倒立摆系统的建模及Matlab仿真

1、倒立摆系统的建模及 Matlab仿真1.系统的物理模型考虑如图（1）所示的倒立摆系统。图中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图 面内运动的二维问题。z卜9 J m1 /.1 " L1-11-.LI7.V图（1）倒立摆系统假定倒立摆系统的参数如下。摆杆的质量：m=0.1g摆杆的长度：l =1n小车的质量:M=1kgt 力加速度：g=9.8m/s2摆杆的质量在摆杆的中心。设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件 （由干扰引起）时，最大超调量< 10%调节时间ts < 4s，通过小车的水平运动使倒立摆保持在垂直位置。2.系统的数学模型2.1建立倒置摆的运动方程并将其线

2、性化。为简化问题，在数学模型中首先假设：1）摆杆为刚体；2）忽略摆杆与支点之间的摩擦；3）忽 略小车与接触面间的摩擦。设小车瞬时位置为乙摆心瞬时位置为（z l sin根据牛顿第二定律，在水平直线远动方向的惯性力应与）,在u作用下，小车及摆均产生加速远动, u平衡，于是有即:d2zd2Mr mr(zdt2dt2Isin ) U(M m)z ml cos ml 2 sin u绕摆轴转动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有即:zcos以上两个方程都是非线性方程,立，在试驾合适的外力条件下,项。于是有联立求解可得d2m (z l sin ) l cos mglsin dt2')3l cos2l 2

3、sin cos g sin为求得解析解，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒立摆直接近于零时合理的，则sin ,cos1，且可忽略2(Mm)zml umgM(MMlm)1 一u M1uMl2.2列写系统的状态空间表达式。选取系统变量 X1, X2, X3, X4，X1,X2,X3,X4 T 贝UXiX2X3X4X2mgXMX3X4(M m)MlX31 u MlddtXi代入数据计算得到:00001000011(M0 mg M0m)gMl0 0 X Cx00,B 0 1 0 11T,C0丄M u Ax Bu丄Ml10 00,D 0103.设计控制器3.1判断系统的能控性和稳定性Qk B AB

4、A2Ba3b010110100101110，rank( Qk)=4,故被控对象完全可控110由特征方程2(11)0解得特征值为0, 0， JU。出现大于零的特征值，故被控对象不稳定希望的极点n=4.3.2确定希望的极点选其中一对为主导极点3和S2，另一对为远极点，认为系统性能主要由主导 极点决定，远极点只有微小影响。根据二阶系统的关系式，先确定主导极点p e '1 20.1可得 0.59，于是取0.6 ;取误差带0.02有ts ，贝U n 1.67，闭环n主导极点为S,2j J12 =-10.8j,远极点选择使它和原点的距离大于主导极点与原点距离的5倍，取S3,4153.3采用状态反馈

5、方法使系统稳定并配置极点状态反馈的控制规律为u kx， k k。k1k2 k3 ；状态反馈系统的状态方程为x (A BK)x Bv，其特征多项式为I (A BK)4 (k1 k3)3 (k0 k2 11)2 10k110ko希望特征多项式为2(15)2(10.8 j)(1 0.8j)432 3286.64499.2369比较以上两式系数，解得状态反馈矩阵 k36.949.92334.5481.924.设计全维观测器4.1判断系统的能观性TT 2T 3Qg C A C (A ) C (A ) C100001000010000 ，rank( Qg )=4,故被控对象完全可观14.2确定观测器的反馈

6、增益全维观测器的动态方程为x (AGC)xBvGCx ;其特征多项式为I (A GC)4 g0(gi 11)11g0g2)( 11gi g3)取观测器的希望极点为:2(15) (1 0.8 j)(-45，-45，-3+3j，4310.8j)96-3-3j ；则希望特征多项式为225831377034650比较以上两式系数，解得观测器反馈矩阵 G96 25941482664984T5.降维状态观测器的设计5.1建立倒置摆三维子系统动态方程设小车位移z由输出传感器测量，因而无需估计，可以设计降维(三维)状态观测器，通过重 新排列被控系统变量的次序，把需由降维状态观测器估计的状态变量与输出传感器测得

7、的状态变量 分离开。将z作为第四个状态变量，则被控系统的状态方程和输出方程变换为0001ddt1 0 11 00100000010 u10简记为:X1X2A11A21A22X1X2b1b2I1X1X2式中XiA11乂2y, a2i111，A120T 0 ， b1101T0TAi =0,b20, I1被控系统的n-q维子系统动态方程的一般形式为x1A11x1v， zA21x1式中 vA21ybjUbu, z yA22yb2uy zz为子系统输出量。故倒置摆三维子系统动态方程为0 11d dt5.2.判断子系统的可观测性A1=0 -1 0;0 0 1;0 11 0;C1= 1 0 0;Qg1=ob

8、sv(A1,C1);r=ra nk(Qg1)运行Matlab程序；结果为r=3,故该子系统可观测降维状态观测器动态方程的一般形式为X1A11hA21hyb,hb2 uA11 hA21 h A12 hA22 y式中h= h0 h1 h2 T。考虑被控对象参数,单倒置摆降维观测器动态方程的一般形式为X1h。 1 h1 0 h211hoh1hcAh0h2h2 y11h1h。h1 yh2三维状态观测器的特征多项式为IAi1hA213 h0 211h0 h2设希望的观测器闭环极点为-45，-3+3j，351 2-3-3j，则希望特征多项式为453 3j 3 3j288810比较以上两式系数，解得h= 5

9、1299-1371故所求三维状态观测器的动态方程为5129913711011230213878 y66632xX1100001000010000051299 _ y 137116.Matlab仿真分析6.1源程序通过Matlab对用全维状态观测器实现状态反馈的倒置摆系统进行仿真分析，下面是文件名为 Inv ersio n_pen dulum_system .m 的源程序%倒立摆系统建模分析%a)判断系统能控性和能观性clear all;clcA=0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0;B=0；1；0;-1;C=1 0 0 0;D=0;Uc=ctrb(A,B);rc=

10、ra nk(Uc);n=size(A);if rc=ndis pCThe system is con trolled.)elseif rcvndis pCThe system is uncon trolled.)endVo=obsv(A,C);ro=ran k(Vo);if ro=ndis pCThe system is observable)'elseif ro=ndis pCThe system is no observable)'end%b)判断系统稳定性P=p oly(A),v=roots (P)Re=real(v);if(le ngth(fi nd(Re>0)=

11、0)dis p('The system is un stable and the ubstable po les aOe:'v(fi nd(Re>0)elsedis p('The system is stable)'end% c)极点配置与控制器-全维状态观测器设计与仿真pc=-1+0.8*j,-1-0.8*j,-15,-15; po=-45 -45 -3+3*j -3-3*j;K=acker(A,B, pc),G=acker(A'Q ,po)'Gp=ss(A,B,C,D); %将受控过程创建为一个LTI对象dispC受控对象的传递函数模型

12、：');H=tf(G P)Af=A-B*K-G*C;dis PC观测器一一控制器模型：');Gc=ss(Af,-G,-K,0)%将观测器-控制器创建为一个LTI对象dis PC观测器一一控制器的极点：');f_po les=po le(Gc)Gp Gc=G p*Gc;%控制器和对象串联dis PC观测器一一控制器与对象串联构成的闭环系统模型：');Gcl=feedback(G pGc,1,-1)%闭环系统dis pC闭环系统的极点和零点：');c_po les=po le(Gcl)c_zeros=tzero(Gcl)lfg=dcgai n(Gcl)%低频

13、增益N=1/lfg %归一化常数T=N*Gcl;%将N与闭环系统传递函数串联x0=100 10 30 10 0 0 0 0;% 初始条件向量t=0:0.01:1'%时间列向量r=0*t;%零参考输入y t x=lsim(T,r,t,x0);% 初始条件仿真plot(t,x(:,1:4),'-.',t,x(:,5:8)%由初始条件引起的状态响应title('bf状态响应')lege nd('x1','x2','x3','x4','x1hat','x2hat',&

14、#39;x3hat','x4hat')figure (2)ste p(T)title('bf阶跃响应')figure(3)impu Ise(T)title('bf脉冲响应')6.2程序运行结果The system is con trolled. The system is observable. P =0 -111003.3166-3.3166The system is un stable and the ubstable po les are: ans =3.3166K =-36.9000 -49.9200 -334.5400 -81.

15、9200G =962594-14826-64984受控对象的传递函数模型Tran sfer fun cti on:sA2 - 1.776e-015 s - 10sA4 - 11 sA2观测器控制器模型:x1x2x3x4x1-96100x2-255749.92333.581.92x31.483e+004001x46.495e+004-49.92-323.5-81.92x1x2x3x4u1-96 -2594 1.483e+004 6.498e+004yix1 x2 x3 x436.9 49.92 334.5 81.92yiu10Con ti nu ous-time model.观测器一一控制器的极

16、点：f_po les =1.0e+002 *-1.4948 + 1.8786i-1.4948 - 1.8786i1.7424-0.0328观测器一一控制器与对象串联构成的闭环系统模型:x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8x1000096 2594 -1.483e+004 -6.498e+004x210000000x30-10110000x400100000x5036.90 -36.9-96 -2557 1.483e+004 6.495e+004x1x2x3x4x5x6x7x8 b =x6049.920 -49.92149.920 -49.92x70334.50 -334.50333.50 -323.5x8081.920 -81.92081.921-81.92x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8u10000 -96 -2594 1.483e+004 6.498e+004c =yid =x1x2x3x4x5x6x7x8100 0 0 00 0u10yiCon ti nu ous-time model.闭环系统的极点和零点：c_po les =-45.0000-45.0000-15.0001-14.9999-3.0000 + 3.0000i-3.0000 - 3.0000i-1.0000 + 0.