多项式系统编程说明书

1、多项式系统编程说明书所有“数学机械化与自动推理平台”软件组2003年5月目 录1、针对一般系数多项式的操作1.1、多项式的构造1.2、获取多项式信息的基本操作1.3、其它基本操作1.4、基本算术运算1.5、其它运算1.6、释放内存的操作2、针对整系数多项式的操作3、常用的类型定义，常数定义和宏函数 4、编程时的一些注意事项4.1、关于破坏性的函数4.2、关于变元序4.3、关于多项式的遍历方法*有关文件：有关多项式的程序代码主要位于以下文件中： pol.h，pol_，pol_，pol_，pol_。有关类名：TRIPoly（多项式类），TDITerm（项类）。数据结构：多项式类的数据结构如下：TV

2、ariable * var; 变元指针，表示多项式默认的主变元。TNumber c; TNumber型变量，对于非常数多项式，c=0；对于常数多项式，c表示常数项。TDITerm * ups; 项的指针，多项式的各项按默认主变元var的次数从高到低排列，ups指向第一项，即次数最高的一项,各项的系数再按此规则递归表示。TPolyRC * RefCount; 引用计数指针，指向引用计数存储区中的某个存储块，该存储块中存放着该多项式的引用数。注：TPolyRC是一个用于多项式引用计数器管理的类。项类的数据结构如下：unsigned short deg; 整型变量，用来表示该项的次数。TRIPoly

3、 * p; 多项式指针，用来表示该项的系数，它又是一个多项式。TDITerm * nx; 项的指针，用来指向项的链接表中的下一个项。1、针对一般系数多项式的操作1.1、多项式的构造：TRIPoly();TRIPoly * pzero();构造零多项式TRIPoly(int n);用一个普通整数(int类型)n构造常数多项式TRIPoly(TNumber n);TRIPoly(TNumber * n);用一个数(TNumber类型)n构造常数多项式#define get_n(n) (new TRIPoly(TNumber(n)#define get_nb(n) (TRIPoly(TNumber(

4、n)用一个数(可以是任意类型)n构造常数多项式TRIPoly(TVariable * v, unsigned short * d);TRIPoly(TVariable * v, unsigned short d);TRIPoly * get_mv (VAR * v, POLYDEG d); /外部函数 用变元v的d次幂(vd)构造一个多项式TRIPoly(TVariable * v);TRIPoly * get_m (VAR * v); /外部函数 用变元v构造一个多项式TRIPoly(TVariable *v, TDITerm *dp1);TRIPoly * get_xt (VAR *v,

5、TDITerm *dp1); /外部函数 用一个变元和一个TDITerm的链接表构造一个多项式friend TRIPoly * get_v (VAR *v, POLYDEG d, TRIPoly *p);用一个变元v，一个次数d和一个系数多项式p构造一个多项式：p*vdTRIPoly(const TRIPoly & tr);复制构造函数不构造新的内存，只把引用计数增加1。1.2、获取多项式信息的基本操作：次数和次数表:unsigned short deg();friend int ldeg(TRIPoly *p);返回多项式关于默认主变元的最高次数n=p->deg(); 等价于

6、n=ldeg(p);unsigned short mindeg();unsigned short IPord();返回多项式关于默认主变元的最低次数unsigned short Degree(TVariable *v);friend int pdeg (TRIPoly *p, VAR *v);返回多项式关于指定的变元v的最高次数n=pdeg(p,v); 等价于 n=p->Degree(v);unsigned short MinDegree(TVariable *v);friend int mdeg (TRIPoly *p, VAR *v);返回多项式关于指定的变元v的最低次数n=mdeg

7、(p,v); 等价于 n=p->MinDegree(v);示例：p:=x3*y2+x*y3+y4;p->MinDegree (x)=0p->MinDegree (y)=2p->MinDegree (a)=0unsigned short maxdeg();返回多项式关于所有变元的最高次数，即多项式的所有变元中次数最高的变元的次数。示例：p:= x2*y5*z9+x3+x2*y3+w10;p->max_deg()=10项数：unsigned long PolyLen();返回多项式关于默认主变元的项数示例：（假定默认主变元为x）p:=(x2+2*x+1)*y3+2*x

8、*y2+4*y+6;p->PolyLen()=3unsigned long PolyLen(TVariable *v);返回多项式关于指定变元v的项数示例：p:=(x2+2*x+1)*y3+2*x*y2+4*y+6;p->PolyLen(x)=3p->PolyLen(y)=4unsigned long polylen();friend int plength (TRIPoly *p);返回多项式完全展开以后的项数示例：p:=(x2+2*x+1)*y3+2*x*y2+4*y+6;p->polylen()=6friend int dlength (TDITerm * dp1

9、);返回指定的TDITerm的链接表中的完全展开以后的项数主变元，变元，变元表：TVariable * MainVar(); 返回该多项式的默认的主变元TVariable * mainvar(TList * ord); 返回该多项式关于指定变元序ord的主变元。变元表ord中先出现的变元次序低，即若ord =x1, x2, x3, 则x1 < x2 < x3。若该多项式中不包含变元表中的变元，则函数返回NULL。TVariable * mainvar_w(TList * ord);返回该多项式关于指定变元序ord的主变元。变元表ord中先出现的变元次序高，即若ord = x1, x

10、2, x3, 则x1 > x2 > x3。若该多项式中不包含变元表中的变元，则函数返回NULL。TVariable * minv();返回该多项式关于默认变元序的最小变元TVariable * MinDegVar();返回多项式中最高次数最小的变元，如果这样的变元不止一个，则返回在该多项式的变元表中最先出现的变元。示例：p:= x2+y2+z3+w4;p->MinDegVar()=xTList * getVL();TList * allvar(); 返回多项式的变元表示例：p:= x2*y5*z9+x3+x2*y3+w10;p->getVL()=x,y,z,w系数和系数

11、表：TRIPoly * Coefficient(TVariable * v, unsigned short d);返回多项式中vd的系数示例：s := 3*v2*y2+2*v*y3;s->Coefficient(v,2)=3*y2TList * CoeffsM(TList * ord); 返回多项式关于指定变元表ord中所有变元的系数表注：所返回的系数表不包含重复的系数示例：s := 3*v2*y2+2*v*y3;s->CoeffsM(v,y)=3,2s->CoeffsM(y,v)=2,3s->CoeffsM(v)=3*y2,2*y3s->CoeffsM(y)=2

12、*v,3*v2TList * Coeffs(TVariable *v); 返回多项式关于指定变元v的系数表，表中各系数多项式按v的次数从高到低排列。示例：s := 3*v2*y2+2*v*y3;s->Coeffs(v)=3*y2,2*y3 /相当于s->CoeffsM(v)s->Coeffs(y)=2*v,3*v2 /相当于s->CoeffsM(y) TList * bcoeffs();返回多项式的所有基本系数（base coefficient）的系数表，注意这是一个TNumber的链表。注：所返回的系数表不包含重复的系数示例：s := 3*v2*y2+2*v*y3;s

13、->bcoeffs()=3,2 /相当于s->CoeffsM(v,y)p:=3*x2+5*y*x+2/3*z*x+2*y2+2/3*z*y;p->bcoeffs()=3,5,2,2/3 /相当于s->CoeffsM(x,y,z)TNumber mincoef(); 求多项式的绝对值最小的基本系数(base coefficient)，并返回这个系数的绝对值。它是一个数(an element of the base domain)示例：p:=-486*x3-252*y*x2+1350*x2+192*y*x-5000*x+3;p->mincoef()=3TNumber

14、maxcoef(); 求多项式的绝对值最大的基本系数(base coefficient)，并返回这个系数的绝对值。它是一个数(an element of the base domain)示例：p:=-486*x3-252*y*x2+1350*x2+192*y*x-5000*x+3;p->maxcoef()=5000首项系数，首项，余项：TRIPoly IPldcf(); friend TRIPoly * init (TRIPoly *p); friend TRIPoly * cp_init (TRIPoly *p); (首项系数复制之后再返回)返回该多项式关于默认的主变元的首项系数（又称

15、“初式”，即关于主变元的最高次幂的系数）。示例：（假定默认主变元为x）p:=(5*y3+y2+1)*x5+(y2+1)*x4+(2*y+1)*x3+5*x2+10; p->IPldcf()= 5*y3+y2+1TRIPoly IPLdCf(TList * ord); 返回该多项式关于指定变元序ord的首项系数（初式）。变元表ord中先出现的变元次序低。TRIPoly * IPLdCf_w(TList * ord);返回该多项式关于指定变元序ord的首项系数（初式）。变元表ord中先出现的变元次序高。示例：p:= 128*x7+448*y*x6+672*y2*x5+560*y3*x4+28

16、0*y4*x3+84*y5*x2+14*y6*x+y7;p->IPLdCf_w (x, y)=128p->IPLdCf_w (y, x)=1TNumber IPlbcf(); 返回多项式关于默认变元序的基本首项系数(leading base coefficient),即取首项系数的首项系数，直到首项系数是常数多项式为止，返回该常数。因此该函数的返回值一定是一个数(an element of the base domain)。示例：（假定默认变元序为x,y）>p:=(5*y3+y2+1)*x5+(y2+1)*x4+(2*y+1)*x3+5*x2+10;p->IPlbcf(

17、)=5 TRIPoly IPLbCf(TList * ord); 返回多项式关于指定变元序ord的基本首项系数(leading base coefficient)示例：>p:=(5*y3+y2+1)*x5+(y2+1)*x4+(2*y+1)*x3+5*x2+10;p->IPLbCf(x,y)=5p->IPLbCf(x)=5*y3+y2+1p->IPLbCf(y)=5*x5TNumber IPLbCf_w(TList * ord); 返回多项式关于指定变元序ord的基本首项系数(leading base coefficient),该函数的返回值一定是一个数 示例：>

18、p:=(5*y3+y2+1)*x5+(y2+1)*x4+(2*y+1)*x3+5*x2+10;p->IPLbCf_w(x,y)=5p->IPLbCf_w(x)=0p->IPLbCf_w(y)=0TRIPoly IPlbt(); 返回多项式关于默认变元序的展开后的首项，其结果一定是个单项式。示例：（假定默认变元序为x,y）p:=(5*y3+y2+1)*x5+(y2+1)*x4+(2*y+1)*x3+5*x2+10;( p按y展开的形式为：(5*x5)*y3+(x5+x4)*y2+(2*x3)*y+(x5+x4+x3+5*x2+10) )p->IPlbt()=5*x5*y3

19、TRIPoly IPltv(TVariable * v); 返回多项式关于指定变元v的首项多项式示例：p:=(5*y3+y2+1)*x5+(y2+1)*x4+(2*y+1)*x3+5*x2+10; ( p按y展开的形式为：(5*x5)*y3+(x5+x4)*y2+(2*x3)*y+(x5+x4+x3+5*x2+10) )p->IPltv(x)=5*x5*y3+x5*y2+x5p->IPltv(y)= 5*x5*y3TRIPoly IPldt(TList * ord); 返回多项式关于指定变元序ord的展开后的首项，其结果一定是个单项式。示例：p:=(5*y3+y2+1)*x5+(y

20、2+1)*x4+(2*y+1)*x3+5*x2+10;( p按y展开的形式为：(5*x5)*y3+(x5+x4)*y2+(2*x3)*y+(x5+x4+x3+5*x2+10) )p->IPldt(x, y)=5*x5*y3TRIPoly * IPldt_w(TList * ord); 返回多项式关于指定变元序ord的首项多项式示例：p:=(5*y3+y2+1)*x5+(y2+1)*x4+(2*y+1)*x3+5*x2+10;( p按y展开的形式为：(5*x5)*y3+(x5+x4)*y2+(2*x3)*y+(x5+x4+x3+5*x2+10) )p->IPldt_w(x, y)=5

21、*x5*y3+x5*y2+x5p->IPldt_w(y, x)= 5*x5*y3TRIPoly IPred(); 返回多项式关于默认变元序的余项 (即该多项式减去其关于默认变元序的展开后的首项)即p->IPred() = pp->IPlbt()。示例：（假定默认变元序为x,y）p:=(5*y3+y2+1)*x5+(y2+1)*x4+(2*y+1)*x3+5*x2+10;p->IPred()=x5*y2+x4*y2+2*x3*y+x5+x4+x3+5*x2+10TRIPoly IPred(TList * ord); 返回多项式关于指定变元序ord的余项 (即该多项式减去其

22、关于指定变元序ord的展开后的首项)即p->IPred(ord) = pp->IPldt(ord)。示例：p:=(5*y3+y2+1)*x5+(y2+1)*x4+(2*y+1)*x3+5*x2+10;p->IPred(x,y)=x5*y2+x4*y2+2*x3*y+x5+x4+x3+5*x2+10特殊多项式判断：int IsNumber(); int IsBigInt();int IPconst();int numberp (TRIPoly *p); /外部函数int nTRIPoly (TRIPoly *p); /外部函数#define npoly(p) (p->va

23、r=0)判断该多项式是否常数多项式int IsZero();int pis0(); int pzerop (TRIPoly *p); /外部函数判断该多项式是否零多项式int pis1(); int unitp (TRIPoly *p); /外部函数判断该多项式是否多项式1int nunitp (TRIPoly *p); /外部函数判断该多项式是否多项式-1int IPunt();判断该多项式是否单变元多项式，是返回1，否返回0。int mono_pol(TRIPoly * p); /外部函数判断多项式p是否单项式，是返回1，否返回0。bool isIntPoly (); 判断该多项式是否整系

24、数多项式（所有的系数都是整数），是返回true，否返回false。1.3、其它基本操作：复制:TRIPoly * Clone();多项式的复制构造新的内存调用方法：TRIPoly *p,*p1;p1=p->Clone();.delete p1;friend TRIPoly * cp_TRIPoly (TRIPoly *p1);#define cp_poly(p) cp_TRIPoly(p)多项式的复制构造新的内存调用方法：TRIPoly *p, *p1;p1=cp_TRIPoly(p); /等价于p1=p->Clone();.delete p1;TAtom * Copy();多项式

25、的复制不构造新的内存，只把引用计数增加1调用方法：TRIPoly *p,*p1;p1=(TRIPoly *)p->Copy(); /等价于p1=new TRIPoly(*p);.delete p1; 赋值运算符:TRIPoly operator= (const TRIPoly & p);多项式的赋值操作不构造新的内存，只修改引用计数调用方法：TRIPoly p,p1;p=p1;负运算符:TRIPoly operator ();friend TRIPoly * neg_TRIPoly (TRIPoly *p); /desctructive for p多项式的相反多项式 ，即该多项式

26、与1乘积之后所得多项式。示例：p:=x2+2*x+1;p= x22*x1符号和绝对值函数：short Ipsign();多项式的符号，即该多项式关于默认变元序的基本首项系数（ IPlbcf() ）的符号。多项式为正时，返回1；多项式为负时，返回1；多项式为零时，返回0。示例：p:=(5*y3+y2+1)*x5+(y2+1)*x4+(2*y+1)*x3+5*x2+10;p->Ipsign() = 1p:=(-5*y3+y2+1)*x5+(y2+1)*x4+(2*y+1)*x3+5*x2+10;p->Ipsign() = -1TRIPoly Ipabs();多项式的绝对值，即多项式为负

27、时，返回其相反多项式，否则返回其本身。多项式的替换:TRIPoly * IPvri(TVariable * v, TNumber n); 将多项式中的变元v替换（赋值）为数n示例：p1:= x2+2*x+1;p1->IPvri(x, 1)=4p2:= x2*y3+x*y+5;p2->IPvri (x, 2)= 4*y3+2*y+5TRIPoly * IPvtp(TVariable * v, TRIPoly p);将多项式中的变元v替换为多项式p示例：p1:= x2*y3+x*y+5;p1->IPvtp (x, z)= z2*y3+z*y+5p2:= x2*y3+x*y+5;p

28、2->IPvtp (x, z+1)= z2*y3+2*z*y3+y3+z*y+y+5多项式的显示（可在调试程序时使用）:virtual void display(outtype& out =wout)const;将多项式以展开形式显示p:=5*x5*y3+x5*y2+x4*y2+2*x3*y+x5+x4+x3+5*x2+10;p->display()=5*x5*y3+x5*y2+x4*y2+2*x3*y+x5+x4+x3+5*x2+10void pdisplay(TVariable * v);将多项式以指定变元v的递归形式显示，并且按各变元的降幂排列。示例：p:=5*x5*

29、y3+x5*y2+x4*y2+2*x3*y+x5+x4+x3+5*x2+10;p->pdisplay(x)=(5*y3+y2+1)x5+(y2+1)x4+(2*y+1)x3+(5)x2+(10)p->pdisplay(y)=(5*x5)y3+(x5+x4)y2+(2*x3)y+(x5+x4+x3+5*x2+10)多项式的比较: bool operator = = (TRIPoly & bn);friend int eq_TRIPoly (TRIPoly *p1, TRIPoly *p2);#define eq_poly(p,q) eq_TRIPoly(p),(q)比较两个多

30、项式是否相等。friend int pls (TRIPoly *p1, TRIPoly *p2);比较两个多项式的大小，p1<p2时返回1，p1>=p2时返回0。1.4、基本算术运算：加法：friend TRIPoly * pplus (TRIPoly * p1, TRIPoly * p2); /destructive for p1 and p2TRIPoly operator+ (TRIPoly p); /call pplusfriend TRIPoly * poly_plus(TRIPoly * p1,TRIPoly * p2) return pplus(cp_TRIPoly(

31、p1), cp_TRIPoly(p2); ;#define c_pplus(x,y) pplus(cp_TRIPoly(x), cp_TRIPoly(y)调用方法：TRIPoly *p1, *p2, *p3;/以下三个函数调用等价： p3=pplus(cp_TRIPoly(p1), cp_TRIPoly(p2);p3=poly_plus(p1,p2);p3=c_pplus(p1,p2);/注意：以上三个函数调用在使用完p3之后要delete p3;减法：friend TRIPoly *pminus (TRIPoly *p1, TRIPoly *p2); /destructive for p1

32、and p2TRIPoly operator- (TRIPoly p); /call pminus#define c_pminus(x,y) pminus(cp_TRIPoly(x), cp_TRIPoly(y)乘法：friend TRIPoly *ptimes (TRIPoly *p1, TRIPoly *p2); /destructive for p1 and p2TRIPoly operator* (TRIPoly p); /call ptimesfriend TRIPoly *poly_mul(TRIPoly *p1,TRIPoly *p2) return ptimes(cp_TRIP

33、oly(p1),cp_TRIPoly(p2);#define c_ptimes(x,y) ptimes(cp_TRIPoly(x), cp_TRIPoly(y)除法：friend TRIPoly *pdiv (TRIPoly *p1, TRIPoly *p2); /destructive for p1 #define c_pdiv(x,y) pdiv(cp_TRIPoly(x), y)TRIPoly operator / (TRIPoly & p);返回该多项式对多项式p的除法的商（关于除式p的默认主变元作除法）示例：（假定p的默认的主变元为x）/两个多项式的首项系数都是1时可以得到正

34、确的结果：p1:=x3*y+x+1;p2:=x2+x*y+1;p1 / p2 = y*x-y2p1:=x3+(1/3)*x2+(1/5)*x+(2/3);p2:=x2+(1/5)*x+7;p1 / p2 = x+2/15/两个多项式的首项系数都是非1整数时可能无法得到系数是分数的运算结果：p1:=3*x3+(1/2)*x+1;p2:=5*x2+(1/3)*x+2;p1 / p2 = 0p1:=5*x3+(1/2)*x+1;p2:=3*x2+(1/3)*x+2;p1 / p2 = xp1:=3*x3+5*x+1;p2:=5*x2+2*x+3;p1 / p2 = 0p1:=5*x3+5*x+1;p

35、2:=3*x2+2*x+3;p1 / p2 = xp1:=6*x3+(1/2)*x+1;p2:=2*x2+(1/5)*x+2;p1 / p2 = 3*x-3/10 p1:=6*x3+2*x+1; p2:=2*x2+5*x+2;p1 / p2 = 3*x-7TRIPoly operator % (TRIPoly & p);返回该多项式对多项式p的除法的余式（关于除式p的默认主变元作除法）示例：（假定p的默认的主变元为x）p1:=x3*y+x+1;p2:=x2+x*y+1;p1 % p2 = y3*x-y*x+x+y2+1TRIPoly polydiv(TRIPoly & p);返

36、回该多项式对多项式p的除法的商（关于除式p的默认主变元作除法）处理用原来的除法(operator/)所得运算结果不正确的某些情况示例： （假定p的默认的主变元为x）p1:=x3*y+x+1;p2:=x2+x*y+1;p1->polydiv(p2) = y*x-y2p1:=x3+(1/3)*x2+(1/5)*x+(2/3);p2:=x2+(1/5)*x+7;p1->polydiv(p2) = x+2/15p1:=3*x3+(1/2)*x+1;p2:=5*x2+(1/3)*x+2;p1->polydiv(p2) = 3/5*x-1/25p1:=5*x3+(1/2)*x+1;p2:

37、=3*x2+(1/3)*x+2;p1->polydiv(p2) = 5/3*x-5/27p1:=3*x3+5*x+1;p2:=5*x2+2*x+3;p1->polydiv(p2) = 3/5*x-6/25p1:=5*x3+5*x+1;p2:=3*x2+2*x+3;p1->polydiv(p2) = 5/3*x-10/9p1:=6*x3+(1/2)*x+1;p2:=2*x2+(1/5)*x+2;p1->polydiv(p2) = 3*x-3/10 p1:=6*x3+2*x+1; p2:=2*x2+5*x+2;p1->polydiv(p2) = 3*x-15/2TRI

38、Poly divvar(TRIPoly & p,TList* vl);返回该多项式对多项式p的关于指定变元表vl的除法的商(目前的实现是假定两个多项式中不会包含变元表以外的变元)示例：p1:=x3*y+x+1;p2:=x2+x*y+1;p1->divvar(p2,x,y)=y*x-y2 /相当于Maple中的quo(x3*y+x+1, x2+x*y+1, x);p1->divvar(p2,y,x)=x2 /相当于Maple中的quo(x3*y+x+1, x2+x*y+1, y);TRIPoly operator / (TNumber & n); 返回该多项式对一个数

39、n的除法的商示例：p:=3*x3+5*x+1;p / 3 = x3+x TRIPoly polydivn(TNumber & n); 返回该多项式对一个数n的除法的商处理用原来的除法(operator/)所得运算结果不正确的某些情况示例：p:=3*x3+5*x+1;p->polydivn(3) = x3+5/3*x+1/3friend int divide(TRIPoly & p1,TRIPoly & p2);判断多项式p1是否能被多项式p2整除，是则返回1，否则返回0。示例：p1:=x*y2;p2:=y2;divide(p1,p2)=1friend TRIPol

40、y *pinit (TRIPoly *p, VAR *v, POLYDEG d); /destructive for p相当于返回p整除vd所得的商 示例：p:=5*x4*y+x3*y+y5+x*y*z+z+y+x+8;pinit(p,x,5) =0pinit(p,x,4) =5*ypinit(p,x,3) =5*y*x+ypinit(p,x,2) =5*y*x2+y*xpinit(p,x,1) =5*y*x3+y*x2+z*y+1pinit(p,x,0) =5*y*x4+y*x3+z*y*x+x+y5+y+z+8伪除法：TRIPoly * prem(TRIPoly & p, TVar

41、iable * v);返回该多项式对多项式p的关于变元v的伪除法的余式示例：p1:=x3*y+x+1;p2:=x2+x*y+1;p1->prem(p2,x)=y3*x-y*x+x+y2+1p1->prem(p2,y)=-x5-x3+x2+xTRIPoly * pquo(TRIPoly & p,TVariable *v);返回该多项式对多项式p的关于变元v的伪除法的商示例：p1:=x3*y+x+1;p2:=x2+x*y+1;p1->pquo(p2,x)=y*x-y2p1->pquo(p2,y)=x3friend TRIPoly * prem (TRIPoly *

42、p1, TRIPoly * p2); /destrucetive for p1返回多项式p1对多项式p2的关于p2的默认主变元的伪除法的余式 乘幂：friend TRIPoly *ppower (TRIPoly * p, long int n); /desctructive for pTRIPoly operator(unsigned short deg); /call ppower1.5、其它运算：求导:TRIPoly derivative(TVariable * v);返回该多项式关于变元v的导数多项式示例：p:=x2*y+2*x*y+3*y3;p->derivative(x)=2*

43、y*x+2*yp->derivative(y)=x2+2*x+9*y2 结式:TRIPoly Resultant(TRIPoly G, TVariable * v);返回该多项式与多项式G关于变元v的结式示例：p:=(x+y)4;q:=y+z;p->Resultant(q, y)=x4-4*z*x3+6*z2*x2-4*z3*x+z4一元多项式的数值解: TList * Poly_Solver(TRIPoly * p); /外部函数返回一元高次多项式p的全部复数根的链表。当输入的多项式是常数多项式或多变元多项式时，不进行求解，直接返回空表。示例：p:=3*x5-92*x4+1016

44、*x3-5074*x2+1413*x-9282;Poly_Solver(p)=-1.10096,15.9317+0.141453I,15.9317-0.141453I,-0.-1.36161I,-0.+1.36161I有理系数多项式的最大公因式:TRIPoly pgcd(TRIPoly & p);返回该多项式和多项式p的最大公因式，考虑多项式的系数可能是分数的情况即实现有理系数多项式的GCD，返回整系数多项式。示例：p1:=(3*x+2*y+(2/3)*z)*(x+y);p2:=2*(x+y)*(x2+2*x+y2);p1->pgcd(p2) =x+yp1:=(x+(1/2)*y

45、)*(x+y);p2:=(x+(1/2)*y)*x;p1->pgcd(p2) =2*x+yp1:=(3*x+2*y+(2/3)*z)*(2*x+y);p2:=(2*(2*x+y)*(x2+(2/5)*x+(1/7)*y2);p1->pgcd(p2) =2*x+yp1:=(12*n*(3*n-1)*(3*n+1)*(6*n-4)*(4*n+2*k-1);p2:=(1/2)*(6*n+2)*(4*n+2*k+3)*(n-k+1)*(n+3);p1->pgcd(p2) =3*n+1 1.6、释放内存的操作：函数原型：friend void put_x (TRIPoly * p);f

46、riend void put_ps (TDITerm * dp);void put_d (TDITerm * dp); /外部函数void put_p (TRIPoly * p); /外部函数调用方法：1关于项的操作：TDITerm * dp;delete dp;put_d (dp); 等价于 delete dp;删除dp所指向的项的结点本身。put_ps (dp);删除dp所指向的整个TDITerm的链接表。2关于多项式的操作：TRIPoly * p;delete p;put_p (p); 等价于 delete p;删除p所指向的多项式，包括多项式的结点本身以及整个TDITerm的链接表。p

47、ut_x (p);删除p所指向的多项式。当多项式p的引用计数大于1时，put_x (p); 等价于 delete p;当多项式p的引用计数等于1时，只删除多项式的结点本身，不删除TDITerm的链接表。2、针对整系数多项式的操作整系数多项式各项系数的最大公因子(content)和素部(primitive part):TRIPoly ipcont(TVariable * v);返回该多项式中关于变元v的各项系数的最大公因子示例：p:=2*y*x2+4*y2*x+2*y;p->ipcont(x)=2*yTRIPoly ippp(TVariable * v);返回该多项式的关于变元v的素部（即

48、该多项式除以ipcont(v)所得的多项式）示例：p:=2*y*x2+4*y2*x+2*y;p->ippp(x)=x2+2*y*x+1TBigInt icont();返回该多项式中各项系数的整数最大公因子示例：p:=2*y*x2+4*y2*x+2*y;p->icont()=2p:=-2*x2-4*x-2;p->icont()=2TRIPoly ipipp();#define poly_prim(p) (new TRIPoly(*p)/(p->icont()返回该多项式的素部（即该多项式除以icont()所得的多项式）示例：p:=2*y*x2+4*y2*x+2*y;p-&

49、gt;ipipp()=y*x2+2*y2*x+yp:=-2*x2-4*x-2;p->ipipp()=-x2-2*x-1中国剩余定理：TRIPoly PCRAt(TList * m, TList * x);m是一个整数链表（一组模）, 即m = m1, m2, , mk, 表中的整数两两互素。x是一个多项式链表，即x = p1 , p2, , pk。根据中国剩余定理计算，返回一个多项式p, 满足方程组 ppi ( mod mi ), i=1,2,k, 且0 deg(p) m1*m2*mk 。示例：m:=3,7,11;x:=2*x2, 5*x3, 7*x6;PCRAt(m,x)= 84*x6

50、+33*x3+77*x2整系数多项式的最大公因式:TRIPoly mipgcdold(TRIPoly & p);返回该多项式和多项式p的最大公因式（模方法）示例：p1:=(x+y)7;p2:=(x+y)*(34*x-34*z)8;p1->mipgcdold(p2)=x+yTRIPoly ipgcd(TRIPoly & p);返回该多项式和多项式p的最大公因式（Euclidean方法）示例：p1:=(x+y)7;p2:=(x+y)*(34*x-34*z)8;p1->ipgcd(p2)=x+yTRIPoly pipgcd(TRIPoly & p, TBigInt

51、 & m);返回该多项式和多项式p在模m的有限域上的最大公因式（Euclidean方法）示例：p1:=(3*x+y)3;p2:=(3*x+y)*(3*y-z)2;p1->pipgcd(p2,13)=x+9*y整系数多项式的因式分解:TList * SqureFree();返回该多项式的无平方因式分解示例：p:=(345*x3-67*y)3*(x+y*z-x*z)7*(23*y-54*z);p->SqureFree()=1,1,345*x3-67*y,3,-z*x+x+z*y,7,23*y-54*z,1TList * Factor();返回该多项式的因式分解示例：p:=(34

52、5*x3-67*y)3*(x+y*z-x*z)7*(23*y-54*z);p->Factor()=-1,1,345*x3-67*y,3,z*x-x-z*y,7,23*y-54*z,1多项式在有限域上的算术运算：取模：TRIPoly * mod(const TBigInt & m);返回将该多项式模m所得的结果 示例：p:=4*x2*y4+29*x*y2+10*y;p->mod(3)=y4*x2+2*y2*x+y加：friend TRIPoly * IPmsum(TRIPoly *p1,TRIPoly *p2, TBigInt m); /call mpplusfriend TRIPoly * mpplus(TRIPoly *p1, TRIPoly *p2, TBigInt m); /destructive for p1 and p2返回模m下的多项式p1,p2的和 示例：p1:=(x+2*y)