2012年湖北高考数学试卷+答案

1、2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北A卷）数学（理工类）一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的1.方程x2+6x+13=0的一个根是A -3+2i B 3+2i C -2 + 3i D 2 + 3i222x2+6x+13= x+3 +4=0x+3 =-4,x+3= 2i ,所以 x=-3 2i ,故选 A2.命题" CrQ,%3 Q ”的否定是3Ax0CrQ ,x0Q Bx。CrQ,x。3 Q3Cx° CrQ,x0Q d3x0CrQ,x0 q存在性命题的否定为“”改为”"后面结论加以否定，

2、故为3x° CrQ,x0Q ,选 D3.已知二次函数 y=f x的图像如图所示则它与x轴所围图形的面积为A. 2B. 4 C.53D. 2由图像可知，二次函数解析式为2f x =1-x1、1一一、，一 一,_19191 Q设面积为 S ,则 S= 1-x dx=2 1-x dx=2 x- x-10Q304 .已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 8- B. 3 C.10- D. 6此几何体为一个圆柱切去了一部分，此圆柱底面半径为 1 ,高为4 ,现在此几何体上方补上一个和此几何体完全一样的几何体 ，从而构成一个底面半径为 1,高为6的圆柱，这个圆柱的体积为 V=6 ,

3、要求几何体的体积为 圆柱体积的一半，为 3 ,故选B5 .设a Z,且0 a 13,若512012+a能被13整除，则a=.1 c2012201202012 C1201120112012 ,51+a= 52-1 +a=Cz01252-C201252+ L + -C201252 +C2012 +a，显然上式除了 a+1 外，其余各个因式都能被13整除，所以512012+a能被13整除，只需a=12,故选D6.设a,b,c,x,y,z是正数，且 aA. 1 B.41c.由柯西不等式知2,22a +b +c222x +y +z.22.22222ax+by+cz =400,而此时 a +b +c x

4、+y +z =400 恰好满足取等条件ab C222=k,a=kx,b=yk,c=zk代入至U a +b +c =10中得 y zk2 x2+y2+z2 =10,2 11a+b+cabc1k =-,k>0 k= 一，所以由合比te理得 = -=- =k = -42x+y+zxyz2故选C7.定义在(-8, 0) U(0, +8)上的函数 f x ,如果对于任意给定的等比数列anf an仍是等比数列，则称f x为“保等比数列函数”。现有定义在(-8, 0) u (0, +8)上的如下函数：f=x2； f x =2x； f x =J|x| ; f x =ln x。则其中是“保等比数列函数”的

5、 f x的序号为A. B. C.D.令等比数列an的公比为2 f an+1 q , f x =x ,f an2 an+12- an2anu=q2是等比数歹U;anf x =2x,222_222_ 一. a+b+ c+b +c =10,x +y +z =40,ax+by+cz=20 ,贝Ux+y+zf an+1 f anan+1A. 1-2 B.C.-D.设大圆的半径为2 ,则小圆半径 1扇形面积为S扇=-22=,而阴影部分的面积为4C 1 C 12-2一 -24 2在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率-22P= 1-,故选 Af 均O an+1一口 = "=2即+1-即

6、不一定是 常数，不一定是等比数列；f an2an是等比数列； f x =ln x ,举个特例，令 an=2n,f an =ln2n =ln 2n=nln2是等差数列不是等比数列，从而选C8.如图，在圆心角为直角的扇形 OAB中，分别以OA OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是9 .函数f X =xcosx2在区间0,4上的零点个数为.5 C当x=0时，f 0=0,当0<x 4,0<x2 16 ,而使余弦为零的角的弧度数为k +,k2Z ,令 k + 162贝U k=0,k=1,k=2,k=3,k=4时对应角分另1J为 一235793-,5-,L

7、,9-均满足条件，当k=5时,2222114-,>16不满足条件,2综上零点个数为6个，故选C10 .我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一,所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式d16、，,V。人们还用过一些类似的近似公式。根据.判断，下列近似公式中最精确的一个是A. dB.d 3 2V 5 C. d157300 w V D.d21V 11由球的体积公式43R得R=43V ,由此得d =26V ,经验证最精确的为 D3 3V 一 3二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答 5小题，每小题5分，共25分。

8、请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。 （一）必考题（11-14题）11.设 ABC的内角A, B, C,所对的边分别是a, b, c.若 a+b-c a+b+c =ab,贝U角C=22.a+b-c a+b+c =ab得 a+b -c =ab2222.22a+b-ca +b -c =-ab,所以 cosC=2ab1 八,C=120212.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序,输出的结果s=n = 1s=1； n=2,s=4 ,当 n=3时，输出 s=913.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数。如22, ,11,3443,94249 等。显然 2位

9、回文数有 9个:11,22,33 ，位回文数有 90 个：101,111,121 ,，191,202 ,，999。则（I ） 4位回文数有个;(n) 2n+1 (nCN+)位回文数有个。共有n个10,所以为9gl0n个AiA,虚轴两端点为B1E2,两焦点为F1F2。若以AA2为直4 位回文数有 1001,1111,1221,1331 ,，1991,2002,2112,2222,23322992, ,9009,9119，9999共 90 个2n+1 (nCN+)位回文数有 9 10 10 L 10,2214 .如图，双曲线-y=1 a>b>0的两顶点为 a2 b2径的圆内切于菱形F1

10、BF2B2,切点分别为A, B, C, D则（1）双曲线的离心率 e=;S（2）麦形F1BF2B2的面积Si与矩形ABCD的面积S2的比值 =S2(1)由已知 bc=a>/b2+c2b2c2=a2 b2+c22222c 224。22,4八c -a c =a 2c -a c -3a c +a =05+1 e=242- I 23+5e -3e +1=0,解得 e = 2bc(2)由已知得§=2bc,又直线B2F2的方程为y=- x-c ,而直线OA的万程为y= - x联立解得 cb、，一 bccc 2c c2c2"再/所以 q_b2c bc2S12bcb2+c22c2-a

11、22e2-1岳22S2=4 2 2 2 2，7=2 =2 2 =22 2 =22 =bc2b +c b +cS2 4 b c bc 2b c 2 c -a c 2 e -1 e 2y=b2c24b2+7?+7（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分。）15 .（选修4-1 :几何证明选讲）如图，点D在O。的弦AB上移动，AB=4,连接0口过点D作OD勺垂线交。于点C,则CD的最大值为 设圆的半径为r,由已知OC=r，又OD DC DC =、. r2-OD2 ,显然-4 ,所以CD有最大

12、值222 1 . _ 2OD最小时，CD有最大值，而 OD取最小值时，OD AB,此时OD =r - AB =r 416 .（选修4-4 :坐标系与参数方程）在直角坐标系xoy中，以原点。为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线x=t+1二一与曲线24y= t-1（t为参数）相较于 A, B来两点，则线段AB的中点的直角坐标为射线=一的直角坐标方程为 y=x x 04x=t+12的直角坐标方程为 y= y= t-1x-22联立方程解得x=1 x=4,所以线段AB的中点的直角坐标为y=1 y=45 52,2三、解答题：本大题共 6小题，共75分。17.（本小题满分12分）曰 rr已知向量

13、 a= cos x-sin x,sin x ,b =解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。-cosx-sinx,2>/3 cos x ，设函数 f xr r=a8+ x R的图像关于直线x=Tt对称，其中 ，为常数，且2,1(1)求函数f x的最小正周期;(2)若y=f (x)的图像经过点.一 ,、3,0 ,求函数f x在区间0 3 上的取值范围。45r rf x =ag)+ = sin x-cosx sin x+cos x +2、3sinxcos x+=sin2 x-cos2 x+23sinxcos x+ = . 3 sin 2 x-cos2 x+ =2sin2 x- +6r r(1

14、)函数 f x =a*+x R的图像关于直线x=Tt对称，所以2-=k + ,k Z = +- ,k z622 315 5 .261,1 , =5,所以 f x =2sin 5x +的周期为 = 2636553(2)若y=f (x)的图像经过点5一,0 ,则有 2sin - + =043 4 6=-J2 ,所以 f x =2sin - x- -J2 365，一 x1362sin 5x-363,-1,2 ,函数f x在区间0, 上的取值范围为5-1-亚2八218.(本小题满分12分)已知等差数列an前三项的和为-3,前三项的积为 8.(1)求等差数列 an的通项公式;(2)若82,83,81成等

15、比数列，求数列an的前n项的和。19.(本小题满分12分)如图1, /ACB=45 , BC=3过动点A作AD,BC,垂足D在线段BC上且异于点 B,连接AR 1&AD将ABM起， 使/ BDC=90 (如图2所示)，(1)当BD的长为多少时，三棱锥 A-BCD的体积最大；(2)当三棱锥A-BCD的体积最大时，设点E, M分别为棱BC, AC的中点，试在棱CD上确定一点N,使得EN BM 并求EN与平面BMN成角的大小20.(本小题满分12分)根据以往的经验，某工程施工期间的将数量X (单位：mm对工期的影响如下表:降水量XX<300300W X<700700<X&l

16、t;900X> 900工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300, 700, 900的概率分别为，求:(I)工期延误天数 Y的均值与方差；(n)在降水量 X至少是300的条件下，工期延误不超过 6天的概率。21 .(本小题满分13分)设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足 DM =m DA m>0,且m 1 .当点A在圆上运动时，记点 M的轨迹为曲线 C.(1)求曲线C的方程，判断曲线 C为何种圆锥曲线，并求焦点坐标；(2)过原点且斜率为k的直线交曲线 C于P,Q两点，其中P在第一象P它在y轴上的射影为点 N,直线QN交曲线C于另一点H