图形的运动内容分析与教学建议

1、图形的运动内容分析与教学建议运动是世间万物的基本特征，是物质存在的基本形式。图形的运动在义务教 育数学课程中最基本的形式有两种： 一是形状和大小不变， 仅仅位置发生变化 （合 同运动）；二是形状不变而大小变化（相似运动） 。数学家 . 莫肯说过：“数学的运动能量不是推理，而是联想与变换。 ”通过感知 和初步学习图形的运动，不仅有助于学生从运动变化的角度去认识事物，去了解 图形之间的关系，从而发展学生的空间观念与几何直观，还有利于学生体验学习 “图形与几何”的乐趣，积累几何活动经验，增强学生对数学的好奇心，培养学 生的创新精神。几何图形的运动变换是一个复杂的课题。在这一讲，我们主要讨论有关图形

2、的运动内容与教学建议。问题 1 为什么要在小学阶段增加“图形的运动”这个内容？ 修订后的标准在“图形与几何”领域仍然保留了“平移，旋转，放大与 缩小这些内容” ，只是把“图形与变换”改为“图形的运动” 。为什么要在小学阶 段新增这个内容，学习它的价值呢？回答这个问题，我们不妨从学生和数学教育发展的历史视角切入讨论。1、 从学生角度来看 现实生活中存在着大量的图形的变换的现象，学生有丰富的生活经验，例如， 电梯、地铁列车在平行移动；钟面指针、自行车轮、电风扇叶片在旋转运动；许 多年画、卡通动物、建筑物的形状具有对称性。这些现象为儿童学习图形的变换 提供了丰富多彩的现实背景。我们希望提供给学生一种

3、数学的眼光，去认识和把 握这些现象，通过图形的运动探索发现并确认图形的一些性质，有助于学生发展几何直观能力和空间观念，有利于学生提高研究图形性质的兴趣、体会研究图形 性质可以有不同的方法。2、 从数学发展的角度来看1872 年，德国大数学家克莱茵发表“爱乐兰根纲领”的演说，这个里程碑式 的论断，改变了近两千年来人们用静止的观点研究几何的传统方法。与静态地研 究图形与几何的性质不同，图形的变换是从运动变化的角度去探索和认识图形与 几何的性质，哲学与设计图案，是发展学生空间观念和思维能力的重要内容。问题 2 “图形的运动”这一部分的要求是什么？有什么变化？ 按照标准的要求，小学 16 年级图形的运

4、动主要涉及平移、旋转、对称 及简单的图形相似这样一些内容。在第一、二学段中图形的运动主要是合同运动， 包括图形的平移、旋转和轴对称。第一学段中，学生借助日常生活中对图形运动现象的观察与直观感受，了解 平移、旋转和轴对称；并认识两个图形具有平移或轴对称的关系。提供大量的丰 富的图形运动现象，引导学生充分地观察、想象，运用日常生活中已经积累的有 关经验，归纳、发现各种运动的特点，是达成这个课程目标的有效途径。新课标提倡我们组织学生分组悼念日常生活中常见的图形（如新课标中案例 21）生活中的轴对称图形。引导学生观察它们是否有对称轴，若有对称轴，数出或说出有几条对称轴， 尝试画出它们的对称轴。在课堂中

5、展示、交流大家的发现，并尝试设计出一些轴 对称图形。 说明 这个活动可以鼓励学生主动观察，设法收集（如可以使用数码相机或 现场素描等）轴对称图形。学生可以结合自己的生活环境发现、找出他们熟悉的 图形对象中隐藏的对称轴，并在交流过程中丰富自己的经验。在交流大家收集到 的图形的基础上，教师进一步鼓励学生自己设计轴对称图形，并交流自己设计的 图形所表达的意思。第二学段中，图形的运动的课程内容及要求主要有以下几个方面：（ 1） 按要求在方格纸上画出一个图形经过平移或旋转后所得的图形，会补 全一个轴对称图形图形的运动以小学生的认识水平来说，是比较抽象的，有一定的难度。把抽 象的空间意识转化为具体的、容易

6、操作的教与学的过程，方格纸起到了很好的作 用，在第一、二学段，方格纸是学生认识图形运动的平台，利用它可以准确地描 述图形位置、定量刻画图形的运动，这样的描述和刻画又能加深学生对图形运动 的认识和理解。标准只要求图形沿水平或竖直方向平移，图形绕着一点旋转90。如在方格纸上认识图形的平移与旋转， 能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移， 会在方格纸上将简单图形旋转 90。标准不要求图形沿其他方向平移或绕着一 点旋转任意角度。方格纸能帮助学生更准确地认识和理解图形基本特征，能更好 地使学生认识和描述空间图形的变换过程，可以有效地促进学生对空间概念的建 立。（2）研究图形的相似运动，即将图形放大或

7、缩小第二学段要求 “能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小” ，这里的“放 大或缩小”不是严格的相似，主要是直观感知，即放大或缩小后图形与原来的图 形形状相同而大小不同。这将为第三学段研究图形的相似运动和位似运动奠定基3）综合运用图形的运动进行图案的欣赏与设计学生对图形运动的特点的了解、能够在方格纸上按要求画出运动后的图形是 图案的欣赏和设计的基础。图案的欣赏与设计为学生用数学的眼光看世界、看生 活提供了机会，使学生进一步感受数学的美、数学的价值。欣赏或设计一个图案时，不同的学生会有不同的感受、不同的解释、不同的 想象，只要是合理的都应予以肯定，并进行交流与分享；但应要求学生用自己的 语言

8、表达图案中的图形运动关系，从而更好地体会图形的运动在图案欣赏和设计 中的作用。如新课标中例 35图画还原。打乱由几块积木或者几幅图画构成的平面画面，请学生还原并利用平移和旋 转记录还原步骤。 说明 在这个案例中，学生通过实际操作进一步理解平移和旋转，不仅能增 加问题的趣味性，还可以让学生感悟几何运动也是可以记录的，体验选取最佳方 案的过程。教学设计时，可关注如下要点：（ 1） 完成还原积木的任务一定要从简单到复杂，如图，先打乱四块积木中的 下面两块，让学生尝试思考的过程。学生有了一定经验后，可以打乱三块或四块 积木，让学生继续尝试。（ 2） 可以分小组进行。为了记录准确，事先要确定每一个步骤的

9、代表符号。（ 3） 小组活动时，可以先讨论，确定一个大概的还原路线，然后操作验证。（ 4） 小组成员共同操作，进行比较，验证确定的路线。标准修订前后具体目标有一些具体变化总体上看，修订后的课标在这部分降低了难度，更加强调观察与操作，积累学生数学活动经验。过程中大量的操作性活动，有利于学生积累数学活动经验， 教学中应当予以充分的重视。这些画图和设计图案的活动，既可以加深学生对图 形对称性的理解，又能激发他们的学习兴趣，感悟数学的美及其应用价值。问题 3 什么是平移、旋转和轴对称？对于这部分内容，小学生通过操作活动能直观感受到，平移就是沿着一定的 方向移动了一定的距离；旋转就是绕一个点转动一定的角

10、度。在图形的变换中有一个非常重要的变换，就是全等变换，或者叫合同变换。 如果图形经过变换后与原来的图形是重合的，也就是图形的形状、大小不发生变 化，那么这个图形的变换就叫全等变换，它本质上是两点之间的距离不发生变化， 换句话说在原来的图形中， 任意两点的距离假设是 L,经过变换后的两点之间的距 离仍是L，所以全等变换是一个保距变换，距离不变，图形的形状、大小不变。全等变换的几种方式。可以直观地想一想，两个图形是完全一样的，要由一 个图形运动得到另一个图形，可以通过怎样的运动。首先可以是平移，平移到一 定位置上，或者说对于三角形有一个顶点能够重合，这时候无非有两种情况：一 种情况是两个三角形的三

11、个顶点的顺序是一致的，这时需要经过反射（番转两个 图形就重合了。上面的变换就是我们所说的平移、旋转变换和反射变换。它们是 三种基本的全等变换。反射变换有的教师把它叫轴对称变换，实际一个图形经过 反射变换后得到另一个图形，这两个图形是成轴对称的。具体的什么叫平移，什么叫旋转，什么叫反射，我们不给出数学上严格的定义，而是直观地给予解释，并指出这些变换的基本要素。如上图，如果原图形中任意一个点到新图形中相对应点的边线方向相同，长度也相等，这样的全等变换称为平移变换，简称平移。也就是说，平移的基本特 征是，图形平移前后“每一点与它对应点之间的边线互相平行并且相等” 。显然， 确定平移变换需要两个要素：

12、一是方向，二是距离。如上图，旋转的基本特征是图形旋转前后“对应点到旋转中心的距离相等， 并且各组对应点与旋转中心边线的夹角都等于旋转的角度” 。显然，确定旋转变换 需要两个要素：一是旋转中心，二是旋转角度（有方向） 。如果连接新图形与原图形中每一组对应点的线段都和同一条直线垂直被该直 线平分，这样的例行变换称为反射变换。街平分对称点所边线段的直线叫对称轴。 也就是说，反射变换的基本特征是“连接任意一组对应点的线段都被对称轴垂直 平分”。显然，确定反射变换的关键在于找到对称轴。问题 4 “图形的运动”内容常用的教学策略有哪些？1、结合生活实例，在观察与比较中认识图形的运动标准要求课程内容要反映社

13、会的需要，数学学科的特征，也要符合学生 的认知规律。课程内容的选择要贴近学生实际，有利于学生体验、思考与探索。因为儿童的抽象思维需要具体形象思维与生活经验给予支撑，对感知图形运 动这样的抽象概念来说尤其重要。小学阶段关于图形的运动鞋定位是积累感性体 验，形成初步认识。因此结合实例展开教学是一条相当重要的教学策略。在生活中有很多图形或图案呈现出对称、平移或旋转的形式，通过对称、平 移、旋转变换同样可以设计制作美丽的图案。因此，在教学中，我收集一些这样 的素材，通过学生的观察、比较，引导学生从运动变化的角度去发现不同的图形 变换。例如，教学“图形的变换”时丰富教材中的典型素材，注意融入人像道闸、车

14、轮、钟摆等素材，并利用信息技术动态呈现，让学生进一步感知旋转现象。在 教学“轴对称变换时” ，可借助一组学生在生活中喜闻乐见的民族特点浓厚的素材。 这样做，一方面有利于激发学生学习图形运动的兴趣，另一方面使学生进一步体 会到数学与生活的密切联系，发展学生的概括能力。2、借助操作活动，加深对图形运动的认识，帮助学生体会变换的特征 加强学生操作活动也是提高图形变换教学成效的一个策略。操作是一种重要 的实践活动。图形变换的操作主要是在方格低上画一个图形经某变换后的图形和 剪对称图形。教师应鼓励学生动手操作，并在操作过程中积极思考、发展思维能 力。学生对这部分内容的学习还存在一些困难，比如学生在方格纸

15、上进行图形平 移，在找平移距离的时候，不是找平移前后两个对应点之间的距离，而是找中间 空白那一段的距离。要克服这个困难，最重要的还是操作。有的教师反映，学生 在旋转过程中，对确定旋转角度感觉很困难，我觉得这也是鼓励学生去操作。比 如，有的教师在教学中就是这样处理，甭管是什么图形，都套在一个正方形或一 个圆上，运动时等于在变换正方形和圆。再如，在教学“线的旋转”环节让学生 通过用铅笔表示线段在桌面方格中以三种不同的旋转中心。笔尖、铅笔尾与铅笔 中点）进行旋转。来感悟旋转中心可以是线段上的任意点。为后面在方格纸上画 线段提供实物依据。当然，操作还应该与适应的想象相结合。低年级学生可以先操作然后回想

16、变 换的过程，高年级学生可以先想象，再操作，再回想。3、注重从变换的角度，引导学生欣赏图形、设计图案学习图形与变换内容的一个重要目的是使学生运用数学的眼光看待现实世界，因此，教学中应鼓励学生从变换的角度欣赏图形，设计图案。例如，在生活中随处可见的美丽图案，学生在观察这些图案时，可以发现其中包含的熟悉的图 形；可以运用数学的眼光分析图案的组成（如是否运用了变换）；可以欣赏这些各具特色的图案，发现其中蕴涵的对称美、和谐美、简明美；可以以此为出发，发 挥自己的修改和创造力，亲自动手设计图案。标准还要求能画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于线 段对称轴的对称图形；认识并欣赏自然界和现实生活

17、中的轴对称图形、中心对称 图形，认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用；运用图形的轴对称旋转， 平移进行图案设计。这些画图和设计图案的活动，既可以加深学生对图形对称性的理解，又可以 激发他们的学习兴趣，感悟数学的美及其应用价值。如在“图形旋转”一课“感悟旋转的应用”环节中，我借助信息技术，动态 体现一些基本图形旋转后形成的美丽图案，鼓励学生从变换的角度哲学图形与图 案，感受其中蕴涵的对称美、和谐美、简明美。并能从不同角度观察图形，识别 不同的基本图形发生了怎样的变换之后，形成了同一个图形，激发学生的创造性 思维，为后面学习灵活应用对称、平移和旋转自己设计、制作方案做了孕伏。在解决问题中注重“

18、图形的运动”和相关知识的联系，发展空间想象力，解 决问题的能力。对于图形的认识，可以从静态的角度去认识它，也可以从动态的角度丰富对 它的认识。比如对角的认识，曾经有一个教师列举过学生的一个常见错误：低年级学生 老有一种混淆，认为角的大小与画出的角的两条边的长短有关，其实，对于低年 级学生也是正常的，如果从静态上去观一个角，孩子比较容易关注它的明显因素 两条边，而相对不明显的“角的张口的大小” ，学生不容易观察到，如果这时 候，教师鼓励学生动态地去认识角，比如利用活动角不断张开，学生会慢慢关注 角的张口。事实上，利用图形的运动（变换）来认识图形，是将静态认识与动态 认识相结合的一个途径。（ 1） 从变换角度认识图形 在认识图形的教学过程中，可以借助变换，动态直观的刻画图形的