3)证明：连接DF,在BDF 中，BD=BF,/ BFD=Z BDF,又 / D

9、BF=45 ,/ BFD=Z BDF=67.5 , ° / GDB=22.5 , °在 RtA DEF与 RtA GCD 中， / GDE=Z GDB+/ BDE=67.5=Z DFE, / DCF玄 E=90 ； RtA DCM RtA GED,cf a而一瓦又 CD=DE=BCBC2=CF?EG【解析】【分析】(1)连接BD,要证AD是圆B的切线，根据切线的判定可知，只须证 明/ADB=先/即可。 由正方形的性质易得 BC=CD, /DCB=/ DCA=必 , /DBC=/ CDB=I5'，根据点 C为AB的中点可得 BC=CD=AC所以可得 /ADC=5

10、9;，贝U / / adb=m ,问题得证；(2)要证 AQ=AD,需证/AQD=/ADQ。由题意易得 / AQD=4 -/G, /ADQ=S - ZBDG,根据等边对等角可得ZG=Z BDG,由等角的余角相等可得/ AQD=/ ADQ,所以AQ=AD;(3)要证乘积式成立，需证这些线段所在的两个三角形相似，而由正方形的性质可得CD=DE=BC所以可知 BC、CF、EG分别在三角形 DCF和三角形 GED中，连接 DF,用有两 对角对应相等的两个三角形相似即可得证。5.如图，AB是半圆 O的直径，AB= 2,射线 AM、BN为半圆 O的切线.在AM上取一点 D,连接BD交半圆于点C,连接AC过

11、。点作BC的垂线OE,垂足为点E,与BN相交于点 F过D点作半圆O的切线DP,切点为P,与BN相交于点 Q.(1)若AB4 4BFO,求 BQ 的长；(2)求证：FQ=BQ【答案】(1)解：4如0BFC ,院加均为半圆切线, 图一-w .连接 ，则以 0A 必二璘,四边形加磔为菱形, . DQ / 朋,.朝均为半圆切线，DA II Qb ,四边形以出为平行四边形.附二* J| ,则在Rt八%h中，加7 =附，,雇，.f.四 + 国户- (AD BQ)2 + * ,解得:7,2FV 二 HF 一曲二一 AD【解析】【分析】(1)连接OP由AAB里ABFOT彳# AD=OB,由切线长定理可得 AD

12、=DP, 于是易得 OP=OA=DA=DP根据菱形的判定可得四边形 DAOP为菱形，则可得 DQ/AB,易 得四边形DABQ为平行四边形，根据平行四边形的性质可求解；BF Ab 过Q点作QK, AM于点K,由已知易证得 AABM ABFQ可得比例式廊 也 可得BF与AD的关系，由切线长定理可得 AD=DPQB=QP ,解直角三角形 DQK可求得BQ与AD 的关系，则根据 FQ=BF-BQ可得FQ与AD的关系，从而结论得证。6.如图，点 A、B、C D是直径为 AB的。上的四个点， CD= BC, AC与BD交于点E。(1)求证：DC2=CEAC;AL(2)若AE= 2EC,求生之值；(3)在(

13、2)的条件下，过点 C作。O的切线，交AB的延长线于点 H,若Saach= 处 , 求EC之长.【答 案】 (1 ) 证明：CD = BC , Z DAC = / CDB , 又 Z ACD=Z DCE ,.ACDADCE留 CL.仅 CE ,DC2 = CEAC;(2)解：设 EC=k,则 AE=2k, ，AC=3k,由(1) DC2= CEAC= 3k2 , DC= <-J k,连接 OC, OD,.CD- BC,，OC 平分/DOB, .-.BC= DC= 6 k,.AB是。O的直径，在RtMCB中，惑 &卜一第 A3kADI JFI.OB=OC=OD上k,，/BOD= 1

14、20； . . / DOA= 60 °, . . AD= AO, . A0(3)解：.CH 是。O 的切线，连接 CO, .1.OCX CH. / COH= 60°, /H=30°, 过C作CG± AB于G,仅 EC=K .乙 CAB= 30 , . - 一 ,又/H=/CAB= 30°,AC= CH= 3k, W X £0 一 N j . S(A ACH=¥L3L一 X 343k X -A 二哂,.1. k2 = 4, k=2,即 EC= 2.【解析】 【分析】(1)要证DC2=CEAC,只需证ACgDCE即可求解；(2)

15、连接OC, OD,根据已知条件 AE= 2EC可用含k的代数式表示线段 AE、CE AC,由(1)可将CD用含K的代数式表示，在 RtACB中，由勾股定理可将 AB用含K的代数式 表示，结合已知条件和圆的性质可求解；(3)过C作CG, AB于G,设EC=k,由30度角所对的直角边等于斜边的一半可将CG用/含K的代数式表示，根据三角形 ACH的面积=AH 乂 CG=%3即可求解。C.7.抛物线y=ax2+bx+3 (aw。经过点A ( - 1, 0) , B (，0),且与y轴相交于点(1)求这条抛物线的表达式;(2)求/ ACB的度数；(3)设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，

16、点E在线段AC上，且DE±AC,当4DCE与4AOC相似时，求点 D的坐标.【答案】(1)解：当x=0,y=3,所以C (0,3)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-上).将C (0,3)代入得7 a=3,解得a=-2所以抛物线的解析式为y=-2x2+x+3(2)解：过点 B作BMLAC,垂足为 M,过点 M作MNLOA,垂足为 N,如图1 ,. OC=3, AO=1, .tan / CAO=3.直线AC的解析式为y=3x+3.,.ACXBM,IBM的一次项系数为-J .设BM的解析式为y=-x+b,将点B的坐标代入得:1 1BM的解析式为y=-x+ - .U pal- T将 y

17、=3x+3 与 y=- J x+ -联立解得：x=- d , y= ?./ a/X +b=0解得b=上. .MC=BM= M. .?MCB为等腰三角形/ ACB=45.°(3)解：如图2所示，延长CD,交x轴于点F. / ACB=45点D是第一象限抛物线上一点， / ECD> 45 .又. ？DCE与？AOC 相似，/ AOC=/ DEC=90,/ CAO=/ ECD. .CF=AF.设点F的坐标为（a, 0）,则（a+1） 2=32+a2,解得a=4.F （4,0）.设CF的解析式为y=kx+3,将F （4,0）代入得：4k+3=0,解得k二-?. .3，CF的解析式为y=-

18、x+3.将y=-，x+3与y=-2x2+x+3联立，解得 x=0 （舍去）或 x= 5 .口 2怛将x= 6代入y=-，x+3得y= 3工 D （ “ 羽）.【解析】【分析】（1）结合已知抛物线与 x轴的交点AB,设抛物线的解析式为顶点式， 代入点C的坐标求出系数，在回代化成抛物线解析式的一般形式。（2）作垂线转化到直角三角形中利用锐角函数关系解出直线南AC的解析式，再利用待定系数法求出系数得出直线 BC的解析式，联立方程得出点 M的坐标，根据勾股定理求出 MC,BM的长判断出是等腰直角三角形，得出角的度数（3）根据相似三角形的性质的出两角相等，再利用待定系数法求出系数得出直线CF的解析式，再

19、联立方程得出点D的坐标。8.如图，在口破中，/拗后，47及于点山，点£在儿上, 且DH Ch，连接班.（1）求证：NA5 =（2）如图，将I"飒绕点力逆时针旋转 力得到1旅（点E,/分别对应点上W ）, 设 射线"与!/任相交于点6 ,连接酸，试探究线段 ，与'之间满足的数量关系，并说明理 由.【答案】 (1)证明：在 RtAHB中，Z ABC=45 , .AH=BH, 在 BHD和AHC中，AH =IZBtiD - ZAHC -8 DH = CH.BHDAAHC, U'ACH =巳B况(2)解：方法1:如图1, EHF是由 BHD绕点H逆时针旋转

20、30得到,.HD=HF, ZAHF=30Z CHF=90 +30 =120 ,由(1)有，AEH和AFHC都为等腰三角形，Z GAH=Z HCG=30 , .CG1AE,.点C, H, G, A四点共圆，Z CGH=Z CAH,设CG与AH交于点Q,Z AQC=Z GQH,.AQOAGQH,AC AQ 12第 8 si口员T二 EHF是由4BHD绕点H逆时针旋转30得到,由（1）知，BD=AC,EF=ACEF AC AQ 1 二=2.施 Gff GQ 30°即：EF=2HG方法2:如图2,取EF的中点K,连接GK, HK,A. EHF是由4BHD绕点H逆时针旋转30得到,.HD=HF

21、, Z AHF=30 °/ CHF=90+30 =120 ；由（1）有，4AEH和4FHC都为等腰三角形，/ GAH=Z HCG=30 ；.-.CG± AE,由旋转知，/EHF=90,1EK=HK= EF/EK=GK= EF,.HK=GK,.EK=HK/ FKG=2Z AEF EK=GK/ HKF=2/ HEF,由旋转知，/AHF=30,/ AHE=120 ,°由（1）知，BH=AH,.BH=EH,.AH=EH,/ AEH=30 ,°/ HKG=Z FKG+/ HKF=2/ AEF+2Z HEF=2Z AEH=60 ,°.HKG是等边三角形，.

22、GH=GK,EF=2GK=2GH即：EF=2GH【解析】【分析】（1 ）根据等腰直角三角形的性质得出AH=BH,然后由 SAS判断出 BHDAHC,根据全等三角形对应角相等得出答案；（2）方法1:如图1,根据旋转的性质得出HD=HF, /AHF=30根据角的和差得出 ZCHF=90+30 =120 ；由（1）有，AEH和 FHC都为等腰三角形，根据等腰三角形若顶角 相等则底角也相等得出 /GAH=/ HCG=30,根据三角形的内角和得出CG±AE,从而得出点C, H, G, A四点共圆，根据圆周角定理同弧所对的圆周角相等得出/CGH=Z CAH,根据对顶角相等得出 /AQC=/ GQ

23、H,从而得出AQA4GQH,根据全等三角形对应边成比例 得出A C ： H G = A Q ： G Q = 1 : sin 30 = 2 ,根据旋转的性质得出 EF=BD由（1）知， BD=AQ从而得出 EF=ACEF=BD 由 E F： H G = A C： G H = A Q： G Q = 1 ： sin 30 = 2 得出结论；方法2:如图2,取EF的中点K,连接GK, HK,根据旋转的性质得出HD=HF, / AHF=30根据角的和差得出 Z CHF=90+30°=120°,由（1）有，AEH和FHC都为等腰三角形，根据等 腰三角形若顶角相等则底角也相等得出/GAH

24、=/ HCG=30 ,根据三角形的内角和得出CG± AE,由旋转知，ZEHF=90°,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出EK=HK= EF, EK=GK= EF,从而彳#出 HK=GK,根据等边对等角及三角形的外角定理得出 /FKG=2Z AEF, / HKF=2/ HEF,由旋转知，ZAHF=30，故 / AHE=120 由（1 ）知，BH=AH ,根据等量代换得出 AH=EH ,根据等边对等角得出/ AEH=30° , / HKG=Z FKG+Z HKF=2/ AEF+2Z HEF=2/ AEH=60 ,°根据有一个角为60的等腰三角形是等

25、边三角形得出4HKG是等边三角形，根据等边三角形三边相等得出GH=GK,根据等量代换得出 EF=2GK=2GH9.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 y=ax2+ （a+3） x+3 （a<0）从左到右依次交x轴于A、B两点，交y轴于点C.DD（1）求点A、C的坐标;(2)如图1,点D在第一象限抛物线上，AD交y轴于点E,当的值；(3)如图2,在(2)的条件下，点 P在C、D之间的抛物线上， B、D之间的抛物线上，QF/ PC,交x轴于点F,连: / CFQ=2Z ABC,求 BQ 的长.【答案】(1)解：当x=0时，y=3, . .C (0, 3).当 y=0 时，ax2+(a+

26、3) x+3=0,J(ax+3) (x+1) =0,解得 xi=- u, x2=-1.,.a<0, 3-日 >0,.A (-1, 0)DE=3AE OB=4CE时，求 a连接 PC PD,点Q在点 妾 CF、 CB,当 PC=PD,(2)解：如图1 ,过点D作DM LAB于M .D图1.a=-(3)解：如图2,过点D作DT，y轴于点T,过点P作PG±y轴于点G,连接TP.D a=,，抛物线的解析式为 y=- - x2+ 区 x+3, D (3, 6) , DT=3, OT=6, CT=3=DT, 又,. PC=PD PT=PT.,.TCFATDP,/ CTP=/ DTP=

27、45 ,° TG=PG1 5设 p (t, t2+ t+3),0 3 .OG=- t2+ t+3 , PG=t, .TG=OT-OG=6-(- t2+ 叵 t+3)=上 t2; t+3 , 二 t2-二 t+3=t,解得 t=1 或 6, 点P在C、D之间， . .t=1 .过点 F作FK/ y轴交 BC于点 K,过点 Q作 QNx轴于点 N,则Z KFC=Z OCF, / KFB=Z CON=90 : . FQ/ PC,Z PCF+Z CFQ=180 ,° / PCF+Z PCG+Z OCF=180 ,°/ CFQ=Z PCG+Z OCF, / CFK吆 KFQ

28、玄 PCG吆 OCF, / KFQ=Z PCG . P (1, 5) , PG=1, CG=OG-OC=5-3=2PG 1 .tan/PCG=f；C JOC 31 . tanZ ABC=086 J , / PCG4 ABC,/ KFQ=Z ABC. / CFQ=2Z ABC,/ CFQ=2Z KFQ,/ KFQ=Z KFC4 OCF之 ABC,.OF=1.设 FN=m,贝U QN=2m, Q （ m+ 士，2m）, . Q在抛物线上，1353-二（m+ 1）2+ - x（ m+ 二,）+3=2m ,解得m= 一或m=- 一（舍去），.Q （4, 5）,. B （6, 0）,.bq=b、一 万一

29、f 县.【解析】【分析】（1）令x=0,求出y的值，得到 C点坐标；令y=0,求出x的值，根据 a<0得出A点坐标；（2）如图1,过点D作DM LAB于M.根据平行线分线段成比例定 理求出 OM=3,得至ij D点纵坐标为 12a+12.再求出 OE=3a+3,那么 CE=OC-OE=-3a根据OB=4CE得出-占=-12a,解方程求出 a=E ; （3）如图2,过点D作DT,y轴于点T,过点 P作PG± y轴于点 G,连接TP.利用SSSffi明4TC咤TDP,得出/ CTP土 DTP=45°,那么TG=PG设P （t,-t2+;t+3）,列出方程t2-2t+3=t

30、,解方程求得t=1或6,根据点P在 C、D之间，得到t=1 .过点F作FK/ y轴交BC于点K,过点Q作QNx轴于点N,根据 平行线的性质以及已知条件得出 / KFQ=Z PCG,进而证明/ KFQ=Z KFC=Z OCF=Z ABC,由tan Z OCF=工=tan/ABC= -，求出 OF=-.设 FN=m,则 QN=2m, Q （m+ 二，2m）,根据Q在抛物线上列出方程-二（m+ 2） 2+ 1： x（m+二）+3=2m ,解方程求出满足条件的m的值，彳#到Q点坐标，然后根据两点间的距离公式求出BQ.= 90°,那么我们称这样的三角形为推10.如果三角形的两个内角白与I#满足

31、，互余三角形(1)若 4ABC 是 准互余三角形 ”，Z 0> 90°, /A= 60°,则/B=(2)如图，在 RtABC 中，Z ACB= 90°, AC= 4, BC= 5,若 AD 是/BAC 的平分线，不难证明4ABD是准互余三角形试问在边 BC上是否存在点 E (异于点 D),使得 ABE也是 推互余三角形”？若存在，请求出 BE的长；若不存在，请说明理由.(3)如图,在四边形 ABCD 中，AB=7, CD= 12, BD± CD, Z ABD= 2/BCD,且 ABC 是准互余三角形求对角线AC的长.【答案】(1) 15°

32、(2)解：存在，/ B+/BAC=90 ,°.AD是/ BAC的平分线，Z BAC=2/ BAD,/ B+2/ BAD=90 ； .ABD是 准互余三角形”，又ABE也是 推互余三角形/ B+2/ BAE=90 ； / B+/BAE+/ EAC=90 ,° / EAC1 B,又ZC=Z C, .CAEACBA,即 CA2=CB CE, ,. AC=4, BC= 5, .CE=MH尸BE=BC-CE=5-=.(3)解：如图，WABCD沿BC翻折得到 ABCF, .CD=12, . CF=CD=12 / BCF=Z BCD/ CBD=Z CBF,又- BD± CD,

33、/ ABD=2/ BCD, / CBD+Z BCD=90 ,° .2 / CBD+2/ BCD=180 ,°即 / ABD+Z CBD+Z CBF=180 , A、B、F三点共线,在 RtAFC 中， / CAB+Z ACF=90 ,°即 / CAB+Z ACB+Z BCF=90 , / CAB+2Z ACBw 90 °.ABC是 推互余三角形”， .2 / CAB+Z ACB=90 ；/ CAB=Z BCF, / F=Z F, .FCBAFACFC FBFA 汽 ,即 FC2=FAFB,设 BF=x, .AB=7,FA=x+7,. x (x+7) =1

34、22,解得：xi=9, x2=-16 (舍去) .AF=7+9=16.在 RtAFC 中，AC=4户-产=20f - 1=2' =20.【解析】【解答】(1)解：.ABC是稚互余三角形”，ZO 90°, /A=60°, .2/ B+/A=90 ； .2 / B+60 =90 ;/ B=15 .°故答案为：15°【分析】(1)根据 准互余三角形”，的定义，结合题意得2/B+/A=90。，代入数值即可求出/B度数.(2)存在，根据直角三角形两内角互余和角平分线定义得/ B+2/BAD=90 ,根据准互余三角形”，定义即可得4ABD是 准互余三角形”；

35、根据4ABE是 准互余三角形”，以及直角 三角形两内角互余可得 / EAC=Z B,根据相似三角形判定 “AAT得 CA& ACBA<,再由相似CA CE16三角形性质得CBCA也此求出CE= 6 .从而得BE长.(3)如图，W BCD沿BC翻折得到4BCF根据翻折性质、直角三角形性质、推互余三FC FB角形”定义可得到FCNFAG再由相似三角形性质可得FA - Ft，设BF=x，代入数值即可求出x值，从而求出AF值，在RtAFC中，根据勾股定理即可求得AC长.3v - + b11.如图1 ,直线1:1 与x轴交于点A (4, 0),与y轴交于点B,点C是线段OA上一动点(0VA

36、CV/)，以点 A为圆心，AC长为半径作OA交x轴于另一点 D,交线段AB于点E,连结OE并延长交OA于点F.图Imz爵m留(1)求直线l的函数表达式和tan / BAO的值；(2)如图2,连结CE,当CE=EFM,求证：OCa4OEA;求点E的坐标；(3)当点C在线段OA上运动时，求 OEEF的最大值.【答案】(1)解：把A (4, 0)代入 7r ，得7 X4+b=0解得b=3,3直线l的函数表达式为1/ B (0,3), . AOXBO, OA=4, BO=3,tan / BAO=4.(2)证明：如图，连结 AF,.CE=EFZ CAE之 EAF, 又 AC=AE=AF / ACE玄 A

37、EF, / OCE4 OEA, 又 / COEN EOA,.-.OCEAOEA.解：如图，过点 E作EHx轴于点H, J . tanZ BAO=4, ,设 EH=3x, AH=4x, ，AE=AC=5x OH=4-4x, .OC=4-5x, .OCEOEA,OE 06 . OA = OE ,即 OE2=OA OC, (4-4x) 2+ (3x) 2=4 (4-5x),解得X1 =可，x2=0 (不合题意，舍去)囹 36 .E(成1).（3）解：如图，过点 A作AMLOF于点M,过点。作ONLAB于点N,. tan / BAO= 4, 3 cos/ BAO=, 上 ，AN=OAcos/ BAO=

38、 $ , 设 AC=AE=r,0 EN= -r,1 . ONXAB, AM LOF, I/ ONE=Z AME=90 ； EM=工 EF,又 / OEN=Z AEM,2 .OENAAEM, OB E.Ah =初 1 ,7即 OE- EF=AEEN, 16 .OEEF=2AEEN=2r （万-r）,328 ISA 16.OEEF=-2i2+ J r-2 （r- . ） 2+ 二芍（0vrv J ）,8幺当r= 5时，OEEF有最大值，最大值为 二% .【解析】【分析】（1）将点A坐标代入直线l解析式即可求出 b值从而彳#直线l的函数表 达式，根据锐角三角函数正切定义即可求得答案.（2）如图，连结

39、 AF,根据等腰三角形性质等边对等角可得两组对应角相等，根据相似三角形的判定即可得证如图，过点 E作EHI±x轴于点H,根据锐角三角函数正切值即可设EH=3x, AH=4x,从而得出AE、OH、OC,由中相似三角形的性质可得OE2=OAOC,代入数值即可得一个关于x的方程，解之即可求出 E点坐标.（3）如图，过点 A作AM, OF于点M,过点。作ONLAB于点N,根据锐角三角函数定义0E=E =1616可求得 AN=OAcos/BAO=，设AC=AE=r,U EN=乔| -r,根据相似三角形判定和性质可知舔3216鬼，即OEEF=-2i2+ 5 r= (0vrv 5 )，由二次函数的

40、性质即可求此最大值.12.如图，已知一次函数y= - 3 x+4的图象是直线1,设直线l分别与y轴、x轴交于点A、 B.膏用图(1)求线段AB的长度；(2)设点M在射线AB上，将点 M绕点A按逆时针方向旋转 90°到点N,以点N为圆 心，NA的长为半径作 ON.当。N与x轴相切时，求点 M的坐标；在的条件下，设直线 AN与x轴交于点C,与。N的另一个交点为 D,连接MD交x 轴于点E,直线m过点N分别与y轴、直线1交于点P、Q,当 APQ与 CDE相似时，求 点P的坐标.【答案】(1)解：当x=0时，y=4,A (0, 4),.OA=4,当 y=0 时，-J x+4=0, x=3,.

41、B (3, 0), .OB=3,由勾股定理得：AB=5(2)解：如图1,过N作NHy轴于H,过M作MEy轴于E,OB EM 3 tan Z OAB= OA AE 4,设 EM=3x, AE=4x,贝U AM=5x,.M (3x, -4x+4),由旋转得：AM=AN , /MAN=90 , / EAM+Z HAN=90 ； / EAM+Z AME=90 ;/ HAN=Z AME, / AHN=Z AEM=90 ；.-.ahnamea,.AH=EM=3x,.ON与x轴相切，设切点为 G,连接NG,则NG±x轴, .NG=OH, 则 5x=3x+4,2x=4,x=2, .M (6, -4);如图2,由知N (8, 10), . AN=DN, A (0, 4), .D (16, 16), 设直线 DM： y=kx+b, 把 D (16, 16)和 M (6, -4)代入得：, b=16:能=-i , -k=2