量子力学典型例题分析解答

1、量子力学例题第二章一.求解一位定态XX方程1试求在不对称势井中的粒子能级和波函数解XX方程：-T = 0.x<02_2低-珥兀乍 一時+皿°Wdx当，故有j4 ENp（対兀）兀< 0T（?r）= 4 Asin（a + 5）.0 <x <a協p（-必2乳）x A a利用波函数在处的连续条件 由处连续条件: 由处连续条件:sin 5 =sin （肋 + 3）= , fS . E:. to = W7Z- arc sin I - arc sin J啊 祀 « = U3给定一个n值，可解一个，为分离能级.2. 粒子在一维 势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应

2、的归一化定态波函数解体系的定态xx方程为对束缚态解为Ar.x>o直严；t <0在处连续性要求T（O+）=T（O"）将代入得叽）”咋加一如“答呃-沿+毋二-相应归一化波函数为:gQ9J dx = 1 =>严必+卜才叫“IhP9（A2 =k归一化波函数为:3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为3 x < 0巩 X)=.yQ.O <?: <a 一 V、a <x<b 0x > 3求束缚态的能级所满足的方程解束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时XX方程为时+寻個卡),0空2+上2?空2= 0解为当时酸+警個+空盼0 n令解为T3(

3、z)= sin 為 兀+ 禺 co比2兀XX方程为=0xx方程为聲-小4 =0解为波函数满足的连续性要求，有比-0地sin k2a +52 cos ka =虫丘屜+珈如22 昴 2a _ 巴层 cos ka = Ake+ 石占w卡金叮=叮x>B乎也=A2 sin kja + B2 cosk2bE晁只"=九上2 S3n比费E店2 coskb要使有非零解不能同时为零1001000sin k2bcosb0七2 cos上-為sin上上-汁一 sin七2文-COS上2匕-比广一比2 0022疋2 sin近礬0=0则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程t 上 0) 上宙2©

4、;冰P +妬无3舷七卫shkYa kchka例题主要类型：1.算符运算；2.力学量的平均值；3.力学量几率分布.有关算符的运算1. 证明如下对易关系(1)(2)(3)(4)(5)证(1)(2)二±让诂二妙匚+宓= ±hLr ±iLy=±L±(3)=总叵韶+|，応k+嘉區尽+血忆A ? AT A *=0 + ° +漏论朋r +请 禺爲+胡気盘r為+请r/疗卸=0一般地，若算符是任一标量算符，有(4)=么法甩新+如方£脇殊“脳命(必+妙J一般地，若算符是任一矢量算符，可证明有(a,/7,y = 1,2,3)(5)悴 2IU+&a

5、mp;+C.入人入入入入入入人入 I人人=-吨心-减耳+垃厶+応忆=0同理：。2. 证明xx算符为xx算符解考虑一维情况工务®/+给）2m axJ空'（兀）扌押必=J封缶（扌血必为XX算符，为XX算符，为实数I 旷 y&MO）必= JV* = f （）“盼为XX算符为XX算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为，取：试证明：也是和共同本征函数，对应本征值分别为：。证是 的对应本征值为的本征函数A A IA氐厶=±hL±4fe）= （44 土血 h =i 痕必）是的对应本征值为的本征函数又:=佩±】胁兀泌1心抵二0右

6、岭祖1可求出：cj士）二鳧JQ千烧）0 土昭+1）f必g)=时阳初卩士的+i)gc)二.有关力学量平均值与几率分布方面1.(1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值解+且代2即是的本征函数。本征值4-¥空(x)x空(x)乂二 V'AexAdxJ-<oJ-co二 |j4|2 J xer, 二 02.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写。求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值出现 的几率 ，出现 的几率能量平均值空+丄呼吗2 2pa.22 2曲另

7、一做法.2. 2ttx12a ax = sincosS "a Q2鳧2 r13tjx芯J &23tjx7ZX_ ax sin+ sin J sin+sin J /itz J2 aa dx2 cza= 5El3. 一维谐振了在 时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的 数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系 统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值解（1）, 归一化，,(2)1131?豆二另心 |2 ek=-s.+-e2+-e.=-(3)时,所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同(2) o4. 设氢原子处于

8、状态盼0,0)=朴2血©叨-争 W"，叨求氢原子的能量，角动量平方以及角动量Z分量的可能值，这些 可能值出现的几率和这些力学量的平均值。解 能量本征值能量本征态当n二2时沁=4+耶2严片。=1(1 + 1)辯=2护為产2护本征值为的,出现的几率为100%可能值为出现的几率分别为：O5 .在轨道角动量和共同的本征态下，试求下列期望值(1) . ； (2).解:二J叮(G)庐祁砂么0”0=0 = +iZy=5 = 0 吗=0三测不准关系1. 粒子处于状态式中为常数，求粒子的动量的平均值,并计算测不准关系解先归一化JVh)咋込二-co(1) 动量平均值2 HZXI严一站=hdx;

9、叶哇4何2畔匕方9 2了-wdx-toj八秒+一丄+£_如,2f 4严沪dxY管卜,2孑4存 h附：常用积分式:第四章 例题1.力学量的矩阵表示由坐标算符的归一化本征矢及动量算符构造成算符和p=rr 定=£啊（书）+餉（可）1试分别:1）.求和在态下的期望值；2）.给出和的物理意义【解】（1） 设态矢已归一化0 珂¥ 留* （田 F）伺（r|T?|T（粒子位置几率密度）（2）（利用化到坐标表象）=2护但X书鬥門日+1吓X产即聞又：，ih2m上式 护中 W 冷- r网門+J帛旷（产）-匕夙尹-刊中）ih2mT ° (r)VrT(r) + 空(厂)(r)2.

10、 试证明：由任意一对以归一化的共辘右矢和XX构成的投影算符（1）.是XX算符，（2）.有，（3）.的本征值为0和1【证】（1） . XX算符的定义F = F¥ 2= F俐帥=(毎同)为XX算符（2）已归一化p =悝）俘旳刘二|tX| = p（3）.由的本征值方程又：即：A-Z2 = 0几=0（本题主要考查XX算符概念，本征值方程，XX符号的应用）3. 分别在坐标表象，动量表象，能量表象中写出一维无限深势井 中（宽度）基态粒子的波函数。（本题主要考查波函数在具体表象 中的表示）【解】所描述的状态，基态波函数（1 ）.在X表象：<x> a（2）.动量表象：空心二J 应）C血妙

11、树驾叙刘禺禺A j列外肘邓G二J必I）闿& ）dx处2曲(3).能量表象-CD浮AZH何时ft也国i= J必0|x)(x禺匕=1,砌=a* = 000©同样一个态在不同表象中的表示是不同的，不同的表象是从不同侧面来进行描述的.4. 取和的共同表象，在角动量空间中写出，的矩阵(本题主要考查算符矩阵的求法 )【解】，的共同本征函数为0乌仝乌在空间(1)(1-1 = (i,o|£2|i,o=|?|i,+i)=2ArlF n2沪 0同样(i,o|4|w=o 也+i 旳】"0 0、爲=衣0 0 0,0 0 -1,利用：利用正交归一条件:g,阀：p,的）=弁J（厂-叨

12、）（厂+吻+1）伽p加+1）(1,0|t|l-1)=(2 I： I m= 2k7200同样00720、00,了 0L_ =去 723利用:矩阵:矩阵:5. 已知体系的哈密顿量，试求出(1) .体系能量本征值及相应的在所在的表象的正交归一化的 本征矢组.(2) .将 对角化，并给出对角化的么正变换矩阵【解】(1).久期方程设正交归一的本征矢Qe 0£ c0 2£ 0卜=E02s)丿对应于本征矢归一化对应归一本征矢同样即为的本征函数集（2）.对角化后，对角元素即为能量本2e0 e'¥ 0 00 纭 00 2 0i e 02 巧$耶4.003巧H =转换矩阵为丄

13、7201-7?rI.-6. 证明：将算符矩阵对角化的转换矩阵的每一列对应于算 符的一个本征函数矢量。【证】算符的本征矢：则F算符在自身表象中为一对角矩阵：对另一表象力学量的本征矢aff=z 風的本征矢7. 为xx算符。求算符的本征值，在A表象下求算符的 矩阵表示。解:设的本征值为，本征函数为，贝U又同理算符的本征值也为.在A表象，算符的矩阵为一对角矩阵，对角元素为本征值，即利用B为xx算符即Ai o丿取：<o nb =V 0 丿第五章例题重点：微扰论1. 一根长为，无质量的绳子一段固定于支点，另一端系质量为的质点，在重力作用下，质点在竖直平面内摆动。i）在小 角近似下，求系统能级:ii）

14、求由于小角近似的误差产生的基态能量 的一级XX。解：i ） 势能：系统的哈密顿量在小角近似下:0 一埜与+2承少妆22m d?（2Q921Y (12；« + -亦=刃+2ii）若不考虑小角近似2+加飙1一 COS夕）1-i-丄石空+丄石4_. %L 2!4172=嗣吨X4Hr = H-A 二翻l-cos0)_丄吨妙严妙24】町二罠X）二码° H禺衣）血e疔映®-占管邙）利用公式邙刈启）环=走触旳哄启佃+刚）同样0嵐|0 =0|护护2他332 喩$2. 一维谐振子的哈密顿量为，假设它处于基态，若在加上一个 弹力作用，使用微扰论计算对能量的一级xx,并与严格解比较。解

15、：i ）12/3+1 亠加+1)2m abhAmen2bh4 mayii）严格解月=_邑写*丄用+匕* = _兰笛+丄仙+妨*2冷必 $222m dx2 2发生了变化爲二 w + o?r I 2丿=Q)上丿1k >2上弈21 b _ 1 沪2l_ 8?1肿a a 16 朋 fl?3. 已知体系的能量算符为，其中，为轨道的角动量算符。（1）求体系能级的精确值。（2）视项为微扰项，求能级至二 级近似值。解:i）精确解令，并在平面上取方向：与z轴的夹角为，则 也z + 处=Ja? + 久°sin 的=Jo?' + 才 J. 穴=加+如+护心与相互对易，它们的本征值分别为F 二

16、2«+1）护U2 m = 0,±1,±2,体系能级为E怎=20+1）左2氐+谕+护ii）微扰法=& + 1）妙2+疋曲（1 + ）A aAH = kL? + 込A .AH = XL的精确解为本征函数本征能量按微扰论利用了公式 X.七Lm二J（/ + 炖）（2 -炖 +1）卜炖 - 1- L J（2 一 m）Q + 陀 +1） ”严 +1 2能量二级XX为£|滋*£jC+强 "+1疋心-号J阀（州珑+1疋2“h_a?惑）=£止）2（!+承）（？_叨+1）_承）（2+承+ 1）= 1叨护曲22在二级近似下=/(；/ +

17、1)2+W3fi+-7«Z2 2 a?4. 三维谐振子，能量算符为，试写出能级和能量本征函数。如这振子又受到微扰，的作用，求最低的两个能级的微扰XX。 并和精确值比较。解：（1设的能量本征函数为代入方程冑2_ 0伏艸空（2）+中（X）0 （刃空（2）+空空Cr艸" 2卩+ 2叨少2（/ +/ +；）¥（功巫0）寸伝）二应空（X）空0）空（2）2兰空1+也+止心加（宀八2戸 T（x） T（y）耳 2兰空1+6丹+2/i T(x) 2兰也+打丹+旦比+打宀"2卩T（y） 22“屮 2-宁中"伏）+ £型虫妝2巫（力二爲中（力 方21-=

18、Ey）2ii2才"+严小皿昨）盪1二去少（*+冷）场 二去少（土+勺）屍=去少（一+岂）N =冬+弓+叫T«°S(W)= (讥艮AysA尸S（2）.基态的微绕xx对基态波函数基态能级的零级，无简并，炖少2引旳严j二+辭2 g闰叭（竹，"MX%二0能量的二级XX：唯一不等于零的矩阵元为他岡锄 曲仲1哄恻0)(唯=ha4(3) .第一激发态三度简并计算不为零的矩阵元为圧咖严矶心严理世|喘/(loo 剛 oioH' = ha4久期方程可求出能量的一级XX（4）.精确解H = + +z2）2澀2矽（严一小丹衣2护 12尸鮎护护 1 之21 辯护 1H十药

19、硬+/% +（云融+产计）+（ 药沪+空廝=fl2 (1 +£)%启=花+护旳+何+£沁 +（% +护少i2 丄1? 11二(«r + -Q?(l + -)2 +(弓 +-)Aa?(l-)2 +(%+空)去少) + (幻 +二_£+.)+(丄险432'23护2二去少（牙+旳一刍去少（1 +冷+亏）+匸去少（兀-ny）乙二乙I基态第一激发态碍厂I心和-看關Emi = Aa? 2325. 设粒子的势能函数是坐标的n次齐次函数， 即 试用 变分法证明， 在束缚态下，动能T及势能V的平均值满足下列关 系（维里定理）证设粒子所用的态用归一化波函数描写则7

20、= 0（兀”力（-二俨艸区X）必2卩V =（兀必2）了0丿,2）屮（兀必2）必5 = 7+7取试态波函数为0（2）二伉兀，能）由归一化条件必二 匸2 U壮）田（处/”応）心如二1|cf J賈伽，切冷）&（加加的）d （忌）C = A2于（乂）二J /伉X- ?矿）0（Q必如?a2 a2対 &2)T (2x, Z, Xz)d-xdydz彳叭益必）遥心壽+需+診）T g 知,忌）d （加加 运（為）7（刃二J旷（Q叫兀儿z）0心如J ¥ 0 （加,矽,厂（肮,和,Zz）田（无T, ，壮）1N （怎）N （砂M企）二尸卩:.HW = T(A) + r(Z) =127 +刊空

21、2久孑以*歹=0M当时，试态波函数即是粒子所处的束缚态波函数。应在时，取极值27-7= 06. 氢原子处于基态，加上交变电场，电离能，用微扰论一级近似计算氢原子每秒离几率。解:解这一类问题要搞清楚三个要素，初态末态是什么？微扰 矩阵元？初态：氢原子基态末态：自由状态顶罠）=（吕X何瓦为能量为，在单位立体角的末态密度。微扰"（严+严） W = pdQdEK忌=（兔禺心站禺G二J夕t&s%山昭厂cos £ sin纺咕必曲厂（加狞一 32mEze kL2朋冗5何瓦血退2迪7. 转动惯量为I,电偶极矩为D的平面转子，置于均匀场强E（沿x方向）中，总能量算符成为，为旋转角（从

22、x轴算起）如果电 场很强，很小，求基态能量近似值。解:方法一护护21中+扌口£於羽二（丑+。£）空与一位谐振子的能量本征方程比较有方法二用变分法，取归一化的试探波函数一解严.&$V(A) = -=cqs-D所得结果与方法二一致。8. 设在表象中，的矩阵表示为曾 0 Q ' H= 0 砖 b a y民 J /其中，试用微扰论求能级二级XX 解:在表象中，炉二0050 QH = 00 b耳二耳+码+另»二毋 +0 +2jnO zpO E* + 0 + j-,(j n't! + jmO 2?0A3 n丘3_£ A3 _A2第六章例题1.

23、有关泡利矩阵的一些关系的证明（注意应用一些已知结论） 1). ； (2).(3) .;(4) .设则,【证】(1) .2耳弓=力耳.= i(2) .+ (耳务+巴出)久先+ (g +丹2 , 2,2 2=仏 +0y +0z =P(3) .=b；Z； +b；2； +07；/； + (jCfyly + CFyCfl+耳6!心+60仏+巧b/启+07/厶二广+耳空上心+o卫才山心+为巳k ,z J=F +? cf2(34 ) + J or )+ SOFZ lhl2 0+，b_=g+ 诂厂务 7by=b “耳一斗耳，巧+寸巧，务|+巧总儿=-2柱,昂：=4巴2.证明：并利用此结论求本征值【证】=+ 巧

24、巧尸 + CFuCF2s + 6卫2卫0%, + a1y(T2yGr.(J2+ alya2y先b為+円器也不 CF2s +兀勺卫山入着=3 + bcJ2& Q2 J + %(7怡近丁，為+ CTigt7u a2s,<T2k =3 + C % )(2i 6+ (2%) %) + b b“)(2 咤 J=3 - 2 厅 &*设的本征函数为(1 2 )2 Z =久6 西)壬=加不 又3. 设为常数，证明【证】 将展开成的幕级数，有为偶数; 为奇数上式_詁触严|旷昌欣)淪4 玄莎+耳召依+1)14, (- if U严."詁(-i)ft (久严 召 +叱召侬+i)i=co

25、s2+jct sin ZA4. 求自旋角动量在任意方向（方位角为）的投影的本征值及 本征矢（在表象），【解】 在表象中在表象中的矩阵表示为A (cos2 (sin 0cos/+?sin 0sin 沪0Crsin cos Q + sin fi'cos-zsin 日sin 0 一 COS0去 cossin J2 jsincos &J设的本征值为，相应本征矢为，本征方程为解久期方程将代入本征方程cos 內+ sin 祐殳=sin 空i - cos 处=a2a2 =1 一 cos 0)曲口 sin Q由归一化条件(sin 日丫4 sin I 2丿2smlecos 21- cos 8 s

26、in Q对应的本征矢为同样：对应的本征矢为通过本题讨论我们发现，的本征值为，自旋算符在任意方向 上的分量的本征值也是。也进一步推广，对任一种角动量算符， 如有的本征值为，的本征值为则在任意方向上的分量的本征值 的可能值也为。5. 有一个定域电子（不考虑轨道运动）受均匀磁场作用，磁 场指向正方向，磁作用势为，设时电子的自旋向上，即求时的 平均值。解设自旋函数在表象中体系的XX算符可表示为则自旋态所满足的XX方程为th = Hx()dt（0减）丿dt如一皿 dta '(/) = -z a?& (f) = -a)2a(t) a + af2a(f) = 0同理a(f) = A cos

27、皿 + 沼sin 皿b(t) = A cos at + 岀 sin at又，自旋負(0) = 1Z)(0) = 0月=1 才=0再由即 -A=B' B = -A :. B' =- 5 = 0a(f) = cos成 h(l) = -3sinI如）丿COSffi一2 sin 型01Y cos 成、0丿sin型丿Sx = x +(f) 二 "(cos M i sin2= _h(f)无尤(X)= -sin 2ot2 2Sz = x* (f) &尹® = cos 2aZ 2 2*6在自旋态中，求【解】吋=丈一可=牛同理7. 已知电子的态函数为其中已归一化，求（1）.同时测量为，为的几率。（2）.电子自旋向上的几率。（3）.和平均值。解首先验证态函数是否归一化存+»=