2020-2021备战中考数学综合题专题复习【相似】专题解析附详细答案

1、2020-2021备战中考数学综合题专题复习【相似】专题解析附详细答案一、相似1 .在 ABC 中，ZABC=90°.(1)如图1,分别过 A、C两点作经过点 B的直线的垂线，垂足分别为M、N,求证: ABMABCN;(2)如图 2, P 是边 BC上一点，/BAP=/ C, tan Z PAC= 5 ,求 tanC 的值；A AD 2(3)如图 3, D 是边 CA 延长线上一点， AE=AB, / DEB=90 , sinZBAC= , AC 直 接写出tan/CEB的值.【答案】(1)解：. AM ±MN, CN± MN ,/ AMB=Z BNC=90 ,&

2、#176;3 / BAM+Z ABM=90 ；4 / ABC=90 ；5 / ABM+Z CBN=90 ,°/ BAM=Z CBN,6 / AMB=Z NBC,7 .ABMABCN(2)解：如图 2,过点 P# PMXAPX ACT M, PN±AM 于 N.8 / BAP+Z 1 = / CPM+Z 1=90 ； / BAP=/CPM=/ C,9 .MP=MC10 tan/PAC=设 MN=2m,PN= m,根据勾股定理得，PM=；噌 =3逑=就tanC=BC(3)解：在RtA ABC 中，sin / BAC=北=4,过点A作AGBE于G,过点C作CH, BE交EB的延长

3、线于 H,郡11 / DEB=90 ,°12 .CH/ AG/ DE,GH AC 5跖加=归同（1）的方法得， AABGABCHBC AC AB二 二CH BH BC设 BG=4m, CH=3m, AG=4n, BH=3n,13 AB=AE, AG± BE, EG=BG=4m,14 .GH=BG+BH=4m+3n,融于3nZwn=2m,EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,Ch在 RtCEH 中，tan/BEC=* =/?【解析】 【分析】(1)根据垂直的定义得出 / AMB=/BNC=90,根据同角的余角相等得 ABMABCN;出/ BAM=

4、Z CBN,利用两个角对应相等的两个三角形相似得出:(2)过点P作PF±AP交AC于F,在RtA AFP中根据正切函数的定义，由PF 刈 2tan/PACF /41,同（1）的方法得，AB= a , PQ=2a, BP= b , FQ=2b （ a> 0 , CQ 虱 ABPPQF,故BP AP ”?网一所一 B ,设b>0),然后判断出AB'CQF,得，打 团从而表示出 CQ,进根据线段的和差表示出BC,再判断出 AB2 4CBA,得出AS 拼记一为再得出BC,从而列出方程，表示出BC,AB在RtA ABC中，根据正切函数的定义得出tanC的值；BC 3(3)在

5、 RtAABC中，利用正弦函数的定义得出：sin/BAC=、 3过点 A作 AGXBE于G,过点C作CHI± BE交EB的延长线于H,根据平行线分线段成比例定理得出如 二，同(1)的方法得，AB34BCH ,故)明 BC 3 ,设BG=4m, CH=3m , AG=4n , BH=3n ,根据等腰三角形的三线合一得出 EG=BG=4m ,故 GH=BG+BH=4m+3n,根据比例式列出方程，求解得出n与m 的关系，进而得出 EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m,在 RtCEH 中根据正切函数的定义得出 tan / BEC的值。2.如图，在平面直角坐标系x

6、Oy中，抛物线 y=ax2+bx+c (a>0)与x轴相交于点 A (-(2)联结AC BC,若4ABC的面积为6,求此抛物线的表达式；(3)在第(2)小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C,点F与点A关于点Q成中心对称，当4CGF为直角三角形时，求点 Q的坐标.【答案】(1)解：二.抛物线y=ax2+bx+c (a>0)的对称轴为直线x=1,而抛物线与x轴的一个交点 A的坐标为(-1,0)，抛物线与x轴的另一个交点 B的坐标为(3, 0)设抛物线解析式为 y=a (x+1) (x-3),即 y=ax2- 2ax- 3a,当 x=0 时，y= - 3a,.C (0, -

7、3a)(2)解：/A ( 1, 0) , B (3, 0) , C (0, - 3a),.AB=4, OC=3a, /Saacb= - AB?OC=6,.1 6a=6,解得 a=1,，抛物线解析式为y=x2 - 2x - 3.过点G作GH，x轴，垂足为点 H,如图,点G与点C,点F与点A关于点Q成中心对称, .QC=QG, QA=QF=m+1, QO=QH=m, OC=GH=3 .OF=2m+1, HF=1,当/ CGF=90 时, / QGH+Z FGH=90 ,° / QGH+Z GQH=90 ；/ GQH=Z HGF,3 RtA QGH RtAGFH, Gh Oh| 凡=Gh

8、,即/ J,解得 m=9 ,4 .Q的坐标为（9,0）;当/ CFG=90 时,5 / GFH+Z CFO=90 ,° / GFH+Z FGH=90 ,° / CFO=Z FGH,6 RtA GFH RtA FCO, Gh Fh | 3风=4，即%+工7 .Q的坐标为（4, 0）;Z GCF=90不存在，综上所述，点Q的坐标为（4, 0）或（9, 0）.【解析】【分析】（1）根据抛物线是轴对称图形和已知条件可求得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标，再用交点式可求得抛物线的解析式，然后根据抛物线与y轴交于点C可得 x=0,把x=0代入解析式即可求得点 C的坐标；（2）由（1）的

9、结论可求得 AB=4, OC=3a,根据三角形 ABC的面积=AB?OC=6可求得a的 值，则解析式可求解；（3）设点Q的坐标为（m, 0）.过点G作GH± x轴，垂足为点H,根据中心对称的性质可得 QC=QG, QA=QF=m+1, QO=QH=m , OC=GH=& 分两种情况讨论：当 / CGF=90时，由同角的余角相等可得 /GQH=/ HGF,于是根据有两个角相等的两个三角形相似可得的 Qh代入可求得m的值，则点 Q的坐标可求RtA QGHsRtGFH,则可得比例式 冏 第 解;当/CFG=90°时，同理可彳#另一个 Q坐标。3.如图，正方形 ABCD等腰

10、RtBPQ的顶点P在对角线AC上（点P与A、C不重合）， QP与BC交于E, QP延长线与 AD交于点F,连接CQ.(1) 求证：AP=CQ 求证：PA2=AF?AD;(2)若 AP： PC=1: 3,求 tan/CBQ.【答案】(1)证明：二.四边形 ABCD是正方形，AB=CB, Z ABC=90 , / ABP+/ PBC=90,° . BPQ是等腰直角三角形，BP=BQ, / PBQ=90 ； . . / PBC+/CBQ=90 ° ，/ABP=/ CBQ,AABPACBQ, . AP=CQ;二.四边形 ABCD是正方形，Z DAC=Z BAC=Z ACB=45&#

11、176;, / PQB=45 ； C CEP4 QEB,/ CBQ=Z CPQ由得ABPCBQ, /ABP=/CBQ / CPQ=Z APF,/ APF=Z ABP, APM ABP,AP AF 。一二 r $尸二.M，= 看尸. AD;AB AP(本题也可以连接 PD,证APFsADP)(2)证明：由 得 4AB国 ACRQ,，/BCQ=/ BAC=45 , / ACB=45,°,. / PCQ=45+45 =90 .tan / CPQCC石,由得AP=CQ,CQ AP又 AP:PC=1:3,tan / CPQ=1'F由 得/CBQ=/CPQtan / CBQ=tanZ C

12、PQ=.【解析】【分析】（1 ）利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质易证 ABPACBQ,可得 AP=CQ;利用正方形的性质可证得/ CBQ=/CPQ,再由 ABPCBQ可证得/APF=Z ABP,从而证出 APM4ABP,由相似三角形的性质得证；(2)由 ABP 4CBQ 可得 / BCQ=Z BAC=45 ,可得 Z PCQ=45+45° =90°,再由三角函数可 CC11得 tan Z CPQ=乙 由 AP:PC=1:3, AP=CQ 可得 tanZCPQ=',再由 / CBQ=/ CPQ 可求出答 案.4 .如图，在等腰 4ABC中，AB=BC以BC为直径

13、的OO与AC相交于点 D,过点 D作 DE，AB交CB延长线于点E,垂足为点F.若。O的半径R=5, tanC= 士，求EF的长.理由如下：如图，连接OD, BD,(2).AB是。的直径,.AB=BC, .1.AD=DC.切线.，/ADB=/ 90 °, .1.BDXAC. OC=OB, .1.OD/ BA, - DE± BC, . . DEL OD,，直线 DE 是。的。凝一燃=3,DE± OD, DHXOE,BE .BF/OD,ABFEAODE, .如(2)解：过 D 作 DHL BC 于 H, OO 的半径 R=5, tanC=', . BC=10,

14、设 BD=k,CD ' fflCD=2k, .-.BC= 值 k=10, 1. k=2 3 , B BD=2 X' 1 , CD=4 ； . . DH= 坑、 =4, . OH=25 回OD2=OH?OE,OE= 3 , BE= 3 , . DEX AB,16HF 3B£ 52%，即,.-.BF=2, EF=V殷 一 B户【解析】【分析】（1） DE是。的切线，理由如下：如图，连接 OD, BD,根据直径所对 的圆周角的直角得出 /ADB=/ 90°,根据等腰三角形的三线合一得出AD=DC,连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线，又三角形的中位线平行于第三

15、边，得出OD/ BA,又DE± BC,根据平行线的性质得出 DEL OD,从而得出结论：直线 DE是。的切线；I（2）过D作DHLBC于H,根据正切函数的定义，由 tanC=_ ,可以设BD=k, CD=2k,根据 勾股定理表示出 BC,再卞!据BC=1Q列出方程，求解得出 k的值，进而得出 CD,BD的长， 根据面积法即可算出 DH的长，再根据勾股定理算出OH的长，然后判断出 AODH与ODE相似，根据相似三角形对应边成比例即可得出OD2=OH?OE,根据等积式算出 OE,的长，从而根据线段的和差算出BE的长，再判断出 BFaODE,根据相似三角形对应边成比例BF Bb得出|如,根

16、据比例式即可算出 BF,最后根据勾月定理算出 FE的长。5 .如图，已知：在 RtABC中，斜边 AB=10, sinA=，点P为边AB上一动点（不与 A, B重合），PQ平分/CPB交边BC于点Q, QMLAB于M, QNLCP于N.(2)若四边形PMQN为菱形，求CQ;(3)探究：AP为何值时，四边形 PMQN与4BPQ的面积相等?4【答案】(1)解：. AB=10, sinA=营，BC=8,则AC=山戌芯=6,1 PA=PCZ PAC=/ PCA, PQ 平分 / CPB/ BPC=2Z BPQ=2/ A,/ BPQ=Z A,2 .PQ/ AC,.PQBC,又 PQ平分 / CPB,/

17、PCQ=/ PBQ,，PB=PC.P是AB的中点，1p PQ= AC=3(2)解：二四边形PMQN为菱形,MQ / PC,/ APC=90 ；& K工 X ABX CP= AC¥ BC则 PC=4.8,由勾股定理得，PB=6.4, MQ / PC,(3)解：PQ平分/CPB, QMXAB, QNXCP, .QM=QN, PM=PN,Sapmq=Sapnq ,四边形PMQN与ABPQ的面积相等，.PB=2PM,.QM是线段PB的垂直平分线，/ B=ZBPQ,/ B=/CPQ.CPCACBP, a a pc辰=5=而，CP BQ =& §.CP=4 姆=4 X

18、=5,，BM=.AP=AB- PB=AB- 2BM=【解析】【分析】（1 ）当AP=CP时，由锐角三角函数可知AC=6, BC=8,因为 PQ平分/CPB,所以PQ/AC,可知PB=PC所以点P是AB的中点，所以 PQ是4ABC的中位线, PQ =3;可得（2）当四边形 PMQN为菱形时，因为 /APC=%'，所以四边形 PMQN为正方形,PB 8M 傀PC=4.8, PB=3.6,因为 MQ/PC ,所以 FC 顺阴，可得 CPQsCBP,对应边成比例，可得25QC - F 广8 ,所以丸因为AP=AB-2BM,所以当 QM 垂直平分 PB时，四边形 PMQN的面积与 BPQ的面积相

19、等，AP=.J6.如图，已知二次函数y=ax2+ 士 x+c的图象与y轴交于点A （0, 4）,与x轴交于点B、C,点C坐标为（8, 0）,连接AR AC.Bi(1)(2)判断 ABC的形状，并说明理由;请直接写出二次函数y=ax2+ x+c的表达式；(3)若点N在x轴上运动，当以点 A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；（4）若点N在线段BC上运动（不与点 B、C重合），过点 N作NM / AC,交AB于点M,当4AMN面积最大时，求此时点 N的坐标.【答案】（1）解：. A （0, 4） , ，c=4,把点 C坐标（8, 0）代入解析式，得：a=-，二次函数表达

20、式为(2)解：令y=0,则解得，x1=8, x2="-2" , .点B的坐标为(-2, 0),由已知可得，在 RtA AOB 中,AB-2=BO2+AO2=22+42=20 ,在 RtA AOC 中 AC-2=AO2+CC2=42+82=80 ,又 . BC=OB+OC=2+8=10 .在4ABC中 AB-2+ AC-2=20+80=102=BC2 , . 4ABC是直角三 角形；(3)解：由勾股定理先求出AC, AC=J产-网 &万，在x轴负半轴，当 AC=AN时，NO=CO=8,.此时 N (-8, 0);在 x 轴负半轴，当 AC=NC 时，NC=AC=/号

21、, ,. CO=8, NO= A% -8,.此时 N (8-入万，0);在x轴正半轴，当 AN=CN时，设 CN=x,则 AN=x, ON=8-x,在 RtA AON 中，斟 +出-3： =.，解得：x=5, . ON=3, 此时N (3, 0);在x轴正半轴，当 AC=NC时，AC=NC=./1 , . ON=入0+ 8,此时 N (人万+ 8,0);综上所述：满足条件的N点坐标是(-8,0)、(8-八那，0)、(3,0)、(8+ A0 0);(4)解：设点 N的坐标为(n, 0),则BN=n+2,过M点作MDx轴于点D,雄WM!)BA .MD/OA, . BMDsbao,3* 0A, /M

22、N /AC,. SA贸,.OABC,J 1. OA=4 , BC=10 , BN=n+2 , MD= 5( n+2 ) ,Saamn= Saabn- Sabmn =/1112-BN L QA -BNW -X(n * 2) X 4-二X:伪子如 X (n * 2)9(J少jfT(n - 3A -1+5,- d <0,，n=3时，S有最大值，当AAMN面积最大时，N点坐标 为(3, 0).【解析】【分析】(1)用待定系数法可求二次函数的解析式；(2)因为抛物线交 x轴于 曰C两点，令y=0,解关于x的一元二次方程可得点B的坐标，然后计算 AB、BC AC的长，用勾股定理的逆定理即可判断；(3

23、)由(2)可知AC的长，由题意可知有 4种情况：在x轴负半轴，当 AC=AN叱 在x轴负半轴，当 AC=NC时； 在x轴正半轴，当 AN=CN时； 在x轴正半轴， 当AC=NC时；结合已知条件易求解； BMDsBAO,于是有比(4)设点N的坐标为(n, 0),则BN=n+2,过M点作MDx轴于点D,由平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似可得例式阅 0A ,根据平行线分线段成比例定理可得BA BC ,所以，M 将已知线段代S»A AMN= S»A ABN- SABMN =入比例式可将 MD用含n的代数式表示出来，根据三角形的构成可得一？ BN?OA-_

24、BN?MD,将BN、MD代入可得关于n的二次函数，配成顶点式根据二次函数的 性质即可求解。7 .如图(1),已知点 G在正方形 ABCD的对角线 AC上，GE± BC,垂足为点 巳 GU CD,垂足为点F.H DBC图AG： BE的值为(00< a< 45。)，如图(2)所示，试探究线段图置(1)证明与推断： 求证：四边形 CEGF是正方形； 推断： (2)探究与证明：将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转“角AG与BE之间的数量关系，并说明理由：(3)拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当 B, E, F三点在一条直线上时，如图(3)所示，延长 CG交 AD 于点 H

25、.若 AG=6, GH=2 把,则 BC=:【答案】(1)证明：二四边形ABCD是正方形，/ BCD=90 ； / BCA=45 ；-. GE± BC GFXCD,/ CEG=Z CFG=Z ECF=90,°，四边形 CEGF是矩形，/CGE=Z ECG=45,°EG=EC，四边形CEGF是正方形(2)解：连接CG,ADBC由旋转性质知 / BCE=Z ACG=, 在 RtA CEG和 RtA CBA 中,Cb 的CL =cos45 =° 2、t>i =cos45 =° 2 ,C6 CA 2=赤 ,一 ,.AC8 4BCE线段AG与BE之

26、间的数量关系为 AG= V- BE(3)为飞【解析】【解答】(1)由 知四边形CEGF是正方形,/CEG4 B=90 ,° /ECG=45,°B、E、F三点共线,/ BEC=135, ° .ACGABCE,/ AGC=Z BEC=135 ,/ AGH=Z CAH=45 ； / CHA=Z AHG, .AHGsCHA,. .云一新F,设 BC=CD=AD=a 贝U AC= . a,AG Ch 6为口则由AC .他得却，.AH= ”,1 皿则 DH=AD- AH= a, CH十戒=3 a,I2-d63AGAh窗豆ylbi Aa由 4f a得,解得：a=3 / ,即 B

27、C=3 xfl,【分析】(1)根据正方形的性质得出 /BCD=90, / BCA=45 ,根据垂直的定义及等量 代换得出/CEG=Z CFG=Z ECF=90,根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形CEGF是矩形，根据三角形的内角和得出/CGE=Z ECG=45,根据等角对等边得出EG=EC根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得出四边形CEGF是正方形； 根据正方形的性质得出GE/ /CD,根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出GE/ AB,根据平行线分线段成比例定理得出 GC： EC= AG： BE,根据等腰直角三角形的边之间的关系得出GC： EC=T ,从而得出答案；(2 )连接CG,

28、由旋转性质知/ BCEW ACG=,根据余弦函数的定义得出CG CA-' v/jCE CB ，从而判断出CE陋-' - -CG2CA ACGsBCE,根据相似三角形对应边的比等于相似比即可得出结论线段AG与BE之间的数量关系为AG= . BE ;(3 )根据/CEF=45,点B、E、F三点共线，由邻补角定义得出/ BEC=135 ,根据 ACGABCE , 得 出 /AGC=/ BEC=135 °, 故 / AGH=/ CAH=45° , 然后 判断出 AHGACHA,根据相似三角形对应边成比例得出AG： AC= GH ： AH = AH ： CH,设BC=

29、CD=AD=a则AC=- a,根据比例式得出关于 AH的方程，求解 AH的值，根据 DH=AD -AH表示出DH,根据勾股定理表示出 CH,根据前面的比仞式得出关于a的方程，求解得出a的值，从而得出 BC的值。8.如图 所示，在 ABC中，点。是AC上一点，过点 。的直线与AB, BC的延长线分别 相交于点M, N.恺1(1)【问题引入】若点。是AC的中点，酬 3 ,求酬的值；温馨提示：过点 A作MN的平行线交BN的延长线于点 G.(2)【探索研究】若点。是AC上任意一点(不与A, C重合)，求证： 物.忆 0A ；(3)【拓展应用】如图所示，点P是4ABC内任意一点，射线 AP, BP, C

30、P分别交BC, AC, AB于点D,AF 1 BD I AhE, F若"J ,、求CE的值.DES I【答案】(1)解：过点 A作MN的平行线交 BN的延长线于点G. . ON/ AG, .COCNNGNG4/。A做.O 是 AC 的中点，. AO= CO,. NG=CN. . MN / AG, 明题，MG AM 1而一砺一 ？.CO CN AM 助 CC NG BN CN(2)解：证明：由 可知，拓法，,拓 一前,应玩=1(3)解：在4ABD中，点P是AD上一点，过点 P的直线与AB, BD的延长线分别相交于 AF BC DP点F, C.由(2)可得"7 间 '.

31、在4ACD中，过点P的直线与AC, CD的延长线分别相 交于点E, B.由(2)可得铲 BC DPCN NG 期SA用F班进行求解，用也co Gi 附 (2)由明.町第时可知：物 凹 (3)由(2)可知，在4ABD中有 跖 tAF BC DP AE CB 从而BF CD用 EC BDBN CONG BN CNNC 由BN NC NG,P DPAE CB DP二 J.二中刊,在AACD中有FBD PA,班AEAF BCBDAFBC*, 周，因此可得： ECBF tnCBBFCD6BG Ab【解析】 【分析】(1)作AG/ MN交BN延长线于点 G,证AB3 4MBN得倒一 遇,NG AkNG A

32、C即BA Mb，同理可证ACGOCN得 CX 空，结合 AO=CQ得 NG=CN,从而由BF CD PA"BFBCCDDP PA AEECCBBD那PAAE .AFBC&DAFBC 1 EC BFCDCB BFCD 69.在ABC 中，ZACB= 90°, AB= 25, BC= 15.(1)如图1,折叠4ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交 AC、AB分别于Q、H,若Saabc= 9S>adhq , 求 HQ 的长.(2)如图2,折叠4ABC使点A落在BC边上的点M处，折痕交 AC、AB分别于E、F.若FM/AC,求证：四边形 AEMF是菱形;使得4CM

33、P和4HQP相似？若存在，求(3)在(1)(2)的条件下，线段 CQ上是否存在点P,出PQ的长；若不存在，请说明理由.【答案】(1)解：如图1中,在4ABC中，. /AC- 90°, AB= 25, BC= 15,AC=、上学/5 =20,设 HQ=x , HQ / BC ,AQ= x ,/ Saabc= 9&dhq ,1I JPH - X 20 冷 9乐- MXXx ,，x= 5或-5 （舍弃），.HQ=5,故答案为5.(2)解：如图2中,EC _W 5a：由翻折不变性可知： AE= EM , AF=FM , . FM / AC ,/ AEF= / MFE ,/ AEF=

34、/ AFE ,.AE= AF ,.AE=AF= MF= ME ,四边形AEMF是菱形.FB= 5m ,设 AE= EM=FM = AF=4m ,则 BM=3m4m+5m= 25,106.AE= EM =.EC= 20-.CM =2G. QG=5, AQ= 3 ,16.QC=',设 PQ=x阴 阳当网时，HQPMCP,16解得：x=10或3 ,16经检验：x= 10或3是分式方程的解，且正确，综上所，满足条件长 QP的值为7或10或J .【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出 AC,设HQ=x,根据Saabc=9Sa dhq ,构建方程 即可解决问题；（2）想办法证明四边相等即可解决问题

35、；（ 3）设AE=EM=FM=AF=4m,则 BM=3m , FB=5m,构建方程求出 m的值，分两种情形分别求解即可解决问题 10.如图1,在4ABC中，在 BC边上取一点 P,在 AC边上取一点 D,连 AP、PD,如果 APD是等腰三角形且 4ABP与4CDP相似，我们称 4APD是AC边上的 等腰邻相似三角 形”.p(1)如图2,在ABC中AB=AC/B=50°, 4APD是AB边上的 等腰邻相似三角形 ”，且AD=DP, / PAC4 BPD,贝U / PAC的度数是 ;(2)如图3,在 ABC中，/A=2/C,在 AC边上至少存在一个 等腰邻相似 4APD ,请画 出一个

36、AC边上的 等腰邻相似4APD ,并说明理由；(3)如图4,在RtA ABC中AB=AC=2 4APD是AB边上的等腰邻相似三角形”，请写出 AD长度的所有可能值.【答案】(1) 30°(2)解：如图3中，4APD是AC边上的 等腰邻相似三角形”，理由：作 /BAC的平分线 AP交BC于P,作PD/ AB交AC于D,/ BAP=Z PAD=Z DPA, / CPD=Z B, DP=DA, Z CAB=2/ C,/ BAP =/ C,.APD是等腰三角形且 APB与CDP相似, APD是AC边上的 等腰邻相似三角形”(3)解：如图 3'中，当 DA=DP时，设 Z APD=Z

37、DAP=x,若 / BPD=Z CAP=90 -x, / BDP=Z CPA=2x .90 -x+2x+x=180 ,°1. x=45 ,°.三角形都是等腰直角三角形，易知AD=1;若 / PDB=Z CAP 时，设 / APD=Z DAP=x,得至ij / PDB=/CAP=2x,易知 x=30°,设 AD=a,则 AP= ?.：?.BPDACP/BD PD 忸-我 用 ,<3AC 用，即2,6 - 243解得''3,如图4中，当PA=PD时，易知/PDB是钝角，/CAP是锐角,/ PDB=Z CPA 则 BPg CPA设 AD=a,则 B

38、D=2-a,川0 ro - J , AC=2,Y - d)=解得a=仅，w|如图 5 中，当 AP=AD 时，设 /APD=/ ADP=x,贝U /DAP=180-2x,易知 / PDB 为钝角, / CAP为锐角，U/ PDB=Z CPA=180-x, / CAP=90-Z DAP=90 -° (180 -2x) =2x-90 , 在 APC 中，2x-90 °+180°-x+45=180°,解得x=45 ,不可能成立.6 -综上所述.AD的长为1或 3 或/ -二%三【解析】【解答】(1)解：如图2中， . AB=AC, DA=DP,BB= ZC,

39、D DAP= / DPA, / PAC= / BPD,/ APC= / BDP= / DAP+ / DPA / APC= ZB+ Z BAP,/ B= ZPAB= 50 °, / BAC= 180 ° -50 =-50 ；/ PAC= 30 °故答案为30°【分析】（1）根据等边对等角和三角形外角的性质证明/ B= / PAB即可解决问题.（2）如图3中，作/ BAC的平分线 AP交BC于P,彳PD/ AB交AC于D,根据平行线的性质和 角平分线定义可得 / BAP=Z PAD=Z DPA / CPD之B,结合/ A=2/ C可证 APD是等腰三 角形且

40、4APB与4CDP相似，即可解决问题.（3）分三种情形讨论：如图3'中，当DA =DP时；如图4中，当PA= PD时；如图5中，当AP= AD时；分别求解即可解决问题.11 .已知，如图，矩形 ABCD中，AD=2, AB= 3,点E, F分别在边 AB, BC上，且 BF=（3）当？DEFG为矩形时，连接 BG,交EF, CD于点P, Q,求BP: QG的值.【答案】（1）解：如图1所示：A凸图1连接DF, 四边形ABCD是矩形，/ C= 90 °, AD= BC, AB= DC, . BF= FQ AD= 2; . FC= 1, .AB=3; .-.DC=3,在RtDCF

41、中，由勾股定理得，.DF=帼jDC? uN 一 一 ，尻.故？DEFG对角线DF的长、灰(2)解：如图2所示:国2作点F关直线AB的对称点M,连接DM交AB于点N, 连接NF, ME,点E在AB上是一个动点， 当点E不与点N重合时点M、E、D可构成一个三角形， ，ME+DE> MD, 当点E与点N重合时点M、E (N)、D在同一条直线上, .ME+DE= MD由和DE+EF的值最小时就是点 E与点N重合时，.MB=BF,MB= 1 , .MC=3,又 DC= 3, MCD是等腰直角三角形，MD="底+必=济=人， .NF+DF= MD=2，. .l?DEFg 2 (NF+DF)

42、 =4 .(3)解： 当AE= 1, BE= 2时，过点 B作BH, EF, 如图3 (甲)所示：D3 F （ 圉3（甲） .?DEFG为矩形,/ A= / ABF= 90 °,又 BF= 1, AD=2, 在4ADE和4BEF中有,AD = BE仆='AE =HF .ADEZBEF中(SAS , .DE=EF,.矩形DEFG是正方形；在RtEBF中，由勾股定理得：EF= k/u宙 +=+ F 、'%，BE BF 2X12,，BH不又 ABEF AFHB,pH 叫, BE 一加，2厂BH，BF JHF= BE 25 ,在 BPH和4GPF中有：/BPH = 4PF&#

43、39;BHP = GFP.BPhMAGPF (AA),又 AB/ BC, EF/ DG,/ EBP= / DQG, / EPB= / DGQ,.EBPADQG (AA), 当AE= 2, BE= 1时，过点 G作GH, DC,.?DEFG为矩形,/ A= / EBB 90 °, ，AD= AE= 2, BE= BF=1, 在RtMDE和RtEFB中,由勾股定理得:ED= 十 月卢 + 金求,EF=BE?科丽工:二产+二 W ,/ ADE= 45 °,又四边形DEFG是矩形，EF= DG, / EDG= 90 °,.DG= I1? , / HDG= 45 °

44、;, DHG是等腰直角三角形，,-.dh=hg= 1,在4HGQ和4BCQ中有，小鹤二4CQ .HGQBCQ (AA),.HC=HQ+CQ= 2,二.HQ= '又 DQ= DH+HQ, 2 5DQ= 1+'=3 ,1. AB/ DC, EF/ DG, / EBP / DQG, / EPB= / DGQ,.EBFADQG (AA),圉3（乙）6 J综合所述，BP: QG的值为E或5 .【解析】【分析】（1） ?DEFG对角线 DF的长就是 RtDCF的斜边的长，由勾股定理求AB解；（2） ?DEFG周长的最小值就是求邻边 2 （DE+EF最小值，DE+EF的最小值就是以 为对称轴，作点 F的对称点 M,连接DM交AB于点N,点E与N点重合时即 DE+EF=DM 时有最小值，在 RtA DMC中由勾股定理求 DM的长；（3） ?DEFG为矩形时有两种情况，一是一般矩形，二是正方形，分类用全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形相似的判定与性质