圆锥曲线(题型完美版)

1、高中数学选修2-1资料第一章圆锥曲线第一节椭圆1 .椭圆的定义.F1F2I)的点的轨迹叫做椭圆. 这两(1)定义：平面内与两个定点 Fi, F2的距离的和等于常数2a(2a个定点叫做椭圆的_两焦点间的距离叫做椭圆的另一种定义方式(见人教A版教材选修2 1 P47例6、P50):平面内动点 M到定点F的距离和它到定直线I的距离之比等于常数 e(0 < ev 1)的轨迹叫做椭圆.定点F叫做椭圆的一个焦点， 定直线I叫做椭 圆的一条准线，常数 e叫做椭圆的2 .椭圆的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上(1)图形(2)标准方程y2 x2-+孑 1(a>b>0)(3)范围a怒&

2、lt;a,- bwy<ba wy wa, b <x<b中心原点0(0, 0)(5)顶点A1( a, 0), A2(a, 0)B1(0， b), B2(0, b)(6)对称轴x轴，y轴(7)焦点F1(0， c), F2(0 , c)(8)焦距2e = 2 寸a2-b2(9)离心率探(10)准线a2 x =± ca2 y=±_ c3.椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(xo, yo)与两焦点构成的 PFiF2叫做焦点三角形.如图所示，设/ FiPF2= e.(1)当P为短轴端点时，e最大1sin ee(2)S，FiF2= 2|PFi |PF2| in e= b2=

3、b2ta n； = e|yo|,当 |yo|= b,即 P 为短轴端点时，S»FiF2 取最大值，为be.(3)焦点三角形的周长为2(a + c).通径：过焦点的垂直于2b2X轴(或y轴)的直线与椭圆的两交点 A,B之间的距离。大小为 。a题型一椭圆的定义【例1】(1)平面内与两个定点Fi，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.方程mx2 +ny2= 1(m>0 , n>0 , m n)表示的曲线是椭圆.y2 x2 +仁= 1(aMb)表示焦点在 y轴上的椭圆.()a bX2 y2y2 X2一+ b> 1(a> b>0)与02 + b> 1(a&

4、gt; b>0)的焦距相同.(【例2】X2 y已知方程+5 m2m = 1表示椭圆，则m的取值范围为C.(-3,5)B.(-3,1)(1,5)(-3,1) U (1,5)【变式1】“-3< m<5 ”是“方程X2y25+荷=1表示椭圆”的A .充分不必要条件B 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2X【变式2】方程25 m2y16 m1表示焦点在y轴上的椭圆，则 m的取值范围是【变式4】(2013秋？西山区校级期末)已知椭圆方程为x2+4y2=16，求出其顶点、焦点坐标及离心率.题型二椭圆的标准方程第一类定义法求轨迹方程.99.【例1】已知圆A:(x 2)2 y

5、2 36，圆A内一定点B (2 , 0)，圆P过B点且与圆 A内切，求圆心 P的轨迹方程.2 2 2【例2】设动圆P与圆M:(x 3) y 4外切，与N:(x 3)100内切，求动圆圆心P的轨迹方【变式1】已知圆C：(X 3)2 + y2= 100及点A( 3,0) , P是圆C上任意一点，线段 PA的垂直平分线I与PC相交于点Q,求点Q的轨迹方程.【变式且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线 C,贝y C的方程为第二类椭圆的标准方程2】（2013 全国课标I）已知圆M :（X + 1）2+ y2= 1，圆N :（X 1）2+ y2 = 9，动圆P与圆M外切并【例1】已知椭圆经过点 P （2 , 0

6、）和点Q（1,辺），求椭圆的标准方程.22X【例2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆一921有相同的焦点，并且经过点（3, 2），求此4椭圆的方程.【变式1】两个焦点的坐标是（0, 2 ）、（ 0 , 2），并且椭圆经过点（-,5）2 2【变式2】已知椭圆的中心在原点，经过点 P （3 , 0）且a=3b，求椭圆的标准方程.1 3【例3】（2016 ?河东区一模）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为一，且经过点M（1 ,-）,2 2过点P （2 , 1）的直线I与椭圆C相交于不同的两点 A , B .求椭圆C的方程;【变式3】（2016秋？灌南县校级期中）求适合下列条件的椭圆的标准

7、方程:(1)1焦点在 x轴上，a=6 , e= 一3(2)3焦点在y轴上，c=3 , e=-5【例3】（2016春？伊宁市校级期中）已知椭圆的两焦点为Fi （0, -1 ）、F2 （0 , 1 ），直线y=4是椭圆的一条准线.求椭圆方程.【例4】（2016秋？延安期末）在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点 Fi, F2在x轴上,离心率为，过F1的直线I交C于A、B两点，且 ABF2的周长是16，求椭圆C的方程. 2【变式4】（2015秋？霍邱县校级期末）已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直，且此焦点和 x轴上的较近端点的距离为 4 （4-1 ），求

8、椭圆方程.【例5】（2015秋？永年县期末）已知Fi , F2是椭圆的两个焦点，现有椭圆上一点M到两焦点的距离之和为20,且|MFi|、|FiF2|、|MF2|成等差数列，试求该椭圆的标准方程.2 2【变式5】（2016 ?天津）设椭圆 与 1（a3）的右焦点为F,右顶点为 A,a 311 3e已知 |of| |oa|fA，其中0为原点，e为椭圆的离心率.求椭圆的方程;题型三椭圆的焦点三角形性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径b2（垂直于焦点的弦）最短，通径为2匕aF1PF2,则 S F1PF22詁1(a0）,两焦点分别为Fi,F2,设焦点三角形PFi F2中2X性质二：已知椭圆方程为一2a2b2

9、1(a0）,两焦点分别为Fi,F2 ,设焦点三角形PF1F2中2X性质三：已知椭圆方程为令aF1PF2,则 cos 12e2.【例1】若P是椭圆100641上的一点,Fi、F2是其焦点，且F1PF2 60，求RPF?的面积.【例2】2X已知F1、F2是椭圆飞'a2話1(a0）的两个焦点，椭圆上一点P使 F1PF2 90，求椭圆离心率e的取值范围。【变式1】已知Fi，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，/ F1PF2= 60。.求椭圆离心率的范围2【变式2】椭圆L49x21上一点P与椭圆两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则Fj PF2的面积为（）24A. 20B. 22C. 28D.

10、24-X【变式3】椭圆一4- *y 1的左右焦点为F1、F- , P是椭圆上一点，当RPF-的面积为1时，PF1 PF-的值为（A. 0B. 1C. 3D. 61. （2017?崇明县一模）如图，已知椭圆C的中心为原点O , F （-2, 0 ）为C的左焦点，P为C上一点，满足|0P|=|OF|且|PF|=4，则椭圆C的方程为（-y- 15-y- 1162y- 1102L 125-A XA. -5-C.36-B.30- r x D.452.已知椭圆的焦点是F1（0 ,1）、F2（O,1） , P是椭圆上一点，并且PF1+ PF2= 2FiF2，则椭圆的标准方程-X3.已知一椭圆的对称轴为坐标轴

11、且与椭圆一9-1有相同的焦点，并且经过点（3 , 2 ），求此椭圆4的方程。X24.已知P为椭圆-1上的一点，Fi,F2是两个焦点，FiPF2 120 ,求VF1PF2的面积.2X我们根据椭圆耸a2 y_ b21 (a b 0)来研究椭圆的简单几何性质椭圆上所有的点都位于直线x= ±a和y= ±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|<a, |y|<b.2.椭圆的对称性对于椭圆标准方程2y1，把x换成-x,或把y换成-y,或把x、y同时换成-X、-y,方程都不变,b2 2x y所以椭圆 41是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称

12、图形，这a b个对称中心称为椭圆的中心3.椭圆的顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点x2 y2椭圆一 勺 1 （ a> b >0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 a bAi（-a，0），A2（ a, 0），Bi（0，-b），B2（ 0，b）.线段 AiA2, BiB2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|AiA2|=2a , |BiB2|=2b.a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.4.椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用2ce表示，记作e 2aa,从而b JOc2越小,因为a>c>0,所以e的取值范围是0Ve< 1.e越接近1

13、，则c就越接近因此椭圆越扁；反之，e越接近于0, c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆.当且仅当要点诠释:椭圆2 x2 a2y91的图象中线段的几何特征(如下图)：b(1)(2)(3)PFiBFiAFiPF2BF25.椭圆的第二定义、准线2a,OF1 OF2 c ,C，AIF2A2F1A，BABb2 ;PFi当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数-(0 e 1)时，这个点的轨迹是a椭圆.定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率.2x对于椭圆a2詁1，相应于焦点F(c,O)的准线方程是x2a.根据对称性，相应于焦点F ( c,0)cX2务1的准

14、线方程是yb222的准线方程是xay.对于椭圆 一2ca可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比，这就是离心率的几何意义.2由椭圆的第二定义巴口 e可得：右焦半径公式为IMF右I ed e|x | a ex ;左焦半径公dc2a 式为 I MF左 I ed e| x ( ) | a ex .c题型一 椭圆简单的几何性质2 2【例1】求椭圆 L 1的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆259姮，求m的值.5【变式1】求椭圆16x2+25 y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标2 2【例2】已知椭圆mx 5y 5m m 0的离心率为e

15、2 2X y【例3】求椭圆 1的右焦点和右准线；左焦点和左准线.25162 2【变式2】求椭圆9x y81方程的准线方程.题型二椭圆的离心率X2【例1】（2017 ?河东区模拟）椭圆 一421的离心率为3 2 2【变式1】（2017?河北区模拟）椭圆J 1的离心率等于2516【例2】（1）已知椭圆的一个焦点将长轴分成长为J3： J2的两段，求其离心率;10和4，求其离心率.（2 ）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为【变式1】【例3】从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为1200，则此椭圆的离心率椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是(A.15B.fD.-2值为2，则

16、此椭圆离心率e的大小为O【变式2】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率 e22X V【例4】椭圆一笃 1上一点到两焦点的距离分别为di、d2，焦距为2c，若di、2c、d2成等差数列，则椭a b圆的离心率为【例5】已知m,n,m+n成等差数列，m , n, mn成等比数列，则椭圆X221的离心率为n【变式3】已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是2 2X V【例上顶点为 B,若BF丄BA,则称6】已知椭圆 丄1 ( a>0, b>0 )的左焦点为F，右顶点为a b其为“优美椭圆”，那么“优美椭圆”的离心率为【例7】在Rt ABC中， A 90 , AB

17、 AC 1，如果一个椭圆过 A、B两点，它的一个焦点为 C,另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率2X 【变式4】以Fi、F2为焦点的椭圆a27 = 1( a b 0 )上一动点P,当 F1PF2最大时 PF1F2的正切buu【变式5】如图椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，当 FBAB时，其离心率为鱼此类椭圆被称为“黄金椭2e等于90，则椭圆的离心率圆”.类比“黄金椭圆”，可推算出”黄金双曲线”的离心率【变式6】如图所示，椭圆中心在原点,F是左焦点，直线AB1与BF交于D,且 BDB11.平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外,因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种

18、，任给一点 M (x,y)，若点(x,y)在椭圆上,则有若点(x,y)在椭圆内,若点(x,y)在椭圆外,2 ab222xy2 ab222xy2.2ab则有则有2 x21(a1 (a1(a0)；0)；0).2.直线与椭圆的位置关系2 2X y将直线的方程y kx b与椭圆的方程 i （aa bb 0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的元二次方程，其判别式为.心0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点（或两个公共点）；笑 = 0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点（或一个公共点）;< 0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点.3.直线与椭圆的相交弦2X 设直线y kX b交椭圆a272 i (a b

19、0)于点 P(xi,yi) ,F2(X2,y2),两点，则 bIP1P2I J(xi X2)2 (yi y2)2j(xi X2)2i (2)2=J?V|x X2IXiX2同理可得IPP21 Ji *1 yi y2 l (k 0)这里|XiX21, | yi y21,的求法通常使用韦达定理，需作以下变形:|Xi X2Iyl(X X2)2 4XiX2|yi y21J(yi y2)2 4yiy22 2X y【例1】若直线y kx 1（k R）与椭圆 1恒有公共点，求实数 m的取值范围5 m【例2】对不同实数m，讨论直线y X m与椭圆 y21的公共点的个数.4【变式1】直线y=kx+1与焦点在x轴上

20、的椭圆x2/9+ y2/m=1总有公共点，求实数m的取值范围是（）A.1/2 <m < 9B.9 < m < 10C.1 <m < 9D.1 < m < 9【变式2】直线y= mx+1与椭圆x2+4 y2=1有且只有一个交点，则m2=（）1A.22B.-33C.44D.5题型二弦长【例1】求直线X2Xy + 1=0被椭圆-21截得的弦长42 2【变式1】已知椭圆4x y 1及直线y x m.(1)当m为何值时，直线与椭圆有公共点?(2)【例若直线被椭圆截得的弦长为 彳，求直线的方程.522】（2016秋?仙桃校级期末）已知椭圆7 y2 J过左焦点

21、F1倾斜角为7的直线交椭圆于A、B两点.求弦AB的长.【变式2】(2016秋？黄陵县校级期末)已知椭圆 C:2 2X y22 1 (a b 0)的一个顶点为 A (2, 0),a b离心率为眨直线y=x-1与椭圆C交于不同的两点(1 )求椭圆C的标准方程;(2)求线段MN的长度.题型三点差法2X1所截得线段的中点，求直线 I的方程.【例1】已知点P (4, 2)是直线I被椭圆一362【变式1】已知椭圆75X21 1的一条弦的斜率为 3，它与直线X -的交点恰为这条弦的中点 M，求点252M的坐标.X2【例2】已知椭圆E：二+訂=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交

22、E于A, B两点.若AB的中y2a2 b点坐标为(1 , - 1)，贝y E的方程为()X2y2A. +一= 14536X2y2B.+= 13627X2y2c.+ = 12718X2 yD.+= 11891【例3】过点Mg)作斜率为-2的直线与椭圆X2y2C： a2+b= 1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆 C的离心率等于2 2【变式2】过椭圆 1内一点M (2,1)引一条弦，使弦被 M点平分，求这条弦所在直线的方程。16422 y【变式3】已知双曲线X2 乙 1，经过点M(1,1)能否作一条直线I，使I与双曲线交于 A、B，且点M2是线段AB的中点。若

23、存在这样的直线 I，求出它的方程，若不存在，说明理由。椭圆综合1. (2016春？平凉校级期末)已知椭圆 M : -+七=1(a>b>0)的离心率为，短轴的长为2 a2 b22(1)求椭圆M的标准方程(2)若经过点(0, 2)的直线I与椭圆M交于P, Q两点，满足OP OQ = 0,求I的方程.X2 y22.( 2016秋？龙海市校级期末)已知椭圆C:二+二=1(a>b>0)的焦距为2血，椭圆C上任意一点到椭圆a2 b2两个焦点的距离之和为6.(I)求椭圆C的方程;(n)设直线I： y=kx-2与椭圆C交于A , B两点，点(0,1 )，且|PA|=|PB|，求直线I的

24、方程.3. (2016秋？万州区校级期末)已知命题2 p :方程4h2七1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆；命题q :关于实数t的不等式t2 (a 3)t但 2)0.(1 )若命题P为真，求实数t的取值范围;(2)若命题P是命题q的充分不必要条件，求实数 a的取值范围.4. (2016秋？邻水县期末)已知椭圆 C :X2y2-+ -= 1（a>b>0）a2的离心率为，左焦点为F (-1 , 0)，过点2D (0 , 2 )且斜率为k的直线I交椭圆于B两点.(1 )求椭圆C的标准方程;(2 )求k的取值范围.5. (2016秋？尖山区校级期末)已知椭圆X2+二=1(a>b>

25、;0)的离心率为y2a2 b，且 a2 2b2(1 )求椭圆的方程;(2 )直线I： x-y+m=0与椭圆交于A,B两点，是否存在实数 m，使线段AB的中点在圆x2+y2=5上,若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由第二节 双曲线1.双曲线的定义在平面内，到两个定点Fi、F2的距离之差的 绝对值等于常数2a （ a大于0且2a轨迹叫作双曲线这两个定点Fi、F2叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距要点诠释:1.双曲线的定义中，常数 2a应当满足的约束条件:PFiPF22a F1F2 ，中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解;2.若去掉定义中的“绝对值”，常数a满足约束条件:PFi

26、PF22a F1F2迹仅表示双曲线中靠焦点 F2的一支；若靠焦点Fi的一支;3.若常数a满足约束条件：Ipr括端点）；4.若常数a满足约束条件:PFi5.若常数a 0,则动点轨迹为线段2.双曲线的标准方程PF2PF2PF2PFi2a2a2aF1F2，F1 F2的垂直平分线.1.当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程:2 2xy12. 2IabF1F2 ）的动点P的这可以借助于三角形（a 0），则动点轨F1F2 ( a0），则动点轨迹仅表示双曲线中则动点轨迹是以 F1、则动点轨迹不存在;(a 0,b0)，其中F2为端点的两条射线（包c2a2 b2 ；22.当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程：爲2x0

27、001 (a 0,b0)，其中 c a bb题型一双曲线的定义【例1】已知点Fi ( 4,0)和F2(4,O)，曲线上的动点P到Fi、F2距离之差为6，则曲线方程为(2xA.92C.x-92y7【例2】已知点A .椭圆2彳卡x1或72xB.92D.9P(x,y)的坐标满足 J(x评(y评B .双曲线中的一支1 = i(y>0)1(x>0)J(x 3)2C.两条射线【变式1】“ab<0 ”是“曲线ax2 + by2= 1为双曲线”的(A .充分不必要条件B 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(y3)24 ,则动点P的轨迹是()D .以上都不对【变式2】(2015

28、?南市区校级模拟)已知 M (-2 , 0)、N (2 , 0 ),|PMl-IPN 1=4，则动点P的轨迹是A 双曲线B.双曲线左边一支C. 一条射线D .双曲线右边一支【例3】已知方程1表示双曲线，则k的取值范围是(A. 1< k<1B. k>0C. k>0k>1 或 k< 1【变式3】（2014 ?大连二模）如果方程X21表示双曲线，则 m的取值范围是（-1 )B. ( -2 , -1 )【变式3】已知双曲线8kx2 ky2=2的一个焦点为（0,-），则k的值等于（2题型一双曲线的标准方程类型一定义法求双曲线的标准方程【例1】一动圆过定点 A（ 4,0

29、），且与定圆B： （X 4）2 + y2 = 16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为【例2】动圆与圆X2 + y2 = 1和X2 + y2 8x+ 12 = 0都相外切，则动圆圆心的轨迹为（）A 双曲线的一支B 圆C.抛物线D 双曲线【变式】已知圆C1:（X + 3）2 + y2 = 1和圆C2:（X 3）2 + y2 = 9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为类型二 求双曲线的标准方程【例1】求适合下列条件的双曲线的标准方程:（1）已知两焦点F1（ 5,O）,F2（5,O）,双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于（2）双曲线的一个焦点坐标为（0, 6），经过点 A（

30、5,6）.【例2】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且虚轴长与实轴长的比为3:4 ,焦距为10的双曲线的标准方程.【变式1】对称轴为坐标轴，经过点P(3 , Q( 6/2 , 7)。2 2【例3】求与双曲线16七1有公共焦点，且过点 g的双曲线的标准方程.【变式2】求中心在原点，对称轴为坐标轴，且顶点在y轴，焦距为10, e -的双曲线的标准方程.4焦点三角形:'、性质1:若 F1PF2则 S f1pf2 b2cot特别地，当FiPF2 90 时，有1 2F1PF2b2.性质2 :双曲线焦点三角形的内切圆与FiF2相切于实轴顶点；且当 P点在双曲线左支时,切点为左顶点，且当P点在双曲线右支

31、时，切点为右顶点。性质3 :双曲线离心率为 e，其焦点三角形 PFiF2的旁心为A，线段PA的延长线交FiF2的延长线于点B,e.、一y*性质4 :双曲线的焦点三角形P F1F2 中，PFF2JPF2F当点P在双曲线右支上时，有tan cote112 2e1当点P在双曲线左支上时，有cot tane122e 1【例已知Fi,F2是双曲线x2一y2= 1的两个焦点,4P是双曲线上一点，且/ FiPF2= 90。，则zFiPF2的面积是（C. 2【变式1】已知双曲线9 X2 y216 = 1的左、右焦点分别为Fi、F2,若双曲线上一点 P 使/FiPF2= 90 ° ,AFiPF2的面积

32、是（）A. 12B.16C. 24D . 32【例2】双曲线焦点三角形F1PF2的内切圆与F1F2相切于点A，则IafHaf【例3】设双曲线孚町a b1 a 0,b 0，F1、F2是其两个焦点，点P在双曲线右支上一点若离心率 e 2，tan 2 则2tan 2【例4】双曲线离心率为e，其焦点三角形 PF1F2的旁心为A，线段pa的延长线交F1F2的延长线于点B ,若|bA 4 , |AP| 2，则离心率e1.双曲线两个标准方程几何性质的比较顶点(a,0)(0, a)轴实轴长=2a，虚轴长=2b离心率ce (e 1)a渐近线方程by -XaaybX要点诠释：双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方

33、程，判断焦点位置的方法是：看X2、y2的系数,如果X2项的系数是正的，那么焦点在 X轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在 y轴上.对于双曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上2.双曲线的渐近线(1)已知双曲线方程求渐近线方程:2 2 2XyX若双曲线方程为1,则其渐近线方程为 aba已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程(2)已知渐近线方程求双曲线方程:若双曲线渐近线方程为mx ny 0，则可设双曲线方程为m2X2，根据已知条件，求出即(3)与双曲线2 X 2 a2詁1有公共渐近线的双曲线X2与双曲线令a

34、2b21有公共渐近线的双曲线方程可设为2 X 2 a0)(0，焦点在X轴上,0,焦点在y轴上)(4)等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为yX，因此等轴双曲线可设为3.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.(0).题型一 双曲线简单的几何性质【例1】求双曲线2 216x 9y 144的实轴长和虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、渐近线方程与离心率【变式1】双曲线mx2 + y2 = 1的虚轴长是实轴长的等于（）1D.4【例2】已知双曲线方程,求渐近线方程:(1)2 2X y 1 ;9162 2X y(2)916【变式2】求下列双曲线方程的渐近线方程:2 236 1 ；( 2)X2 2y22 2

35、x272(1)【变式3】中心在坐标原点，离心率为3的圆锥曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为(5A . y -x44B. y -x53D. y 4x【例3】根据下列条件,求双曲线方程2x(1)与双曲线一92y161有共同的渐近线，且过点3,273)；(2) 渐近线方程为3x2y 0，且双曲线过点M (8,6 J3)【变式4】过点(2，2a.L22c.L42x42 x22-2)且与双曲线22B.x-42 r xD.22 y22 y4【变式5】设双曲线y91(aB.【变式6】x2双曲线a2yb22x2aA .实轴B.焦点1有公共渐近线的双曲线是(0)的渐近线方程为3x 2y2 y b20)有相同

36、的(c.渐近线D .以上都不对x2【例4】双曲线421的焦点到渐近线的距离等于9-2 2【变式7】双曲线J 1的焦点到渐近线的距离等于(916C. 42【变式1】已知双曲线笃y2a【例X2 y22】已知双曲线了行1(anJ2)的两条渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为3【例3】已知Fi、F2是双曲线2x2a2y丄亍1(a 0,b 0)的两焦点，以线段 F1 F2为边作正三角形 MF 1F2,b若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是题型二双曲线的离心率X2 y24【例1】已知双曲线一-b7=1的一条渐近线万程为y=x，则双曲线的离心率为1 (a 0)的一条准线为X -，则该双曲线的离心

37、率为2X2 y2【变式2】已知双曲线 J 1(a>0, b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60。的直线与双曲线的a b右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是【变式3】已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为60。，则双曲线C的离心率为【例4】X2已知双曲线一2a2占 1 (a 0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2, P是准线上一点，且PFi丄PF2,bI PFi II PF2 1= 4ab ,则双曲线的离心率是【例5】2 2X y设F1和F2为双曲线 右 勺 1(a 0,b 0)的两个焦点，若F1, F? , P(0,2b)是正三角

38、形的三a b个顶点，则双曲线的离心率为【变式2 2X y4】过双曲线 七 1(a >0, b > 0)的左焦点且垂直于 X轴的直线与双曲线相交于 M、N两点,a b以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于【变式5】设双曲线的一个焦点为 F ,虚轴的一个端点为 B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为2 2x y【例6】已知双曲线 笃 1,(a 0,b 0)的左，右焦点分别为Fi,F2,点P在双曲线的右支上，且a b| PFi | 4| PF2 |,则此双曲线的离心率e的最大值为2x【例7】双曲线一a2爲 1 ( a>0,b >

39、0)的两个焦点为F1、F2若P为其上一点，且|PF1|=2| PF2|,则双曲b2x【变式6】双曲线pa线离心率的取值范围为1 ( a 0, b 0)的左、右焦点分别是 Fi, F2，过Fi作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为将直线的方程y kxx2m与双曲线的方程a1.直线与双曲线的位置关系2匕 1 (a 0,b 0)联立成方程组，消元转化为关于xb或y的一元二次方程，其判别式为(b2 a2k2)X2 2a2mkX a2m2 a2b20若b2 a2k2 0,即k-，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点;a若b2 a2| 22bk2

40、0,即 k -,a直线和双曲线相交直线和双曲线相交,有两个交点;=0直线和双曲线相切直线和双曲线相切,有一个公共点;< 0直线和双曲线相离直线和双曲线相离,无公共点.直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。2.直线与双曲线的相交弦2 2X y设直线y kX m交双曲线i (a 0,b0)于点P(Xi,yi)，巳区必),两点，则a bIP1P2I J(xi X2)2 (yi y2)2j(Xi X2)2ijrViX X2IXiX2同理可得1PP21 Ji 右 1 yi y21 (k 0)这里|XiX21, | yi y21,的求法通常使用韦达定理，需作以下变形:|XiX2

41、 |J(Xi X2)2 4XiX2|yi y21题型一直线与双曲线的位置关系54【例1】直线I过点(1 , 1)，与双曲线x21只有一个公共点，则满足条件的 I有4A.1B.2条C.4条D.无数条【例2】已知双曲线X2 y2=4 ,直线y= k(x 1)，讨论直线与双曲线公共点个数2【例3】过点P(G5)与双曲线y1有且只有一个公共点的直线有几条，分别求出它们的方程。25【变式1】“直线与双曲线有唯一交点”是“直线与双曲线相切”的(A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分不必要条件【变式2】若直线y=kx+1与曲线x= J71有两个不同的交点，贝yk的取值范围是（A.- 72

42、 < k< 72B.- V2 < k<-1c.i< k< 72D.k<- J2 或 k> J2【变式3】直线x2y= (x 7)与双曲线31的交点个数是（A.0个B.1C.2个D.4个题型二弦长2【例1】求直线1截得的弦长.1被双曲线x2 L4【例2】垂直于直线2y 3 0的直线I被双曲线2X20【变式1】斜率为22x的直线I被双曲线一2y_51截得的弦长为警，求直线1的方程.1截得的弦长为2 J5，则直线I的方程是（A.y=2xJ55B.y=2 x ±诞5C.y=2 x ±曉5D.y=2x 士也5【变式2】过双曲线16x2-

43、9y2=144的右焦点作倾斜角为 一的弦AB，则|AB|等于3题型三点差法2 2X y在双曲线 埠 1 ( a > 0 , b > 0)中，若直线l与双曲线相交于M、N两点，点P(X0,y0)是弦a bMN的中点，弦MN所在的直线I的斜率为kMN，则kMN也X0b2.a是弦【例2 2同理可证，在双曲线a1( a >0，b >0 中，若直线MN的中点，弦MN所在的直线I的斜率为kMN，则kMN21】已知双曲线C : yl与双曲线相交于 M、N两点，点P(Xo, yo)yoXoa21，过点P(2,1)作直线l交双曲线C于A、B两点若P恰为弦AB的中点，求直线I的方程.【例2】已知双曲线C :2x22 与点 P(1,2).(1)斜率为k且过点P的直线I与C有两个公共点，求 k的取值范围;(2)是否存在过点