11.1选修4-4坐标系与参数方程

1、第十一章选修模块第1节选修4-4坐标系与参数方程学生用书课时冲关六十六P2991. （2019太原市质检）已知曲线C1 : X+ 剧=护和C2：X= 节0（ 0为参数）以ly=7 2sin 0原点0为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位.把曲线Cl和C2的方程化为极坐标方程;设Ci与X, y轴交于M, N两点，且线段 MN的中点为P.若射线0P与Ci, C2交于P, Q两点，求P，Q两点间的距离.解：(1)曲线 Ci 化为 pcos 0+73 psin 0=/3. pin I0+ 6 尸 y.22曲线C2化为7 +七=1.(*)6 2将 X = pos 0,

2、y= psin 0代入(*)式22得ppcos2 0+ ppsin2 0= 1,即 p(cos2 0 + 3sin20)= 6.曲线C2的极坐标方程为p=1+0(2) M(也,0), N(0,1) , P惶,1) Op的极坐标方程为0= n，0=n弋入 pin（0+n申得 p1=1, P,；）0=n弋入P=1+5莎 p=2，Q（2，6 I pQ|= I p p|= 1,即P, Q两点间的距离为1.x= 2cos 0,2.（2018全国n卷）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为f（ 0为参数）,y= 4sin 0a,|x= 1 + tcos直线I的参数方程为5(t为参数).y= 2 + ts

3、in a求C和I的直角坐标方程;若曲线C截直线I所得线段的中点坐标为（1,2），求I的斜率.x= 2cos 0解：（1）曲线C的参数方程为5（0为参数）,y= 4sin 0x= 1 + tcos a直线l的参数方程为5(t为参数)y= 2+ tsin a 2 = tan a a 90°，即 tan ax y+ 2 tan a= 0，当 a= 90°时，x= 1. x 1七tan a y + 2 tan a= 0( a 90 ° : I: $lx= 1( a= 90 °当a= 90 °点（1,2）不为中点，.不成立.当 a 90° 把

4、I 代入曲线 C 中得：4x2+ tan a(x 1) + 22= 16,化简得：(4 +tan2a)x2 + (4tan a 2tan2 Rx + tan2 a 4tan a 12= 0,224 + tan a点(1,2)为弦的中点， X1 + X2= 2，即2tan aa= 2, tan a= 2，直线 I 的斜 率 k= 2.3. （2019东三省四市教研联合体模拟 ）在平面直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1： pcos 0= 3，曲线C2 : p= 4cos 0（0 w 0< n .（1）求C1与C2交点的极坐标;设点Q在C2上，O)

5、Q=26P，求动点P的极坐标方程.30=±23ocos 0= 3,解：(1)联立方程得1得cosp= 4cos 0,n0< 0< 2， cos 0=- P= 2>/3,所求交点的极坐标为(2風 n.设 P(p, 0), Q(p,0)且 po= 4cos 0 ,0,n2)，0j)故点卩的辄±标右在力4. (2019石家庄模拟)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是r=t， (t为参数),.y= 2t以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为p +2 pin 0- 3= 0.(1)求直线I的极坐标方程;(2)若直线I与曲线C相交

6、于A, B两点，求|AB|.解：由"X= t，消去 t 得 y= 2x,y= 2t把严y=jjcos 0,口代入 y= 2x,得 pin 0= 2 pcos 0,pin 0直线I的极坐标方程为 sin 0= 2cos 0.曲线 C 的方程可化为 X、2/2_ 设 A(x1, y1), B(X2, y2),贝U X1+ x2= k? + 1 , X1 X2 = "k+ 1,+ y2 + 2y- 3= 0,即 x2+(y+ 1)2= 4,圆C的圆心C(0, - 1)到直线I的距离能力提升组5. (2018全国川卷)在平面直角坐标系X= cos 0XOy中，O O的参数方程为5,

7、 (0为参y= sin 0数)，过点(0，-® 且倾斜角为a的直线I与O O交于A, B两点.(1)求a的取值范围;求AB中点P的轨迹的参数方程.解：(1)根据O O的参数方程，可得OO的直角坐标方程为X2+ y2= 1,a= n寸，直线l与圆O O交于两点.当 a n时 tan a= k设过点(0,-72)的直线为y= kx-/2，要使直线与O O相交于两点，则d = +X2i<1.心+ 1故 k ( 8,- 1)U (1，+ 8)二 a,X1 + X2故X =2= k2+ 1, y= k2+ 1 Pk2+ 1迄k= tana,(2)设P点的坐标为(X, y),联立方程广y2

8、=；得(k2+ 1)x2-2屁+ 1 = 0.ly= kx-y 2,点p的轨迹的参数方程为p2tan aX 1 + tan a=色y= 1 + tan a，6. （2019桂林联考）在平面直角坐标系 xOy中，以原点0为极点，x轴正半轴为极轴,长度单位相同，建立极坐标系，直线I的参数方程为X= tcos a,:4 (t为参数，a为I的倾斜jy = y0 + tSin a角），曲线E的极坐标方程为P= 4sin 0,射线0= 3 0= 3+n 0= 3-n与曲线E分别交于不6 6同于极点的A，B, C三点.(1)求证：|OB 1+ OC| = V3oA|;当3= 3时，直线I过B, C两点，求y。与a的值.解：证明：依题意知，|OA|= 4sin 3|OB|= 4sin|OC| = 4sin(3- n,则