《极值点偏移问答的管理组织策略及探究》

1、极值点偏移问题的处理策略及探究所谓极值点偏移问题， 是指对于单极值函数， 由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数f(x)在x Xo处取得极值，且函数 y f(x)与直线y b交于 A(xi,b) ,B(X2,b)两点，则AB的中点为mC1 x2,b)，而往往x0.如下图2 2所示.严一2j-3v=*|V1极述点左偏极值点没有偏移此类问题在近几年高考及各种模考,作为热点以压轴题的形式给出， 很多学生对待此类又因为2 X1,X2(1,)，且f(x)在(1,)上单调递减,问题经常是束手无策。 而且此类问题变化多样， 有些题型是不含参数的， 而更多的题型又是参数如何来处理？是

2、否有更方含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决, 便的方法来解决？其实， 处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基 本特征，再从几个典型问题来逐一探索!【问题特征】岭 +小X.“13=趴若几订下門(门冊谨增b则厂极值点左巴尹处切线G轴不平凤 若几和上r% 口“珈械h则ff宁:V + r极值点右偏i片+屁2" / = 七丄切线与工轴不平行：苦门巧厂递琏h则yf送Q 卜厂此戶山若卜凸I厂(巧递坤b则广(土尹卜厂(兀)=0【处理策略】、不含参数的问题.例1. (2010天津理)已知函数 f(x) xex(x R)，如果XiX2，且 f(Xi) f (X2)，

3、证明：X1 x22.【解析】法一:(1 x)e x，易得 f (x)在(单调递增，在(1,)上单调递减，Xf(x)f(0)数f (x)在X1处取得极大值f(1)，且f(1)如图所示.e时，f (X)由 f(X1)f (X2),X1X2，不妨设X1X2，则必有0 X11X2，构造函数F(x) f(1X) f (1 x),x (0,1，则 F(X)(1 X)Xf (1 X) F(e2x 1)0，所以 F(x)在 Xe(0,1上单调递增,F(x) F(0)0,也即 f(1 X) f (1 X)对 X (0,1恒成立.由 0X,1X2，则 1 X1 (0,1，所以f(1(1X1)f(2 X1)f(1

4、(1 X1)f(X1)f(X2)，即f(2 X1)f(X2)，所以2Xix2，即证x1x22.法二：欲证x-i x2 2 ,即证x2 2 x1,由法一知0Xi 1 X2，故 2 为，X2(1,又因为f(X)在(1,)上单调递减，故只需证f(X2)f(2 X,)，又因为 f(Xi)f(X2),故也即证f (Xi)f(2 Xi)，构造函数H(X) f(X)f (2 X),X (0,1)，则等价于证明H(X) 0对X (0,1)恒成立.由 H(X) f (X) f (2 X)(12x 2e )0,则H(x)在X (0,1)上单调递增，所以H(X) H(1)0,即已证明H(X)0对X (0,1)恒成立

5、，故原不等式X1x22亦成立.法三：由f(X1)f (X2)，得X-ieX2x2e，化简得冷X X2e X-不妨设X2X1，由法一知,oX-i1X2 .令 tX20,X2X1，代入式,得ettX1x-反解出X1tet 1则 X1 X2 2x12tet 1t，故要证:X-X22 ,即证:2tt 2，又因为et 10,等价于证明:2t (t2)(et 1) 0 ，构造函数G(t)2t(t 2)(et 1),(t0)，则 G(t)(t 1)et1,G (t)tet故 G(t)在 t (0,)上单调递增，G (t) G (0) 0,从而G(t)也在t (0,)上单调递增，G(t) G(0)0，即证式成

6、立，也即原不等式 x-i x22成立.法四：由法三中式，两边同时取以e为底的对数，得x2x-iIn 昱X-In x2In x-i，也即In X2In xiX2x-1,从而X1 X2(X1In x2In x-iX2)X2x-X2X1X2X1In生x-X2x-X2X1-In昱1为X2(t1)，则欲证：X1X22，等价于证明:itt 1构造M (t)(t 1)I ntt 1(占)1 nt,(t 1)，则 Mt2(t)-t(t 1)22tl nt2X1lim M (t) lim (t 1)ln 上X 1 / X 1 t 1丫)2，即证M (t)2 即证式成立，也即原不等式 X1X22成立.【点评】以上

7、四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式,方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元,将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的二、含参数的问题.X例2已知函数f(x) X ae有两个不同的零点 X-I, X2，求证：禺x?2.【解析】思路1：函数f(x)的两个零点，等价于方程Xe X a的两个实根，从而这一问题与例1完全等价，例1的四种方法全都可以用;思路2 :也可以利用参数 a这个媒介去构造出新的函数解答如下:因为函数f(x)有两个零点x1,x2，所以Xi要证明XiX2由(1)(2)得：X22，只要证明a(eXaeX2aeX1X1(1

8、)，a(eX1 eX2) 2，X2eX2)，即证:X2)不妨设X1X2，因此只要证明:再次换元令et由(1) (2)得：XieXeX2eX记tteeteX2(X11,X1X2，则 tInX2X2)e0,et2(61)et 1构造新函数F (x)In X2(XXeX2)，即 aeX1X22X1X21 ，1，即证In X，F(1)0X1X2eX1eX22(x 1)0X 1(1,)又令2(t) t1 2tlnt,(t1)，则(t) 2t2(l nt 1)2(t 1lnt)，由于t1 lnt对t(1,)恒成立，故 (t)0，(t)在 t(1,)上单调递增，所以(t)(1) 0，从而M (t)0，故 M

9、 (t)在 t(1,)上单调递增，由洛比塔法则知：2t0，14(x 1)2求导F(X)2二0,得F(x)在(1,)递增,X (X 1) x(x 1)所以F(x) 0,因此原不等式X1 X2 2获证.X2【点评】含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元Xi,X2的基础上，又多了一个参数,故思路很自然的就会想到： 想尽一切办法消去参数,从而转化成不含参数的问题去解决;者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。f(X)有两个零点Xi,X2，例3.已知函数f(x) In X ax，a为常数，若函数2试证明：X1 X2 e .【解析】法一：消参转化成无参数问题:f (x)0 In X ax In X a

10、eInxX,X2是方程f(x) 0的两根，也是方程 In X aeInx 的两根，则 In x1,In x?是 xg(Ui) g(U2)，从而 XiX2法二：利用参数a作为媒介,换元后构造新函数:aex，设 5In Xi ,u2In x?, g(x) xe x，则2e In X1In X225 氏 2，此问题等价转化成为例1，下略.不妨设X,为,0,ln x2ax2/. lnX,InX2a(x1x2),lnx,Inx?a(x1x2),In x,In x2a，欲证明X1X2X1X22e，即证 In x-iIn x22./In XiIn x22a(x1 x2)，即证 a X1X2原命题等价于证明I

11、n % In X2x1x2x1x2-，即证:In互X22(X1 X2)，令 tX1 X2X1,(t 1),中思路二的解答，下略.构造g(t) Int卫,t 1，此问题等价转化成为例2t 1法三：直接换元构造新函数:In X,a XiIn x2X2In x2In xiX2臼设Xi X2，t竺,(tXi1),则 X2tXi,In txiIn xiIntInIn x1Xi反解出：In XiInt .厂I，InX2IntxiInt In Xi IntIntt itIntt i故 xix2e2In x1In x2hnt 2，转化成法二，下同，略例4.设函数f(X) ex axa(a R)，其图像与X轴交

12、于A(Xi,O), B(X2,O)两点，且Xi X2 证明:f (Jxi X2)0.【解析】由f(X) e axa, f (x) ex a，易知：a的取值范围为(e2,f(x)在(,In a)上单调递减，在(Ina,)上单调递增.法一：利用通法构造新函数，略;法二：将旧变元转换成新变元:xeaxi aX2eax2 a0,两式相减得:0,eX2X2Xi记t宁'(t0)，则f (X产)Xi X2eeX2eXiX2XiK 02(2t (et et),2t设 g(t) 2t (etet),(t0)，则 g (t)(etet)0,所以 g(t)在 t (0,)上单调递减，故g(t)Xi X2 e

13、g(0) 0,而a2t所以fXiX22又 f (x)exa是R上的递增函数,X1f (jxi X2)0.容易想到，但却是错解的过程:欲证：f (J% X2)0,即要证：f (也X2Xi X2)0 ,亦要证e 2 a 0 ,也即证：eXiX2a22自然会想到：对X1e1 ax1 aX2e ax2 a0,eX1a(x11),命两0,eX2a(x2 1),式相乘得：eX1X2 a2(x11)(X2 1),即证：(Xi1)(X21)1 .考虑用基本不等式(X11)(X21)X, x2 2 2(工)，也即只要证:X2X1X24 .由于 X)1,X23In a .当取a e将得到X23，从而x1 x24

14、.而二元一次不等式 x1x2 4对任意a(e2,)不恒成立，故此法错误【迷惑】此题为什么两式相减能奏效， 而变式相乘却失败？两式相减的思想基础是什么？其 他题是否也可以效仿这两式相减的思路【解决】此题及很多类似的问题，都有着深刻的高等数学背景拉格朗日中值定理：若函数f (X)满足如下条件:，使得 f() fbLJ®b a(1)函数在闭区间a,b上连续;(2)函数在开区间(a,b)内可导，则在(a,b)内至少存在一点当f(b) f(a)时，即得到罗尔中值定理上述问题即对应于罗尔中值定理,设函数图像与X轴交于A(x1,0), B(x2,0),两点，因此f(X2)f(X1)X2 X10(e

15、X2 e) a(X1 X2)0X2X1由于 f(X1) f (X2) 0,显然 f(X1) f (X1) 0 与 f(x,) f(X1)f(X1) f (X2) 0不是充要关系,转化的过程中范围发生了改变例5. (11年，辽宁理)2已知函数f (x) In X ax(2a)x.(I)讨论f(x)的单调性;(II)设a 0，证明：当01 时，fQ X) f(1 X)； aaa(Ill)若函数y f(x)的图像与x轴交于A,B两点，线段 AB中点的横坐标为x。，证明:f(X0)0.【解析】(I)易得：当a 0时，f (X)在(0,)上单调递增；当a 0时，f(x)在(0,1)a上单调递增，在(1,

16、a)上单调递减.(II )法一：构造函数1 1g(x) f (- X) f (- x),(0 aX丄)，利用函数单调性证明，方a法上同，略;造以a为主元的函数，h(a)f(a x)七 x)，h(a)ln(1ax) ln(1 ax) 2ax, h (a)X1 axX1 axc 322x a ,2x 门，由01 a X解得01时，f (一a11,当 0 a 时，h (a)0，而 h(0)XX1X) f (- X).a0，所以h(a) 0，故当0(III )由(I)知，只有当a 0时，且f(x)的最大值个零点，不妨设 A(Xi,0), B(X2,0),0XiX2，则 0M)a1Xi - aX2，f

17、(x)才会有两X1叫)，由(II)得：f(2a1Xi) f (aXi)1 1f (Xi)af(Xi)f(X2)，又由 f (x)在(丄，)上单调递减，所以aX2Xi，于是x0(I)知，f (X0)0.【问题的进一步探究】对数平均不等式的介绍与证明两个正数a和b的对数平均定义:L(a,b)a In a a(ab ( (aInbb).b),对数平均与算术平均、几何平均的大小关系:Vab L(a,b)(此式记为对数平均不等式 取等条件：当且仅当 a b时，等号成立.只证：当a b时，jab L(a,b)b.不失一般性，可设ab.证明如下:1(I)先证：Tab L(a,b)不等式Ina InbTObb

18、2ln xa(x)aInb1(其中xx1)构造函数 f(x) 2Inx (X 1),(x1)，则 fX(1丄)2.因为xxf(x) 0,所以函数f (x)在(1,)上单调递减,故 f (x)f(1)从而不等式成立;(II)再证:L(a,b) ¥不等式Ina Inb 譬Inb2(a1)£1)In x2(x(X 17(其中x构造函数g(x) In x1)，则 g(x)-x42(x 1) x(x(x1和为x1时,g (x)0 ,所以函数g(x)在(1,)上单调递增，故g(x) g(1)0，从而不等式成立;综合(I)( II )知，对a,b R，都有对数平均不等式 Tab L(a,

19、b)成立,2当且仅当a b时，等号成立.前面例题用对数平均不等式解决例1.(2010天津理)已知函数 f(x) xex(x R)，如果 X1 x，且 f(x,) f (X2)，证明：X1x22.【解析】法五：由前述方法四，可得In x,In x2，利用对数平均不等式得:X2In xiIn x2，即证：x1 x22，秒证.说明：由于例2，例3最终可等价转化成例1的形式，故此处对数平均不等式的方法省略例4.设函数f(x) ex ax a(a R)，其图像与 x轴交于A(x1,0), B(X2,0)两点，且XiX2.证明：f (Jxi x2) 0.Xi【解析】法三：由前述方法可得:eX1 _eX21

20、Xi(1X1In aX2),等式两边取以e为X21底的对数，得In aXiln(Xi1)X2In(X2 1)，化简得：1(Xl 1) (X21)In(X11)In(x21)，由对数平均不等式知:(X11)(X2In(X1 1) In(X2 1)1)7(X1 1)(X21)，即 X1X2(X1 X2)0，故要证f (Jxx2)证 J玄2Ina证 x1x2xiIng 1) X2In(x2 1)证 ln(x1 1) In(x21) x1 x2 x1x2证 In (x1x2(X1 X2)1)X1X22JX1X2/x1x2 (x1 x2)0 In(xM (为x2) 1) In1 0 ,何2 0(X1 X

21、2)1) XX22JXX2显然成立，故原问题得证例 5. (11年，辽宁理)已知函数2f (x) In X ax(2a)x.(I)讨论f(x)的单调性;(II)设a 0，证明：当0f(a x)；(III)若函数y f(x)的图像与X轴交于A, B两点,线段 AB中点的横坐标为X0，证明:f (X0)0.(III)由 f(X1)f(X2) 0(2a)x2In x12ax1(2 a )X1In x2 ax22In x1In x22(X1 X2)a(x12 x22X1X2)【解析】(I) (II)略,X2)In x1 In x22(x1a22X-IX2X1X20故要证f (Xd) 0x0X1X222

22、2X-iX2X1x2In x1In x2 2(x1 x2)1In 为In x2X1X2XX2In x-iIn x2根据对数平均不等，此不等式显然成立,故原不等式得证X1X2X1X2【挑战今年高考压轴题】2）ex a（x 1）2有两个零点（2016年新课标I卷理数压轴21题）已知函数f（X） （XX1,X2.证明：X1 X22.2a），可知 f（X）在（，1）【解析】由 f(x) (X 2)eX a(X 1)2，得 f (x) (x 1)(eX上单调递减，在（1,）上单调递增.要使函数y f （x）有两个零点X1,X2，则必须a 0.法一：构造部分对称函数不妨设X,X2，由单调性知X1(,1),

23、X2 (1,所以 2X2(,1)，又f（X）在（,1）单调递减，故要证:X22，等价于证明:f(2X2) f(X1)0，又 f(2X2)X2e2 X2a(X221)，且 f(X2) (X22)eX22a(X2 1)20 f(2X2)2 XX2e(X22)eX2 ,构造函数 g(X)2xe(X 2)eX,(X(1,),由单调性可证，此处略.法二：参变分离再构造差量函数由已知得：f X, f X2 0 ,不难发现X1 1 , X21,x 2 J故可整理得：a 厂X11X22 eX22-X21X 2 ex，贝y g X1X 1X2那么g2X 21 xX e，当X 11 时，g'X单调递减；当

24、 X1时,g' x0 , g x单调递增.0,1构造代数式:me1m 1 2mem 1mJe2m 1 , mm 1则h' mm单调递增,2m22m ce 0 , m 1因此，对于任意的 m 0,由g X1g X2可知x、X2不可能在的同一个单调区间上,不妨设X1X2，则1 X2X10，则有g11X1X1g 2X1g X1X2而2 X11，X21, g X在1,上单调递增,因此：g 2整理得:X1X2法三：参变分离再构造对称函数由法二，得g XX 2 e ,构造 G( X)g(X) g(2X),(X(,1),利用单调性可证,此处略.法四：构造加强函数【分析说明】由于原函数f(X)的不对称,故希望构造一个关于直线X 1对称的函数g(x),使得当X 1时，f(X)g(X)，当X 1时，f(X) g(X)，结合图像，易证原不等式成立【解答】由f(x) (X 2)ex a(x 1)2, f (x) (x 1)(ex 2a)，故希望构造一个函数F(x),使得 F(x) (X 1)(ex 2a) (x 1)(e 2a) (x